Теория вероятности и математическая статистика. Введение. Основные понятия. Алгебра событий

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Теория вероятности и математическая статистика. Введение. Основные понятия. Алгебра событий

Содержание

2. Лекция 1. Основные изучаемые вопросы: Случайные события. Понятие вероятности события. Элементы комбинаторики.
3. ВВЕДЕНИЕ Все явления окружающей нас действительности можно рассматривать с точки зрения вероятности их наступления в ходе
4. Основные понятия. Алгебра событий Случайное событие - это любой факт, который может либо произойти, либо не
5. Если в каждом испытании с неизбежностью происходит некоторое событие - оно называется достоверным (обозначается Ω). Если
6. Пример. Рассмотрим случайные события - выпадение определенного числа на верхней грани - которые могут произойти при
7. В теории вероятностей случайные события рассматриваются с точки зрения теории множеств, что позволяет определить отношения над
8. Произведением событий А и В называют событие А·В, состоящее в одновременном наступлении этих событий. Для произведения
9. Пример. Пусть случайным образом из колоды карт извлекается одна карта. Введем обозначения: событие А - извлечение
10. События образуют полную группу попарно несовместимых событий, если любые два из них несовместны и хотя бы
11. Примеры для обсуждения 1. Какие из предложенных событий являются совместными? a). Опыт - бросание монеты. События:
12. 2. Какие из предложенных событий являются несовместными? а). Опыт - бросание монеты. События: А - хотя
13. 3. Какие из предложенных событий образуют полную группу событий? a). Выигрыш по первому билету и проигрыш
14. Классическое определение вероятности Вероятность события - это численная мера объективной возможности его появления. В соответствии с
15. Свойства вероятности события 1. Вероятность любого случайного события есть число от нуля до единицы, так как
16. Пример. Известно, что среди 25 приборов имеется 5 бракованных. Какова вероятность при случайном отборе взять бракованный?
17. Элементы комбинаторики Комбинаторика - это раздел математики, изучающий методы решения задач на подсчет числа различных комбинаций.
18. Пример. Сколько существует различных семизначных телефонных номеров? Решение. Семизначный номер представляет собой комбинацию 7 ячеек, каждую
19. Рассмотрим основные понятия комбинаторики. Пусть дано множество из п различных элементов и из него мы выбираем
20. Напомним, что факториал есть n! = п · (п - 1) ·... · 3 · 2
21. Размещения с повторениями Каждое размещение с повторениями из п элементов по т элементов может состоять не
22. 2. Перестановки - любые упорядоченные множества, в которые входят по одному все n различных элементов исходного
23. Перестановки с повторениями Пусть имеется совокупность n элементов, среди которых m элементов первого типа, l элементов
24. 3. Сочетания – это m-элементные подмножества n-элементного множества, которые отличаются только составом элементов (порядок их следования
25. Сочетания с повторениями Рассмотрим случай, когда сочетание из п элементов по т элементов может содержать любой
27. Скачать презентацию

Слайд 2

Лекция 1.
Основные изучаемые вопросы:
Случайные события.
Понятие вероятности события.
Элементы комбинаторики.

Слайд 3

ВВЕДЕНИЕ
Все явления окружающей нас действительности можно рассматривать с точки зрения вероятности

их наступления в ходе опыта (испытания).
Под испытанием понимают процесс, протекающий при определенных условиях и приводящий к одному из возможных исходов.
Исходом опыта может быть результат наблюдения, измерения, оценки.
Элементарным событием является отдельный, отличающийся от других, исход испытания.
К примеру, испытание – это выстрел, а исходы (элементарные события) – попадание или промах.

Слайд 4

Основные понятия. Алгебра событий
Случайное событие - это любой факт, который может

либо произойти, либо не произойти при выполнении некоторого комплекса условий.

Примеры случайных событий — выпадение «орла» при бросании монеты, попадание в мишень при выстреле, появление туза при вынимании карты из колоды и т. п.
Обычно случайные события обозначаются заглавными латинскими буквами: А, В, С,...

Диаграмма Эйлера-Венна

Слайд 5

Если в каждом испытании с неизбежностью происходит некоторое событие - оно

называется достоверным (обозначается Ω).
Если событие заведомо не может произойти при данном комплексе условий (ни при каком испытании) — оно называется невозможным (обозначается ∅).
События А и В называются несовместными (несовместимыми), если появление одного из них исключает появление другого (не могут произойти одновременно).
События А и В - совместные (совместимые), если они могут произойти одновременно в результате испытания.
События А и В - равновозможные, если по условиям испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным.

Слайд 6

Пример. Рассмотрим случайные события - выпадение определенного числа на верхней грани

- которые могут произойти при бросании простого шестигранного игрального кубика.
Введем обозначения случайных событий:
Ω - выпадение какого-либо числа от 1 до 6 - достоверное событие;
∅ - выпадение числа 7 - невозможное событие;
А - выпадение числа 2,
В - выпадение числа 3,
С - выпадение нечетного числа,
D - выпадение любого из чисел 1, 3 или 5.
Тогда события: А и В, А и С, А и D - несовместные;
В, С и D - совместные; причем В - частный случай С.
С и D - равносильные;
А и В - равновозможные.

Слайд 7

В теории вероятностей случайные события рассматриваются с точки зрения теории множеств,

что позволяет определить отношения над ними.

Суммой событий А и В называют событие А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий А или В.
Для суммы событий выполняются соотношения:
А + В = В + А;
А + Ω = Ω;
A + ∅ = A;
A + A = A.

Сумма совместных
событий А и В

Сумма несовместных
событий А и В

Слайд 8

Произведением событий
А и В называют событие А·В, состоящее в одновременном

наступлении этих событий.
Для произведения событий выполняются соотношения:
А·В = В·А;
А·Ω = А;
А· ∅ = ∅;
А·А = А.
Событие А называется противоположным событием (дополнением) события А, если непоявление одного события влечет появление другого.

Слайд 9

Пример. Пусть случайным образом из колоды карт извлекается одна карта. Введем

обозначения:
событие А - извлечение дамы;
событие В - извлечение короля;
С - извлечение карты пиковой масти.
Тогда события: А + В - извлечение дамы или короля любой масти;
А·С - извлечение пиковой дамы;
(А+В)·С - извлечение пиковой дамы или пикового короля.
Операции сложения и произведения удовлетворяют свойству дистрибутивности:
(А + В)·С = А·С + В·С;
А + В·С = (А + В)(А+С).
Операции над событиями удовлетворяют формулам де Моргана:
А + В = А·В
А + В = А·В.

Слайд 10

События образуют полную группу попарно несовместимых событий, если любые два из

них несовместны и хотя бы одно непременно должно произойти в результате испытания.
Следует иметь в виду соотношения:
А = А;
А + А = Ω;
А·А = ∅.
Пример. При бросании игрального кубика случайные события Н1, Н2, Н3, Н4, Н5, Н6 - обозначающие соответственно выпадение чисел 1, 2, 3, 4, 5 или 6 - образуют полную группу событий.
События А1 и А2 - выпадения четного и нечетного числа - также образуют полную группу событий (и, заметим, являются противоположными).

Слайд 11

Примеры для обсуждения
1. Какие из предложенных событий являются совместными?
a). Опыт -

бросание монеты.
События: А - выпала цифра; В - выпал герб;
b). Опыт - бросание игральной кости.
События: А - выпадение единицы; В - выпадение тройки; С - выпадение четного числа очков;
c). Опыт - бросание двух монет.
События: А - хотя бы на 1 из монет выпадет герб; В - на обеих монетах выпадет герб;
d). Опыт - два выстрела по мишени.
События: А - есть хотя бы одно попадание; В - ни одного попадания.

Слайд 12

2. Какие из предложенных событий являются несовместными?
а). Опыт - бросание монеты.
События:

А - хотя бы на одной монете выпал герб; В - на обеих монетах выпал герб;
b). Опыт - два выстрела по мишени.
События: А - хотя бы одно попадание; В - ни одного попадания;
c). Опыт - бросание игрального кубика.
События: А - выпадение шестерки; В - выпадение четного числа очков;
d). Опыт - сдача экзамена.
События: А - получение оценки «3» на экзамене;
В - получение оценки ниже оценки «5».

Слайд 13

3. Какие из предложенных событий образуют полную группу событий?
a). Выигрыш по

первому билету и проигрыш по второму лотерейному билету при наличии двух лотерейных билетов.
b). Два попадания, одно попадание и ни одного попадания при двух выстрелах.
c). Появление 1, 2, 3, 4 при бросании игрального кубика.
d). Получение оценки «5» и получение оценки 4 «на экзамене».
4. Что понимают под суммой двух несовместных событий А и В?
a). Совместное появление событий А и В.
b). Появление хотя бы одного из событий А или В.
c). Появление либо события А, либо события В.

Слайд 14

Классическое определение вероятности
Вероятность события - это численная мера объективной возможности

его появления.
В соответствии с классическим определением, вероятность Р(А) события А равняется отношению числа случаев М, благоприятствующих событию А, к общему числу всех возможных исходов испытания N:
При этом полагают, что:
испытание содержит конечное число исходов;
все исходы испытания равновозможны и несовместны.

Слайд 15

Свойства вероятности события
1. Вероятность любого случайного события есть число от нуля

до единицы, так как число благоприятных исходов не может превышать общего числа исходов испытания (М < N):
0 < Р(А) < 1.
2. Вероятность достоверного события равна 1, так как все исходы испытания являются благоприятными (М = N):
Р(А) = 1.
3. Вероятность невозможного события равна 0, так как нет ни одного благоприятного исхода испытания (М = 0):
Р(∅) = 0.

Слайд 16

Пример. Известно, что среди 25 приборов имеется 5 бракованных. Какова вероятность

при случайном отборе взять бракованный?
Решение.
Множество исходов испытания представляет собой все возможные способы выбора одного прибора из имеющихся 25. Так как отбор случайный, все они равновозможны.
Событие А состоит в том, что отобранный прибор - бракованный. Таким образом общее число вариантов отбора N = 25, из них 5 случаев благоприятствуют событию А, т. е. М = 5.
Следовательно, в соответствии с классическим определением, вероятность события А составляет:
Р(А) = 5 /25 = 0,2.

Слайд 17

Элементы комбинаторики
Комбинаторика - это раздел математики, изучающий методы решения задач

на подсчет числа различных комбинаций.
В комбинаторике есть два важных правила, часто применяемых при решении комбинаторных задач.
1. Правило умножения комбинаторики
Пусть требуется выполнить одно за другим какие-то k действий, причем первое действие можно выполнить n1 способами, второе п2 способами и т. д. до k-го действия, которое можно выполнить пk способами. Тогда все k действий вместе могут быть выполнены n1 n2 … nk способами.
2. Правило сложения комбинаторики.
Если два действия взаимно исключают друг друга, причем одно них можно выполнить n1 способами, а другое п2 способами, то выполнить одно любое из этих действий можно n1 + п2 способами.

Слайд 18

Пример. Сколько существует различных семизначных телефонных номеров?
Решение.
Семизначный номер представляет собой комбинацию

7 ячеек, каждую из которых мы можем заполнить одной из имеющихся в нашем распоряжении 10 цифр - 0, 1, 2, ..., 9. Только в первой ячейке не может быть цифры 0 - иначе номер не будет 7-значным (мы не рассматриваем варианты, когда телефонный номер не может начинаться еще на какие-то цифры, например, на 8 в Москве).
Таким образом, 1-ю ячейку мы можем заполнить 9 способами, а 2-ю, 3-ю и т. д. до последней - 10 способами. Следовательно, по правилу умножения, общее число комбинаций будет равна произведению:
N = 9·106 = 9 000 000.
Пример. Выбрать книгу или диск (один предмет) из 10 книг и 12 дисков можно N = 10 +12 = 22 способами.

Слайд 19

Рассмотрим основные понятия комбинаторики. Пусть дано множество из п различных элементов

и из него мы выбираем случайным образом т элементов (0 < т < п).
Эти m-элементные подмножества могут отличаться:
составом элементов;
порядком следования элементов;
возможностью повтора элементов в подмножестве;
объемом подмножества.
В соответствии с этим выделяют следующие виды подмножеств.
1. Размещения - упорядоченные т-элементные подмножества п-элементного множества, которые отличаются как составом, так и порядком следования элементов. Число всех размещений Аmn из n элементов по т (где т < п), определяется по формуле:

Слайд 20

Напомним, что факториал есть
n! = п · (п - 1) ·...

· 3 · 2 · 1;
0! = 1.
Пример. Сколькими способами можно случайным образом из 25 студентов курса выбрать двух (с учетом порядка их выбора)?
Решение.
Так как в данном случае важно не только то, какие два человека будут выбраны из 25 (состав элементов n), но и кто из них первый, а кто - второй (порядок следования элементов), то общее число комбинаций будет числом размещений из 25 элементов по 2 (m).
Таким образом, искомое общее число способов будет равно:

Слайд 21

Размещения с повторениями
Каждое размещение с повторениями из п элементов по т

элементов может состоять не только из различных элементов, но из т каких угодно и как угодно повторяющихся элементов или не содержать их вообще.
Например, возьмем в качестве трех элементов цифры 1, 2 и 3, тогда п = 3. Построим соединения из них, содержащие два элемента (т = 2), которые будут отличаться друг от друга либо элементами, либо порядком их расположения
Таких соединений будет девять (число размещений с повторениями из трех по два):
11 12 13 21 22 23 31 32 33
Число размещений с повторениями из п элементов по т элементов будем обозначать символом

Слайд 22

2. Перестановки - любые упорядоченные множества, в которые входят по одному

все n различных элементов исходного множества. Число всех перестановок Рn из n элементов определяется по формуле:
Рn = п!
Перестановки - это частный вид размещений, когда п = т:
Рn = Аmn.
Пример. Сколькими способами можно поставить 5 человек в очередь?
Решение.
Так как в данном случае искомые комбинации будут состоять из всех 5 элементов исходного множества, то общее число комбинаций будет числом перестановок из
5 элементов.
Таким образом, искомое общее число способов будет равно:
Р5 = 5! = 5·4·3·2·1 = 120.

Слайд 23

Перестановки с повторениями
Пусть имеется совокупность n элементов, среди которых m элементов первого

типа, l элементов второго типа и k элементов третьего типа (m + l + k = n).
Для расчета числа возможных перестановок с повторениями применяют формулу:
Например, возьмем две цифры (1 и 2), которые в 4-значном (n = 4) числе повторяются по 2 раза (m = 2, k = 2). Число возможных перестановок с повторениями
Найдем все эти перестановки:
1122 1212 1221 2112 2121 2211.

Слайд 24

3. Сочетания – это m-элементные подмножества
n-элементного множества, которые отличаются только

составом элементов (порядок их следования не важен!).
Число всех сочетаний Сmn из п элементов по т (где т < п), определяется по формуле:
Пример. Сколькими способами можно вызвать двух человек из группы 25 человек случайным образом к доске?
Решение.
Так как в данном случае важно только то, какие 2 человека будут выбраны из 25 человек группы (состав элементов), а порядок их следования не важен, то общее число комбинаций будет числом сочетаний из 25 элементов по 2. Таким образом, искомое общее число способов будет равно:

Слайд 25

Сочетания с повторениями
Рассмотрим случай, когда сочетание из п элементов по т

элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до т включительно, или не содержать его совсем. Такое соединение называется сочетанием с повторениями.
Например, возьмем в качестве трех элементов цифры 1, 2 и 3, тогда п = 3. Построим соединения из них, содержащие два элемента (т = 2), которые будут отличаться друг от друга хотя бы одним элементом, при этом каждый элемент может повторяться.
Таких соединений будет шесть (число перестановок с повторениями):
11 12 13 22 23 33
Формула для вычисления числа сочетаний с повторениями:

Теория вероятности и математическая статистика. Введение. Основные понятия. Алгебра событий

Содержание

Лекция 1. Основные изучаемые вопросы:Случайные события.Понятие вероятности события. Элементы комбинаторики.

ВВЕДЕНИЕВсе явления окружающей нас действительности можно рассматривать с точки зрения вероятности

Основные понятия. Алгебра событийСлучайное событие - это любой факт, который может

Если в каждом испытании с неизбежностью происходит некоторое событие - оно

Пример. Рассмотрим случайные события - выпадение определенного числа на верхней грани

В теории вероятностей случайные события рассматриваются с точки зрения теории множеств,

Произведением событий А и В называют событие А·В, состоящее в одновременном

Пример. Пусть случайным образом из колоды карт извлекается одна карта. Введем

События образуют полную группу попарно несовместимых событий, если любые два из

Примеры для обсуждения1. Какие из предложенных событий являются совместными? a). Опыт -

2. Какие из предложенных событий являются несовместными? а). Опыт - бросание монеты. События:

3. Какие из предложенных событий образуют полную группу событий? a). Выигрыш по

Классическое определение вероятности Вероятность события - это численная мера объективной возможности

Свойства вероятности события 1. Вероятность любого случайного события есть число от нуля