Розвязування задач на властивість пірамід

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Розвязування задач на властивість пірамід

Содержание

2. Визначення Пірамідою є багатогранник, одна грань якого – вільний многокутник, а інші грані – трикутники, що
3. З історії означень Евклід визначає піраміду як тілесну фігуру, обмежену площинами, котрі від однієї площини (основи)
4. Элементи піраміди МО – висота МН – апофема АМ, ВМ, СМ, DМ – бічні ребра ∆
5. Формули h – висота S – площа основи
6. Довільна піраміда
7. Об’єм зрізаної піраміди
8. У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює β. Визначити бічну поверхню піраміди, якщо радіус
9. РОЗВ’ЯЗАННЯ
10. №1 Плоский кут при вершині правильної чотирикутної піраміди дорівнює β. Визначити повну поверхню цієї піраміди, якщо
11. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з основою а і кутом β при основі. Одне з
12. РОЗВ’ЯЗАННЯ
13. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом β і радіусом описаного кола R. Грань піраміди,
14. РОЗВ’ЯЗАННЯ
15. РОЗВ’ЯЖІТЬ №1 В основі піраміди лежить правильний трикутник з радіусом вписаного кола r. Дві грані піраміди
16. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом α при основі і радіусом описаного кола R.
17. Примітка: Якщо в деякій піраміді всі бічні ребра рівні між собою або якщо вони утворюють з
18. В основі піраміди лежить трикутник з кутами α і β. Всі бічні ребра піраміди дорівнюють l
19. РОЗВ’ЯЗАННЯ
20. РОЗВ’ЯЖІТЬ №2 В основі піраміди лежить трикутник зі стороною с і прилеглими кутами α і β.
21. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом β при основі і радіусом вписаного кола r.
22. РОЗВ’ЯЗАННЯ
23. Примітка: Якщо в деякій піраміді всі бічні грані утворюють з площиною основи один і той же
24. Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює m. Визначити об’єм піраміди, якщо двогранній кут при основі дорівнює β.
25. РОЗВ’ЯЗАННЯ
26. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом β. Все бічні грані піраміди утворюють з площиною
27. РОЗВ’ЯЗАННЯ
28. №1 У правильній трикутній піраміди радіус описаного навколо основи кола дорівнює R. Визначити повну поверхню піраміди,
29. ПІРАМІДИ ІЗ ЗАДАНИМИ ПЕРЕРІЗАМИ ЗАДАЧА №1
30. РОЗВ’ЯЗАННЯ
32. Через сторону основи правильної трикутної піраміди і середину висоти проведено площину, яка утворює з площиною основи
33. РОЗВ’ЯЗАННЯ
34. РОЗВ’ЯЖІТЬ
35. ПІРАМІДИ, В ЯКИХ ЗАДАНА ВІДСТАНЬ ВІД ОСНОВИ ВИСОТИ ДО БІЧНОГО РЕБРА АБО ДО ЙОГО СЕРЕДИНИ В
36. РОЗВ’ЯЗАННЯ
37. Примітка: Якщо в деякій піраміді всі бічні ребра рівні або якщо вони утворюють з площино основи
38. У правильній трикутній піраміді з основи висоти проведено перпендикуляр до бічного ребра, який утворює з висотою
39. РОЗВ’ЯЗАННЯ
40. №1 У правильній трикутній піраміді бічне ребро утворює з площиною основи ∠α. Визначити об’єм піраміди, якщо
41. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом α при вершині. Всі бічні грані піраміди однаково
42. РОЗВ’ЯЗАННЯ
44. Примітка 2: Якщо бічні грані піраміди утворюють з площиною основи один і той же кут, то
45. ЗАДАЧА №2
46. РОЗВ’ЯЗАННЯ
47. №1 В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом β при основі. Всі бічні грані піраміди
48. В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом β при основі. Основою висоти є точка перетину
49. РОЗВ’ЯЗАННЯ
51. Скачать презентацию

Слайд 2

Визначення
Пірамідою є багатогранник, одна грань якого – вільний многокутник, а інші

грані – трикутники, що мають спільну вершину.

Слайд 3

З історії означень
Евклід визначає піраміду як тілесну фігуру, обмежену площинами,

котрі від однієї площини (основи) збігаються в єдиній точці(вершині).
Герон дає наступне визначення піраміди: це фігура обмежена трикутниками, що збігаються в одній точці, і основою якої є многокутник.

Слайд 4

Элементи піраміди
МО – висота
МН – апофема
АМ, ВМ, СМ, DМ – бічні

ребра
∆ АМD, ∆ DМС, ∆ СМВ, ∆ ВМА – бічні грані
АВСD – основа

Слайд 5

Формули
h – висота
S – площа основи

Слайд 6

Довільна піраміда

Слайд 7

Об’єм зрізаної піраміди

Слайд 8

У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює β.

Визначити бічну поверхню піраміди, якщо радіус кола, вписаного в бічну грань, дорівнює r.
Обчислити, якщо r = 6 см, β = 60°.

ПІРАМІДИ, В ЯКИХ ЗАДАНО ПЛОСКИЙ
КУТ ПРИ ВЕРШИНІ

ЗАДАЧА №1

Слайд 9

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Слайд 10

№1
Плоский кут при вершині правильної чотирикутної піраміди дорівнює β. Визначити повну

поверхню цієї піраміди, якщо сторона основи дорівнює а. Обчислити, якщо а = 8см, β = 60°.
№2
У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює φ. Визначити бічну поверхню піраміди, якщо радіус вписаного в бічну грань кола дорівнює r. Обчислити, якщо r = 6см, φ = 60°.
№3
У правильній трикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює α. Визначити бічну поверхню піраміди, якщо радіус кола, описаного навколо бічної грані, дорівнює R. Обчислити, якщо R = 12 cм,
α = 60°.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

Слайд 11

В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з основою а і

кутом β при основі. Одне з бічних ребер перпендикулярно до площини основи, а два інших нахилені до неї під кутом φ. Визначите об’єм піраміди. Обчислити, якщо а = 12 см, β = 60°, φ = 65°.

ПІРАМІДИ, В ЯКИХ БІЧНІ ГРАНІ АБО БІЧНЕ РЕБРО
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ДО ПЛОЩИНИ ОСНОВИ

ЗАДАЧА №1

Слайд 12

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Слайд 13

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом β і

радіусом описаного кола R. Грань піраміди, що містить гіпотенузу ,⊥до площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутом α. Визначити об’єм піраміди. Обчислити, якщо R = 6см, α = 60°, β = 30°.

ЗАДАЧА №2

Слайд 14

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Слайд 15

РОЗВ’ЯЖІТЬ
№1
В основі піраміди лежить правильний трикутник з радіусом вписаного кола

r. Дві грані піраміди перпендикулярні до площини основи, а третя нахилена до неї під кутом α. Визначити об’єм піраміди. Обчислити, якщо
r = 6см, α = 60°.
№2
В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом α при вершині. Одне з бічних ребер перпендикулярне до площини основи, а два інших дорівнюють b і утворюють з основою ∠φ. Визначити об’єм піраміди. Обчислити якщо b = 12 см, α = 60°, φ = 45°.
№3
В основі піраміди лежить правильний трикутник з стороною a. Одна грань піраміди перпендикулярна до площини основи, а дві інші нахилені до неї під кутом α . Визначити об’єм цієї піраміди. Обчислити, якщо а = 6см,
α = 60°.

Слайд 16

В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом α при основі

і радіусом описаного кола R. Визначити об’ єм піраміди, якщо всі бічні ребра її утворюють з площиною основи ∠β. Обчислити, якщо R = 12см, α = 60°, β = 45°.

ПІРАМІДИ, В ЯКИХ БІЧНІ РЕБРА НАХИЛЕНІ ДО ПЛОЩИНИ ОСНОВИ ПІД ОДНИМ І ТИМ ЖЕ КУТОМ

ЗАДАЧА №1

Слайд 17

Примітка: Якщо в деякій піраміді всі бічні ребра рівні між собою

або якщо вони утворюють з площиною основи один і той же ∠, то вершина піраміди проектується в центр кола, описаного навколо основи.

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Слайд 18

В основі піраміди лежить трикутник з кутами α і β. Всі

бічні ребра піраміди дорівнюють l і нахилені до площини основи під кутом ?. Визначити об’єм піраміди. Обчислити, якщо l = 18, ? = 60°, ? = 30°, ? = 45°.

ЗАДАЧА №2

Слайд 19

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Слайд 20

РОЗВ’ЯЖІТЬ

№2
В основі піраміди лежить трикутник зі стороною с і

прилеглими кутами α і β. Всі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом φ. Визначити об’єм піраміди.
Обчислити, якщо c = 12 см, α = 30°, β = 60°, φ = 45°.

Слайд 21

В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом β при основі

і радіусом вписаного кола r. Визначити об’єм піраміди, якщо всі бічні грані піраміди утворюють з площиною ∠α. Обчислити, якщо r = 6 см,
α = 45°, β = 60°.

ПІРАМІДИ, В ЯКИХ БІЧНІ ГРАНІ НАХИЛЕНІ ДО ПЛОЩИНИ ОСНОВИ ПІД ОДНИМ І ТИМ ЖЕ КУТОМ

ЗАДАЧА №1

Слайд 22

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Слайд 23

Примітка: Якщо в деякій піраміді всі бічні грані утворюють з площиною

основи один і той же ∠, або якщо висоти всіх бічних граней рівні між собою, то вершини піраміди проектуються в центр кола, вписаного в основу.

Слайд 24

Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює m. Визначити об’єм піраміди, якщо

двогранній кут при основі дорівнює β. Обчислити, якщо m = 12 см,
β = 60°.

ЗАДАЧА №2

Слайд 25

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Слайд 26

В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом β. Все бічні

грані піраміди утворюють з площиною основи ∠α. Визначити бічну поверхню піраміди, якщо її висота дорівнює h. Обчислити, якщо h = 12 см,
α = 60°, β = 30°.

ЗАДАЧА №3

Слайд 27

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Слайд 28

№1
У правильній трикутній піраміди радіус описаного навколо основи кола дорівнює

R. Визначити повну поверхню піраміди, якщо двогранний кут при основі дорівнює α. Обчислити, якщо R = 12 см, α = 60°.
№2
Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює l. Визначити об’єм піраміди, якщо двогранний кут при основі дорівнює β. Обчислити, якщо l = 18 см, β = 60°.

РОЗВ’ЯЖІТЬ

Слайд 29

ПІРАМІДИ ІЗ ЗАДАНИМИ ПЕРЕРІЗАМИ

ЗАДАЧА №1

Слайд 30

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Слайд 31

Слайд 32

Через сторону основи правильної трикутної піраміди і середину висоти проведено

площину, яка утворює з площиною основи ∠φ. Визначити об’єм піраміди, якщо її висота = H. Обчислити, якщо H = 12см, φ = 45°.

ЗАДАЧА №2

Слайд 33

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Слайд 34

РОЗВ’ЯЖІТЬ

Слайд 35

ПІРАМІДИ, В ЯКИХ ЗАДАНА ВІДСТАНЬ ВІД ОСНОВИ ВИСОТИ ДО БІЧНОГО РЕБРА

АБО ДО ЙОГО СЕРЕДИНИ

В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом α при основі. Всі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом β. Визначити об’єм піраміди, якщо відстань від основи висоти до бічного ребра дорівнює l. Обчислити, якщо l = 18 см, α = 60°, β = 60°.

ЗАДАЧА №1

Слайд 36

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Слайд 37

Примітка: Якщо в деякій піраміді всі бічні ребра рівні або якщо

вони утворюють з площино основи один і той же ∠, то відстані від основи висоти піраміди до бічних ребер рівні між собою.

Слайд 38

У правильній трикутній піраміді з основи висоти проведено перпендикуляр до

бічного ребра, який утворює з висотою ∠φ. Основа цього перпендикуляра віддалена від вершини на відстань d. Визначити об’єм піраміди. Обчислити d = 12 см, φ = 30°.

ЗАДАЧА №2

Слайд 39

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Слайд 40

№1
У правильній трикутній піраміді бічне ребро утворює з площиною основи ∠α.

Визначити об’єм піраміди, якщо відстань від основи висоти до її бічного ребра дорівнює l. Обчислити, якщо l = 12см, α = 60°.
№2
У правильній трикутній піраміді з основи висоти проведено перпендикуляр до бічного ребра, який утворює з площиною ∠φ. Довжина цього перпендикуляра дорівнює а. Визначити об’єм піраміди. Обчислити, якщо а = 18см, і φ = 30°.
№3
В основі піраміди лежить прямокутник з кутом α між діагоналями. Всі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом β. Визначити об’єм піраміди, якщо відстань від основи висоти до бічного ребра дорівнює а. Обчислити, якщо а = 12см, α = 60°, β = 60°.

РОЗВ’ЯЖІТЬ

Слайд 41

В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом α при вершині.

Всі бічні грані піраміди однаково нахилені до площини основи. Перпендикуляр, проведений з основи до бічної грані, дорівнює b і утворює з площиною основи ∠φ. Визначити об’єм піраміди. Обчислити, якщо b = 12см, α = 60°, β = 60°.

ПІРАМІДИ, В ЯКИХ ЗАДАНО ВІДСТАНЬ ВІД
ОСНОВИ ВИСОТИ ДО БІЧНОЇ ГРАНІ

ЗАДАЧА №1

Слайд 42

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Слайд 43

Слайд 44

Примітка 2: Якщо бічні грані піраміди утворюють з площиною основи один

і той же кут, то перпендикуляри, проведені з основи висоти піраміди до бічних граней, рівні між собою і утворюють однакові кути з площиною основи.

Примітка 1: Якщо з основи висоти піраміди опустити перпендикуляр до бічної грані, то основа цього перпендикуляра лежить на висоті даної грані, проведеній з вершини піраміди. Кут між перпендикуляром і площиною основи дорівнює куту між перпендикуляром і проекцією зазначеної висоти на площину основи.

Слайд 45

ЗАДАЧА №2

Слайд 46

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Слайд 47

№1
В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом β при основі.

Всі бічні грані піраміди однаково нахилені до площини основи. Перпендикуляр, проведений з основи висоти до бічної грані, утворює з висотою ∠φ. Основа перпендикуляра віддалена від вершини піраміди на відстань а. Обчислити, якщо а = 12 см, β = 60°, φ = 60°.

№2
В основі піраміди лежить ромб з гострим кутом α. Точка перетину діагоналей ромба є основою висоти, з якої до бічної грані проведено перпендикуляр, який утворює з площиною ∠φ. Визначити бічну поверхню піраміди, якщо довжина цього перпендикуляра дорівнює а. Обчислити, якщо а = 12 см, α = 60°, φ = 30°.

№3
В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з кутом β. Основою висоти піраміди є вершина іншого гострого кута трикутника, з якої проведено перпендикуляр до протилежної бічної грані. Цей перпендикуляр утворює висотою піраміди ∠φ, а його основа віддалена від вершини піраміди на відстань b. Визначити об’єм піраміди. Обчислити, якщо b = 12 см, α = 60°, φ = 30°.

РОЗВ’ЯЖІТЬ

Слайд 48

В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом β при основі.

Основою висоти є точка перетину медіан. Бічна грань, що містить основу цього трикутника, утворює з площиною основи піраміди ∠α. Визначити об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює Н. Обчислити, якщо Н = 12 см, α = 60°, β = 60°.

ЗАДАЧА №3

Слайд 49