Содержание
- 2. Литература В.Е. ГМУРМАН Теория вероятностей и математическая статистика Руководство к решению задач по теории вероятностей и
- 3. Литература Н.Ш. Кремер Теория вероятностей и математическая статистика (любое издание)
- 4. Лекция 1
- 5. Часть 1. Содержание Предмет комбинаторики Выборка Факториал и его свойства Перестановки Размещения Сочетания Правила суммы и
- 6. Комбинаторика Комбинаторика – это раздел математики, изучающий методы подсчета вариантов перестановок, комбинаций объектов различного рода, выбора
- 7. Комбинаторика Основные понятия: перестановки, размещения, сочетания Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить
- 8. Выборка Далее будем считать заданным некоторое множество из n объектов (цифр, букв, людей, предметов и т.д.)
- 9. Выборка бывает: Упорядоченная (множество цифр, пронумерованные предметы, разноцветные сигналы и т.д.) Неупорядоченная (детали, столы, стулья, идентичные
- 10. Факториал Факториал числа – это функция, определенная для любого целого неотрицательного числа. Обозначение: n! (“эн факториал”)
- 11. Таким образом, n! есть произведение всех натуральных чисел от 1 до n. В случае n=0 считается
- 12. Примеры 5!=1·2·3·4·5=120 3!=1·2·3=6 7!=1·2·3·4·5·6·7=5040
- 13. Элементы комбинаторики Правило суммы: если объект А можно выбрать n способами, а объект B можно выбрать
- 14. Задача 1 В коробке лежат 5 красных, 2 синих, 1 черный и 2 белых шара. Сколькими
- 15. Решение Красный шар можно вытащить пятью способами, а синий двумя. Так как цветной шар по условию
- 16. Задача 2 В группе студентов 3 человека изучали французский язык, 4 немецкий, а 2 студента ничего
- 17. Решение Студента, владеющего французским языком можно выбрать тремя способами (любой из них нам подходит), владеющего немецким
- 18. Правило произведения: если объект А можно выбрать n способами, а объект B можно выбрать m способами,
- 19. Задача 1 Имеется замок с шифром. Шифр подбирается поворотом четырех головок. Каждая головка может занимать одно
- 20. Решение Любой шифр – последовательность из четырех цифр, например, (1, 2, 3, 6) или (6, 4,
- 21. Задача 2 В буфете имеется 5 чашек и 4 блюдца. Сколькими способами можно составить чайную пару?
- 22. Решение Чайная пара – это чашка и блюдце. Чашку можно выбрать пятью способами, блюдце четырьмя. Так
- 23. Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком
- 24. Перестановка – это упорядоченная выборка, в которой “выбираются” (переставляются) все элементы заданного множества. Первые числа перестановок:
- 25. Пример Множество всех перестановок трех предметов A, B, C: {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}
- 26. Задача 1 Сколькими способами можно переставить на полке 7 различных книг? Решение На первое место можно
- 27. Задача 2 На карточках записаны цифры 1,2,3,4,5. Сколько различных пятизначных чисел можно составить, используя каждую карточку
- 28. Решение Так как цифры в пятизначном числе не повторяются, а карточек всего 5, то мы имеем
- 29. Задача 3 Имеется 6 карточек с цифрами 0,1,2,3,4,5. Сколькими способами можно составить шестизначные числа (цифры в
- 30. Решение Всего из данных карточек можно составить 6!=720 чисел. Но среди них есть числа, у которых
- 31. Перестановки с повторениями Пусть дана выборка причем элемент a повторяется n1 раз, элемент b повторяется n2
- 32. Задача 1 Сколькими способами можно переставить буквы в слове МАТЕМАТИКА? Решение: буква М встречается 2 раза,
- 33. Задача 2 Какова вероятность того, что при произвольном выкладывании 8 карточек, среди которых 4 с буквой
- 34. Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов,
- 35. Задача 1 6 человек приобрели билеты на 10 местный самолет. Других пассажиров не оказалось, и эти
- 36. Решение Это задача о размещениях. Вероятность совпадения – один шанс из числа всех возможных размещений шести
- 37. Размещения с повторениями Имеется n типов предметов и имеется k мест, на каждое из которых может
- 38. Количество всевозможных размещений с повторениями из n по k будем обозначать и вычислять по формуле
- 39. Задача 1 Имеется таблица 2x2 клеток. В каждой клетке может стоять крестик или нолик. Сколькими способами
- 40. Решение Всего в таблице четыре клетки (четыре места, чтобы разместить крестики и нолики). В каждой клетке
- 41. Задача 2 Сколько существует четырехсимвольных кодов (шифров сейфа) с использованием только цифр? Решение n=10; k=4. Поэтому
- 42. Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним
- 43. Сочетания – это неупорядоченная выборка из n элементов по m. Примеры Выбрать из множества деталей две;
- 44. Задача 1 Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей? Искомое число способов
- 45. Задача 2 Сколько существует вариантов составить делегацию в количестве четырех человек из 10 кандидатов?
- 46. Решение n=10; k=4 Выборка неупорядоченная Количество различных делегаций будет
- 47. В общем случае : пусть даны множества Чему равно N - число различных комбинаций, в которых
- 48. Элементы комбинаторики Правило суммы; Правило произведения; Перестановки; Размещения; Сочетания.
- 49. Задачи
- 50. Задача 1 Порядок выступления шести участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки приэтом возможно?
- 51. Решение Так как варианты жеребьевки различаются лишь порядком выступления участников (выборка упорядоченная), при этом участвуют все
- 52. Задача 2 Брошены две игральные кости. Сколько может быть различных комбинаций выпавших граней?
- 53. Решение У первого кубика 6 граней, может выпасть любая из них. У второго кубика тоже шесть
- 54. Задача 3 Сколькими способами из 10 роз и 8 георгинов можно составить букет так, чтобы в
- 55. Решение Вначале посчитаем сколькими способами из 10 роз можно выбрать 2. Розы не упорядочены, значит количество
- 56. Далее, найдем число способов выбрать из 8 георгинов 3. Аналогично случаю с розами имеем Наконец, букет
- 57. Задача 4 Алфавит племени состоит из трех букв А, О, У. Словом в племени считается любая
- 58. Решение Слова в племени могут быть однобуквенные, двухбуквенные и трехбуквенные. Однобуквенных слов всего 3. Двухбуквенных (учитывая,
- 59. Задача 5 Наряд студентки состоит из блузки, юбки и туфель. Девушка имеет в гардеробе 4 блузки,
- 60. Решение Блузку она может выбрать 4 способами, юбку – 5, туфли – 3 способами. Наряд –
- 61. Задача 6 Студенты университета изучают в каждом семестре 10 дисциплин. В расписание занятий включается каждый день
- 62. Решение Так как расписание на каждый день отличается либо составом дисциплин, либо порядком их расположения, то
- 63. Задача 7 В шахматном турнире участвуют 16 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если
- 64. Решение Каждая партия – это два участника, отличается только состав. То есть, выборка неупорядоченная. Количество партий
- 65. Задача 8 Имеется группа студентов, в которой 10 человек изучают английский язык и 12 человек –
- 66. Решение Составить группу из пяти человек, все из которых изучают один и тот же язык, означает
- 67. Задача 9 Имеется группа студентов, в которой 10 человек изучают английский язык, 12 человек – французский.
- 68. Решение Составить группу из пяти человек, в которой три изучают английский, а два – французский, означает,
- 69. Контрольные вопросы к части 1 Понятие факториала числа Определение и формула перестановок Формула перестановок с повторениями
- 70. Часть 2. Содержание Предмет ТВ Случайное событие Вероятность события, классическое определение вероятности
- 71. Теория вероятностей (ТВ) – раздел математики, изучающий закономерности, присущие массовым случайным явлениям. При этом изучаемые явления
- 72. Предмет ТВ Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.
- 73. Цель ТВ – осуществление прогноза в области случайных явлений, контроль их, ограничение сферы действия случайности.
- 74. Случайный эксперимент Случайным экспериментом называется некоторый опыт, который может быть неоднократно проведен при одних и тех
- 75. Случайное событие Событием в ТВ называется любой факт, который в результате испытания, эксперимента, опыта может произойти
- 76. Иногда подчеркивают, что случайное событие – это такое событие, наступление которого мы не можем в точности
- 77. СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ Случайным событием будем называть высказывание о результатах случайного эксперимента. A={ высказывание}
- 78. Примеры Бросание монеты – эксперимент A={выпал герб} B={выпала решка} Бросание игральной кости A={выпало 2 очка} B={выпало
- 79. Стрельба по мишени Вынимание шаров из урны Различные игры (карты, домино и т.д.) Экономические случайные эксперименты
- 80. Виды случайных событий 1) Невозможные 2) Достоверные 3) Несовместные 4) Образующие полную группу 5) 3) и
- 81. Событие называется невозможным, если оно никогда не может произойти. Пример Событие “сейчас в аудитории пойдет град”
- 82. Событие называется достоверным, если оно происходит при любом исходе эксперимента (происходит всегда).
- 83. События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно. События, которые могут происходить одновременно, называются совместными.
- 84. Несколько событий называются единственно возможными, если хотя бы одно из них обязательно произойдет.
- 85. Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и все попарно несовместны. Другими словами,
- 86. Пример 1 Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали.
- 87. Пример 2 Брошена монета. Появление “ герба “ исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась
- 88. Пример 3 Приобретены два билета денежно –вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих
- 89. Пример 4 Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих событий: попадание, промах. Эти
- 90. Равновозможные события События называют равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них происходит чаще, чем
- 91. Пример 5 Появление “ герба “ и появление надписи при бросании монеты – равновозможные события.
- 92. Пример 6 Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости - равновозможные события.
- 93. Задание Приведите примеры на все данные определения.
- 94. Классическое определение вероятности Пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 красных,
- 95. Вероятность есть число, характеризующее частоту появления события.
- 96. Событие A ={появление цветного шара}. Каждый из простейших результатов испытания назовём элементарным исходом (элементарным событием). Обозначение:
- 97. 6 элементарных исходов: - белый шар; - красный шар; - синий шар. Эти исходы образуют полную
- 98. Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовём благоприятствующими. Благоприятствуют событию А (появлению цветного
- 99. Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу назовем вероятностью события А и
- 100. Вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р (А)= .
- 101. Классической вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных
- 102. Формула классической вероятности m – число элементарных исходов, благоприятствующих А; n – число всех возможных элементарных
- 103. Свойства вероятности Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.
- 104. Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
- 105. Свойство 3. Вероятность случайного события А есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
- 106. Важно! Если количество всех исходов бесконечно, то классическое определение не годится, но перечисленные свойства сохраняются.
- 107. Примеры непосредственного вычисления вероятностей Пример 1 Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее
- 108. Решение Обозначим через А событие – набрана нужная цифра. Абонент мог выбрать любую из 10 цифр,
- 109. Благоприятствует событию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов,
- 110. Пример 2 Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры
- 111. Решение Обозначим через В событие – набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр,
- 112. Благоприятствует событию А лишь один исход . Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к
- 113. Пример 3 Указать ошибку “решения” задачи: «Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших
- 114. Решение (не правильное) Возможны два исхода испытания: -сумма выпавших очков равна 4; -сумма выпавших очков не
- 115. Правильное решение Общее число равновозможных исходов: . Среди этих исходов благоприятствуют событию А только 3 исхода:
- 116. Задачи
- 117. Задача 1 Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется случайно названное двузначное число,
- 118. Решение Всего двузначных чисел 90. То есть общее число исходов n=90. Среди двузначных чисел выпишем те,
- 119. Задача 2 Пятитомное собрание сочинений стоит на полке в случайном порядке. Какова вероятность, что книги стоят
- 120. Решение Благоприятный исход у нас один (когда книги стоят по порядку), m=1. Общее число всех возможных
- 121. Задача 3 Буквы Т,Е,Я,И,Р,О написаны на отдельных карточках. Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает
- 122. Решение Благоприятный исход у нас один, когда получилось слово ТЕОРИЯ, то есть m=1. Общее число исходов
- 123. Задача 4 В ящике 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Наудачу вынимают 3 детали. Найти вероятность
- 124. Решение Так как все детали одинаковы, то мы имеем дело с неупорядоченной выборкой. Общее число всех
- 125. Благоприятные исходы m – сколькими способами из 10 окрашенных деталей можно вытащить 3 окрашенных детали. Вновь
- 126. Задача 5 Имеется 5 билетов стоимостью по 1 рублю, 3 билета по 3 рубля, 2 билета
- 127. Решение Благоприятные исходы – это те, когда в сумме можно получить из трех билетов 7 рублей.
- 128. Учитывая, что все билеты внешне одинаковы (неупорядоченная выборка), благоприятных исходов будет Всего имеется 5+3+2=10 билетов. Общее
- 129. Искомая вероятность равна отношению благоприятных исходов к общему числу исходов, то есть P(A)=35/120
- 130. Задача 6 В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых
- 131. Решение Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь шесть деталей из
- 132. Число благоприятствующих исходов равно
- 133. Задача 7 Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность,
- 134. Решение Так как всего жетонов 100, то общее число исходов n=100. Благоприятными исходами будут те, когда
- 135. Таких чисел 19. Тогда чисел без цифры 5 будет 100-19=81. То есть благоприятных исходов m=81. Искомая
- 136. Контрольные вопросы к части 2 Что называется случайным событием? Классическое определение вероятности события (элементарные исходы, благоприятные
- 138. Скачать презентацию