Виды тригонометрических уравнений

Сентябрь 7, 2022

Главная
Математика
Виды тригонометрических уравнений

Содержание

2. Так какие же они эти уравнения?
3. Решение простейших тригонометрических уравнений
4. Уравнение cos t = a. Если lаl›1, то уравнение не имеет корней. Если lаl≤1, то t
5. Уравнение sin t = a. Если lаl›1, то уравнение не имеет решений. Если lаl≤1, то t
6. Уравнение tg t = a t = arctg a + πn, n Є Z. arctg (-a)
7. Уравнение ctg t = a. t = arcctg a + πn, n Є Z. arcctg (-a)
8. Типы тригонометрических уравнений
9. Уравнения приводимые к алгебраическим
10. Уравнение sin²x + sin x -2 = 0 Это уравнение является квадратным относительно sin x. Обозначив
11. Уравнение 2cos²x – 5 sin x + 1 = 0. Заменяя cos²x на 1 - sin²x,
12. Уравнения, являющиеся равенством двух одноименных тригонометрических функций.
13. Уравнение вида sin f(x) = sin φ(x) Равносильно единению уравнений: f(x) = φ(x) + 2πk, k
14. Уравнение вида cos f(x) = cos φ(x) Равносильно единению уравнений: f(x) = φ(x) +2πn, n Є
15. Уравнение вида tg f(x) = tg φ(x) Равносильно системе: f(x) = φ(x) +πk; φ(x) ≠ π/2
16. Однородные уравнения
17. 2 cos x – 3 sin x = 0 Это однородное уравнение первой степени. Обе части
18. 3 sin²x – 4 sin x cos x + cos²x = 0 Это уравнение второй степени.
19. Если уравнение может быть приведено к виду, когда его левая часть однородное выражение второй степени относительно
20. Уравнения, решающиеся разложением на множители.
21. При решении этого типа уравнения необходимо пользоваться известным правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя
22. Уравнения вида a cos x + b sin x = c(a·b·c ≠ 0) Один из способов
24. Скачать презентацию

Слайд 2

Так какие же они эти уравнения?

Слайд 3

Решение простейших тригонометрических уравнений

Слайд 4

Уравнение cos t = a.
Если lаl›1, то уравнение не имеет корней.
Если

lаl≤1, то
t = ±arccos a + 2πn, n Є Z.
Частные случаи:
cos t = 0, t = π/2+ πn, n Є Z.
cos t = 1, t = 2πn, n Є Z.
cos t = -1, t = π +2πn, n Є Z.
arccos (-a) = π – arccos a
cos (arccos a) = a

Слайд 5

Уравнение sin t = a.
Если lаl›1, то уравнение не имеет решений.
Если

lаl≤1, то
t = (-1)ⁿarcsin a + πn, n Є Z.
Частные случаи:
sin t = 0, t = πn, n Є Z.
sin t = 1, t = π/2 + 2πn, n Є Z.
sin t = -1, t = -π/2 + 2πn, n Є Z.
arcsin (- a) = - arcsin a.
arccos a + arcsin a = π/2

Слайд 6

Уравнение tg t = a

t = arctg a +

πn, n Є Z.
arctg (-a) = - arctg a.
tg (arctg a) = a

Слайд 7

Уравнение ctg t = a.

t = arcctg a +

πn, n Є Z.
arcctg (-a) = - arcctg a.
arctg a + arcctg a = π/2

Слайд 8

Типы тригонометрических уравнений

Слайд 9

Уравнения приводимые к алгебраическим

Слайд 10

Уравнение sin²x + sin x -2 = 0
Это уравнение

является квадратным
относительно sin x.
Обозначив sin x = y, получим уравнение у²+ у – 2 = 0. Его корни
у1 = 1, у2 = -2. Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений
sin x = 1 и sin x = - 2.
Уравнение sin x = 1 имеет корни x = π/2 + πn, n Є Z.
Уравнение sin x = - 2 не имеет корней.

Слайд 11

Уравнение 2cos²x – 5 sin x + 1 = 0.
Заменяя cos²x на

1 - sin²x, получаем:
2 (1 - sin²x) – 5 sin x + 1 = 0 или
2 sin²x – 5 sin x - 3 = 0.
Обозначая sin x = y, получаем
2y²+ 5y – 3 = 0, откуда y1 = - 3, y2 = ½.
1) sin x = - 3 – уравнение не имеет корней, так как l- 3l › 1.
2) sin x = ½, x = (- 1)ⁿ arcsin ½ + πn = (-1)ⁿπ/6 + πn, n Є Z.

Слайд 12

Уравнения, являющиеся равенством двух одноименных тригонометрических функций.

Слайд 13

Уравнение вида sin f(x) = sin φ(x)
Равносильно единению уравнений:
f(x) =

φ(x) + 2πk, k Є Z
f(x) = π – φ(x) + 2πn, n Є Z

Слайд 14

Уравнение вида cos f(x) = cos φ(x)
Равносильно единению уравнений:
f(x) = φ(x) +2πn,

n Є Z
f(x) = - φ(x) + 2πm, m Є Z

Слайд 15

Уравнение вида tg f(x) = tg φ(x)
Равносильно системе:
f(x) = φ(x) +πk;
φ(x)

≠ π/2 +πn ( или f(x) ≠ π/2 + πm), k, n, m Є Z

Слайд 16

Однородные уравнения

Слайд 17

2 cos x – 3 sin x = 0
Это однородное

уравнение первой степени. Обе части уравнения нужно разделить на cos x = 0. Уравнение cos x = 0 не содержит корней данного уравнения. Действительно, если
cos x0 = 0, cos x0 = 0,
то
2 cos x0 - 3 sin x0 = 0, sin x0 = 0,
но это не возможно, так как cos²x0 + sin² x0 = 1.
Следовательно, имеем равносильное уравнение
tg x = 2/3;
x = arctg 2/3 + πm, m Є Z.

Слайд 18

3 sin²x – 4 sin x cos x + cos²x =

Это уравнение второй степени. Значения х, при
которых cos x = 0, не являются решениями этого
уравнения, так как если cos x = 0, то должно
выполнятся равенство 3sin²x = 0, а косинус и синус не
могут быть одновременно равными нулю. Поэтому
можно обе части уравнения разделить на cos²x (или
на sin²x) и при этом получить уравнение,
равносильное данному уравнению 3 tg²x – 4 tg x + 1 = 0,
откуда tg x = 1 или tg x = 1/3. Следовательно,
x =π/4 + πn, n Є Z, или x = arctg 1/3 + πn, n Є Z.

Слайд 19

Если уравнение может быть
приведено к виду, когда его левая

часть
однородное выражение второй
степени относительно тригонометрических
функций, а в правой есть число, отличное
от нуля, то такое уравнение можно привести
к однородному уравнению второй степени
относительно cos f(x) и sin f(X), представив
число в правой части
a = a(sin²f(x) + cos²f(x)).

Слайд 20

Уравнения, решающиеся разложением на множители.

Слайд 21

При решении этого типа уравнения необходимо пользоваться известным правилом: произведение

нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.
cos x = 0,
или 3 tg x = 5
cos x ≠ 0,
x = arctg 5/3 + πm, m Є Z.
2) (2 cos x – 1) √sin x = 0,
sin x = 0 или cos x = ½
x = πk, k Є Z; sin x › 0.

Слайд 22

Уравнения вида a cos x + b sin x = c(a·b·c ≠

Один из способов решения такого уравнения состоит в том, что левую часть уравнения можно преобразовать по формуле:
a cos x + b sin x = √a²+ b² cos (x – φ), где
cos φ = a/√a²+ b²
sin φ = b/√a²+b²