Тригонометрический круг

нулевое положение радиуса принято его положение на положительном направлении оси Х.

Угол поворота радиуса отсчитывается от положительного направления оси Х: с плюсом - против часовой стрелки, с минусом - по часовой стрелке.

х

х

равную радиусу

Длина окружности 2πR

В окружности 2πR : R = 2π радиан

2π соответствуют 360°

2π --------------- 360°

π --------------- 180°

90° = 180° /2 = π /2

270° = 90°· 3 = 3π /2

0°

π /2
π
3π /2

Радианная мера углов в круге
2π

0°

1,57
3,14
4,71
6,28

Так как π = 3,14…, то

удобно пользоваться пропорцией.

π --------------- 180°

180°−−−−−−−−−−−− π

2

3

120° −−−−−−−−−−−− х

30° = π /6

45° = π /4

60° = π /3

Перевод радиан в градусы

Подставьте вместо π 180° и сократите

Перевести 3π /4 в градусы.

ордината точки А на круге,
получающаяся при повороте радиуса на угол α.

Синус угла α – это ордината (у) угла α

sinα

абсцисса точки А на круге,
получающаяся при повороте радиуса на угол α.

Косинус угла α – это абсцисса (х) угла α

cosα

получающаяся при повороте радиуса на угол α.

Абсцисса - cosα

( х = 1 ), получающаяся при пересечении продолжения радиуса с осью тангенсов при повороте радиуса на угол α.

tgα

Ось тангенсов, х = 1

В

В

 

 

( у = 1 ), получающаяся при пересечении продолжения радиуса с осью котангенсов при повороте радиуса на угол α.

сtgα

Ось котангенсов, у = 1

В

В

 

 

0

1 0 -1 0 1

0 - 0 - 0

- 0 - 0 -

Значения тригонометрических функций

(1;0)

(0;1)

(-1;0)

(0;-1)

Диаметральные углы

котангенса поменяйте крайние значения

оси У, косинус –по оси Х

Тангенс и котангенс в 1 четв.- плюс, далее знаки чередуются

1. Определять четверть нахождения угла; 2. Определить знак функции.

sin315º < 0, т.к угол 3 четв.
tg5π/6 <0, угол 2 четв.
cos2 11π/4 > 0, т.к Cos2

π/2

0

π/2

π

3π/2

2π

3π/2

Красная линия - это плюс
Синяя – это минус

Tg, ctg

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

sin х ≤ 1, или |sinx | ≤ 1,
-1 ≤ cos х ≤ 1, или |cosx | ≤ 1,

Уметь находить множество значений функции, выражения

y = 3 -2sinx. E(y) = (1;5)
sinx = -1, y = 3+2 = 5
sinx = 1, y = 3-2 = 1

π

3π/2

2π

3π/2

π/2

1

-1

1

-1

|sinx | ≤ 1

|cosx | ≤ 1

не изменяется.

f(x +Т) = f(x)

Если Т – период, то Tn для n € Z тоже период. Считается Т – наименьший период

Так как f(x +Тn) = f(x), то Tn можно опустить

sin, cos Т = 2π

tg, ctg Т = π

вынести за знак функции

Примеры

1. sin ( – х) = - sin х

2. sin ( π/4 – х) = - sin ( х - π/4 )

4. cos (-7π/3)= cos 7π/3 = cos (2π + π/3) = cos π/3 = ½

5. cos (-β) = cos β

6. ctg ( 2α - π/2) = - ctg (π/2 - 2α )

Косинус – функция

четная.

Минус у угла можно опустить