Вероятностные модели для расчёта надёжности

Введем обозначения

Аi – событие безотказной работы i-го элемента;
Аi – событие отказа

Системы отображаются в виде:

физических схем: они имеют действительные, электрические связи;
логических (расчётных) схем: они

Пример

Потребитель мощностью 3 МВт получает электропитание от 3-х одинаковых линий с

Докажем справедливость логической схемы с помощью таблицы истинности
Физическая схема Логическая схема

1

2

3

1

2

3

2

3

4.2. Последовательное соединение элементов

Последовательным (в смысле надёжности) называют такое соединение, при

4.2.1. При отсутствии восстановления элементов

Вероятность б.о.р. системы, состоящей из независимых и

С другой стороны
Rс(t) = exp(– λсt)
Значит
λс = λ1 + λ2

4.2.2. При мгновенном восстановлении элементов

Число отказов системы равно сумме чисел отказов

––––x––––––––––x–––––––x––––––––––––––– 1 эл.
––––––––x–––––––––––––––x–––––––––––––– 2 эл.
–––––x–––––––––––––––––––––––––––x––––– 3 эл.
––––––––––x–––––––––––––––––––––x–––––– 4 эл.
––––хх––х–x––––х––––––––хх–––––––xх––––– Система
hс =

Вероятность появления k отказов на интервале Δt:
Вероятность б.о.р. системы:
R(t) = exp(–

4.2.3. При конечном времени восстановления

В этом случае при отказе элемента, на

Дано:
последовательность средних периодов б.о.р. элементов:
Т1, Т2, …;
со средним временем б.о.р. системы:
Тс

Решение

Вероятность отказа i-го элемента на отрезке Δt:
λi Δt
Вероятность отказа системы на

Формулы для средней длительности восстановления системы

Выведем коэффициент готовности системы через Тi, τi

Коэффициент готовности системы

4.3. Параллельное соединение элементов

4.3.1. Резервирование одного элемента (n-1) резервным
Система с параллельным

Вероятность отказа такой системы равна:
Р(Ас) = Р(А1) ∙ Р(А2) ∙ …

При равнонадежных элементах и экспоненциаль-ном законе:
Qс(t) = (1 – exp(– λt))n,
где

При n → ∞
Тс = ln(n)/λ
Например:
n = 100: Тс = 4,6/λ
n

Тс = Тn / nτn-1 ;
τс = τ / n ;
λс

4.3.2. Резервирование r рабочих элементов (n – r) резервными

Пусть система состоит

Пример

k = (n – r) / r – кратность резервирования

n –

Как рассчитать функции надежности Rc и отказа Qс всей системы, зная

Пример

Дано: Найти:
n = 5 Rc
r = 2 Qc
n – r + 1 = 4
k

Решение

Очевидно, что для системы:
Rc + Qc = 1
и для каждого элемента:
R

Обобщим результаты этого примера

Виды резервирования

По способу включения резервных элементов резервирование бывает:
постоянное (резервные объекты включены

Постоянное резервирование (неявное)

Отказавший элемент должен отключаться защитной аппаратурой, надёжность которой будет

Резервирование замещением (явное)

Отказавший элемент должен отключаться защитной аппаратурой, а резервный элемент

4.4. Последовательно-параллельное соединение элементов

В этом случае логическая схема поэтапно эквивалентируется до

Полезно помнить, что:

при последовательном соединении робщ меньше меньшего;
при параллельном соединении робщ

Пример

1

2

0,96

0,92

3

0,85

5

0,8

5

0,7

6

0,7

7

0,9

Вывод

За счёт параллельных связей надёжность системы выше надёжности каждого элемента.

4.5. Метод минимальных путей и сечений

Этот метод применяют, когда структуру системы

Минимальный путь – путь, удаление из которого хотя бы одного элемента

Пример

Минимальные пути:
14, 25, 135, 234
Минимальные сечения:
12, 45, 135, 234

1

2

4

5

3

Схема минимальных путей отражает работоспособность:

1

4

2

5

1

3

2

3

5

4

Пусть все элементы равнонадежны. Вероятность РСС каждого элемента равна р. Найдём вероятность

4.6. Метод декомпозиции

Этот метод применяют для мостиковых схем.
По сути метод декомпозиции

Пример

Допустим, все элементы равнонадежны

1

2

4

5

3

Гипотеза Н1

Р(А|Н1) = (р + р – р2)2 =
= (2р