Тождественные преобразования

Сентябрь 7, 2022

Главная
Математика
Тождественные преобразования

Содержание

2. Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому
4. Основные тождественные преобразования. Перестановка местами слагаемых, множителей. Раскрытие скобок. Группировка слагаемых, множителей. Замена разностей суммами, частных
5. Рассмотрим задачи на вычисление значений выражений. Пример №1: Вычислите произведение: (2 + 1)(22 + 1)(24 +
6. (2 -1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) (216 + 1)(232 + 1) =
7. Пример №2: Вычислите произведение: Р = Решение: Упростим это выражение: Р = =
8. Полученное произведение можно сократить на 2 • З2 • 42 • 52 (n — 1)2 •
9. Пример №3: Упростите сумму: 1 • 1! + 2 • 2! + 3 • 3! +
10. Итак, прибавим к данной сумме 1 и используем тождество K!+KK! = (K+1)!, а затем вычтем 1.
11. Пример №4: Вычислите сумму: S = . Решение: Воспользуемся тождеством Получим: Ответ:
12. Пример №5: Вычислите сумму: S= Решение: Приведем сумму к общему знаменателю (a-b)(b-c)(c-a): S= = Ответ: 0.
13. Пример №6: Вычислите сумму: Решение: Приведем сумму к общему знаменателю (a-b)(b-c)(c-a): Ответ: 0.
14. Пример №7: Вычислите сумму: Решение: Заметим, что данное выражение имеет смысл при a≠b, a≠с, b≠c. Будем
15. Заметив, что b-c=(a-c)-(a-b) , преобразуем числитель следующим образом: a2(b-c) – b2(a-c)+c2(a-b)=a2(a-c) – a2(a-b) – b2(a-c)+c2(a-b) =(a-c)(a-b)(a+b-c-a)
16. Пример №8: Вычислите сумму: 1 + 11 + 111 + … + 111...1 (n слагаемых). Решение:
17. Пример №9: Вычислите сумму: S=1-2 + 3-4 + - + (-l)n+1∙n. Решение: Очевидно, ответ зависит от
18. 2) Пусть n нечетно. Будем иметь: S = (1 - 2 + 3 - 4 +
20. Скачать презентацию

Слайд 2

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою

голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.
М.И. Калинин

Слайд 3

Слайд 4

Основные тождественные преобразования.
Перестановка местами слагаемых, множителей.
Раскрытие скобок.
Группировка

слагаемых, множителей.
Замена разностей суммами, частных произведениями и обратно.
Выполнение действий с числами
Вынесение за скобки общего множителя.
Приведение подобных слагаемых.
Замена чисел и выражений тождественно равными им выражениями.
Прибавление и вычитание одного и того же числа.

Слайд 5

Рассмотрим задачи на вычисление значений выражений.
Пример №1:
Вычислите

произведение:
(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1).
Решение:
Заметим, что значение первой скобки (2 + 1)=3, если умножить первую скобку на выражение (2-1), то получится формула сокращенного умножения разность квадратов
и значение будет равно 3.
Итак, умножим наше выражение на (2 – 1) и применим формулу разности квадратов 6 раз. Получим:

Слайд 6

(2 -1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)
(216

+ 1)(232 + 1) = (22 – 1)(22 + 1)(24 + 1)
(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (24 – 1)(24 + 1)
(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (28 – 1)(28 + 1)
(216 + 1)(232 + 1) = (216 – 1)(216 + 1)(232 + 1) = (232 – 1)(232 + 1) = (264 – 1).
Ответ: (264 – 1).

Слайд 7

Пример №2:
Вычислите произведение:
Р =
Решение:
Упростим это выражение:
Р =

Слайд 8

Полученное произведение можно сократить на
2 • З2 • 42 •

52 (n — 1)2 • n.
После этого будем иметь:
Р =
Ответ:

Слайд 9

Пример №3:
Упростите сумму:
1 • 1! + 2 • 2! +

3 • 3! + ... + n• n!
Решение:
Вспомним, что такое факториал.
Факториал числа – это произведение натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число). Обозначается факториал (!).
Например: 3! = 1∙2∙3=6
6! =1∙2∙3∙4∙5∙6=720
Запомни факториал 0 и 1 равен 1 (0!=1 и 1!=1).

Слайд 10

Итак, прибавим к данной сумме 1 и используем тождество K!+KK!

= (K+1)!, а затем вычтем 1.
Получим:
1+1∙1!+2∙2!+3∙3!+…+n∙n! =
(1+1)!+2∙2!+3∙3!+…+ n∙n! =
2!+2∙2!+3∙3!+…+ n∙n! =
(2+1)!+3∙3!+…+ n∙n!=
3!+3∙3!+…+ n∙n!=
(1+3)!+…+ n∙n!=
4!+…+ n∙n!=(n+1)!
Вычитая 1 получим: (n+1)! – 1.
Ответ: (n+1)! – 1.

Слайд 11

Пример №4:
Вычислите сумму:
S = .
Решение:
Воспользуемся тождеством
Получим:
Ответ:

Слайд 12

Пример №5:
Вычислите сумму:
S=
Решение:
Приведем сумму к общему знаменателю

(a-b)(b-c)(c-a):
S= =
Ответ: 0.

Слайд 13

Пример №6:
Вычислите сумму:
Решение:
Приведем сумму к общему знаменателю (a-b)(b-c)(c-a):
Ответ: 0.

Слайд 14

Пример №7:
Вычислите сумму:
Решение:
Заметим, что данное выражение имеет смысл при

a≠b, a≠с, b≠c. Будем проводить преобразования для таких значений переменных. Приведя все дроби к наименьшему общему знаменателю, получим:

Слайд 15

Заметив, что b-c=(a-c)-(a-b) , преобразуем числитель следующим образом:
a2(b-c)

– b2(a-c)+c2(a-b)=a2(a-c) – a2(a-b) – b2(a-c)+c2(a-b) =(a-c)(a-b)(a+b-c-a) =
(a-b)(b-c)(a-c).
Таким образом, получили:
= 1
Ответ: 1.

Слайд 16

Пример №8:
Вычислите сумму:
1 + 11 + 111 + …

+ 111...1 (n слагаемых).
Решение:
Заметим, что 1=(10-1)/9, 11=(100-1)/9, 111=
(1000-1)/9,...11...1(n единиц) =(10n-1)/9, Тогда искомая сумма
S = 1/9(10+100+1000+...+10n - n) = 1/9(Sn - n), где Sn - сумма геометрической прогрессии, b1=10, q=10. Sn = (10n+1-10)/9 S = 1/81 ( 10n+1-9n-10)
Ответ: 1/81 ( 10n+1-9n-10)

Слайд 17

Пример №9:
Вычислите сумму:
S=1-2 + 3-4 + - + (-l)n+1∙n.
Решение:

Очевидно, ответ зависит от четности или нечетности n. Поэтому рассмотрим два случая.
Пусть n четно. Тогда:
S = (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + - + (n - 1) - n) = -1
- 1 - ...- 1 = -

Слайд 18

2) Пусть n нечетно. Будем иметь:
S = (1 - 2 +

3 - 4 + …- (n - 1)) + n=
Ответ: если n четно, то S = -n/2; если n нечетно, то S = (n + 1)/2.
Подумайте: нельзя ли два полученных выражения для S объединить в
одной формуле?