Визначений інтеграл

Август 10, 2022

Главная
Математика
Визначений інтеграл

Содержание

2. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a;b](де a Розбити цей відрізок на n частинних відрізків довжиною
3. Означення Якщо по різному ділити відрізок [a;b] на n частинних відрізків і по-різному вибирати на них
4. Властивості визначеного інтеграла 1) При перестановці меж інтегрування знак інтегралу змінюється на протилежний: 2) Інтеграл з
5. 5) Постійний множник k можна виносити за знак інтеграла: Для обчислення визначеного інтеграла використовується формула Ньютона-Лейбніца:
6. Приклад 1. Приклад 2.
7. 2. Метод заміни змінної у визначеному інтегралі. Якщо визначений інтеграл перетворюється за допомогою підстановки: в інший
8. Приклад 3.
9. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі. Якщо підінтегральний вираз у визначеному інтегралі можна представити у вигляді добутку
10. Приклад 4.
11. 3. Невласні інтеграли. а) Інтеграли з нескінченними межами. Означення. Якщо існує скінченна границя: то цю границю
12. Тобто: (3) У цьому випадку кажуть, що інтеграл існує або він є збіжним. Якщо не має
13. Приклад. Обчислити інтеграл: Розв’язок:
14. б) Інтеграли від розривних функцій. Якщо функція визначена та неперервна у відкритому інтервалі: ,а у точці
15. Якщо функція f(x) має розрив у точці x = c всередині відрізка [a, b], то вважаємо,
16. 4. Обчислення площ плоских фігур. Площу криволінійної трапеції, що обмежена неперервною кривою , віссю Ох, та
17. Якщо плоска фігура обмежена двома неперервними кривими, рівняння яких: ,причому скрізь на відрізку , та двома
18. Економічні задачі, що зводяться до обчислення визначених інтегралів Якщо -продуктивність праці в момент часу t, то
19. Задача 1. Знайти обсяг продукції, виробленої за чотири роки, якщо продуктивність праці характеризується формулою: . Розв’язання.
20. Знаходження середнього часу, затраченого на виготовлення виробу Нехай відома функція ,що описує зміни витрат часу t
22. Скачать презентацию

Слайд 2

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a;b](де a < b), і

якщо:
Розбити цей відрізок на n частинних відрізків довжиною Δx1, Δx2, ..., Δxn;
Вибрати на кожному частинному відрізку по одній довільній точці ε1, ε2, ..., εn;
Обчислити значення функції f(x) у вибраних точках;
Скласти суму
то вона називається інтегральною сумою f(x) на відрізку [a;b].

Слайд 3

Означення
Якщо по різному ділити відрізок [a;b] на n частинних відрізків і

по-різному вибирати на них по одній точці εi, то можна для будь-якої неперервної функції f(x) і будь-якого заданого відрізка [a;b] скласти нескінченну множину різних інтегральних сум.
При цьому виявляється, що всі ці інтегральні суми при необмеженому зростанні n при прямуванні до нуля найбільшої із довжин частинного відрізка, мають одну і ту ж границю.
Ця границя всіх інтегральних сум функції f(x) на відрізку [a;b] називається визначеним інтегралом від f(x) в межах від a до b та позначається:

Слайд 4

Властивості визначеного інтеграла
1) При перестановці меж інтегрування знак інтегралу змінюється на

протилежний:
2) Інтеграл з однаковими межами дорівнює нулю:
3) Відрізок інтегрування можна розбити на частини:
4) Інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює сумі інтегралів від кожного доданку:

Слайд 5

5) Постійний множник k можна виносити за знак інтеграла:
Для обчислення визначеного

інтеграла використовується формула Ньютона-Лейбніца:
(1)
тобто, визначений інтеграл дорівнює різниці значень невизначеного інтеграла при верхній та нижній межах інтегрування.

Слайд 6

Приклад 1.
Приклад 2.

Слайд 7

2. Метод заміни змінної у визначеному інтегралі.
Якщо визначений інтеграл перетворюється за

допомогою підстановки:
в інший інтеграл, з новою змінною t, то задані межі: змінюються новими межами:
, які визначаються з вибраної підстановки, тобто з рівнянь:
Якщо неперервні на відрізку:
то:
(2)

Слайд 8

Приклад 3.

Слайд 9

Інтегрування частинами у визначеному інтегралі.
Якщо підінтегральний вираз у визначеному інтегралі

можна представити у вигляді добутку двох співмножників: u, dv, то для обчислення визначеного інтегралу треба скористатися формулою інтегрування частинами:

Слайд 10

Приклад 4.

Слайд 11

3. Невласні інтеграли.
а) Інтеграли з нескінченними межами.
Означення. Якщо існує скінченна границя:

то цю границю називають невласним інтегралом від функції ,
в інтервалі і позначають:

Слайд 12

Тобто: (3)
У цьому випадку кажуть, що інтеграл існує або він є

збіжним. Якщо не має
скінченної границі, то кажуть, що
не існує, або він розбіжний.
Аналогічно визначаються:

Слайд 13

Приклад. Обчислити інтеграл:
Розв’язок:

Слайд 14

б) Інтеграли від розривних функцій.
Якщо функція визначена та неперервна у відкритому

інтервалі: ,а у точці x=b невизначена, або має розрив, тоді інтеграл визначають наступним чином:
Якщо границя, що стоїть у правій частині рівності, існує, то інтеграл називають невласний збіжний інтеграл, у протилежному випадку – розбіжний.
У випадку, коли функція має розрив у точці x = a відрізка [a, b], то за означенням

Слайд 15

Якщо функція f(x) має розрив у точці x = c всередині

відрізка [a, b], то вважаємо, що
коли обидва невласних інтеграли у правій частині рівності існують.
Приклад: Обчислити

Слайд 16

4. Обчислення площ плоских фігур.
Площу криволінійної трапеції, що обмежена неперервною кривою

, віссю Ох, та двома прямими: , знаходиться за формулою:
Якщо , то площа відповідної фігури обчислюється як інтеграл від абсолютного значення функції:

Слайд 17

Якщо плоска фігура обмежена двома неперервними
кривими, рівняння яких: ,причому
скрізь

на відрізку , та двома
прямими: , то площа визначається
за формулою:

Слайд 18

Економічні задачі, що зводяться до обчислення визначених інтегралів
Якщо -продуктивність праці в

момент часу t,
то -обсяг продукції, що
випускається за проміжок часу .
-обсяг продукції, що
випускається за проміжок часу .

Слайд 19

Задача 1. Знайти обсяг продукції, виробленої за чотири роки, якщо продуктивність

праці характеризується формулою: .
Розв’язання.
Обсяг виробленої продукції дорівнює:

Слайд 20

Знаходження середнього часу, затраченого на виготовлення виробу
Нехай відома функція ,що описує

зміни витрат часу t на виготовлення виробу в залежності від ступеня освоєння виробництва, де х-порядковий номер виробу в партії. Тоді середній час , витрачений на виготовлення одного виробу в період
освоєння від до виробів обчислюється за формулою:

Визначений інтеграл

Содержание

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a;b](де a < b), і

ОзначенняЯкщо по різному ділити відрізок [a;b] на n частинних відрізків і

Властивості визначеного інтеграла1) При перестановці меж інтегрування знак інтегралу змінюється на

5) Постійний множник k можна виносити за знак інтеграла:Для обчислення визначеного

Приклад 1.Приклад 2.

2. Метод заміни змінної у визначеному інтегралі.Якщо визначений інтеграл перетворюється за

Приклад 3.

Інтегрування частинами у визначеному інтегралі. Якщо підінтегральний вираз у визначеному інтегралі

Приклад 4.

3. Невласні інтеграли.а) Інтеграли з нескінченними межами.Означення. Якщо існує скінченна границя:

Тобто: (3)У цьому випадку кажуть, що інтеграл існує або він є

Приклад. Обчислити інтеграл:Розв’язок:

б) Інтеграли від розривних функцій.Якщо функція визначена та неперервна у відкритому