Вневписанная окружность

окружности.
Центр вневписанной окружности.
Касательная к вневписанной окружности.
Радиус вневписанной окружности:
Соотношение между радиусом вневписанной окружности и периметром треугольника.
Соотношение между радиусом вневписанной окружности, площадью и периметром треугольника.
Задачи :
Задача №1.
Задача №2.
Задача №3.
2. Соотношения с радиусами вневписанных окружностей.
Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности.
Выражение суммы величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, через величину обратную радиусу вписанных окружностей.
Выражение суммы всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей через квадрат полупериметра треугольника.
Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей через произведение радиуса вписанной окружности и квадрат полупериметра треугольника. + следствие №1.
следствие №2.
Задачи :
Задача №4.
Задача №5.
Задача №6.
Задача №7.

треугольника и продолжений двух других сторон. Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, почему они и получили название вневписанных.

О3

O2

О1

внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника.

.

А

В

С

O

проведенные из одной точки, равны ,то ВВ1=ВА1, СА1=СС1, АВ1=АС1.
Значит, P= (АС+СА1)+(АВ+ВА1)= (АС+СС1)+(АВ+ВВ1)= АС1+АВ1=2АС1=2АВ1, т.е.

Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника

треугольнике ΔАОаС1 ra и – длины катетов, ∠ОаАС = ,
поэтому , что и требовалось доказать.
II . Радиус вневписанной окружности, касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т. е.

треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е.

Дано:
ΔABC; Вневписанная окр. (Оа;rа)
Доказать:
Док-во:
Имеем: , что и требовалось доказать.

точки касания с вневписанной окружностью равно 17 , расстояние от вершины B до точки касания окружности со стороной BC равно 6, расстояние от вершины С до точки касания окружности со стороной АC равно 4.
(авторская задача)

РЕШЕНИЕ

касательной вневписанной окружности), то Р= АВ1* 2 =>
Р= 17*2=34.
Ответ: Р = 34.

Решение:

Дано:
Окр(Оа;ОаC1);ΔАВС;AB1=17, BL=6, CC1=4.
Найти: P-?.
Решение №1:
1) Рассмотрим ΔАВС.
Т.к. BL=BB1=6 (как отрезки касательных, проведенные из одной точки), то АВ=АВ1- BB1 => АВ=17-6=11.

17

А

В

В1

Оа

L

6

4

С

С1

2) Т.к. СL=СB1=4 (как отрезки касательных, проведенные из одной точки), то ВС=BL + LC => ВC=6+4=10.

4) Р=AB+ВС+АС => Р=11+10+13=34.

3) Т.к. AB1=АС1 =17 (как отрезки касательных, проведенные из одной точки), то АС= АС1- CC1 => АС=17-4=13.

13

система задач по геометрии Р.К.Гордина)

случай) :
1. Пусть стороны AB , AC и BC треугольника ABC равны 13, 13 и 10 соответственно, AH — высота треугольника, ra — радиус вневписанной окружности, касающейся сторон BC , AC и AB — в точках H , K и M соответственно. 

А

В

С

M

H

Оа

ra

5

5

5

13

13

12

18

K

2.Поскольку ΔАВС равнобедренный, точка H — высота и середина основания BC. Рассмотрим ΔАHВ, где ∠H=90°. По теореме Пифагора:

3. Пусть O‍a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC и продолжения сторон AC и AB, причём продолжения стороны AB —в точке M. Тогда BM = BH = 5 (как отрезки касательных, проведенные из одной точки); AM = AB + BM = 13 + 5 = 18.

4. Рассмотрим ΔАMOa, где ∠M=90° (теорема о касательной к окружности).
По теореме радиусе вневписанной окружности получаем, что
( AM= по теореме о расстоянии от вершины угла треугольника до точек касания с вневписанной окружности )

случай):
1. Пусть O‍c — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон BC и AC в точках K и L соответственно. Тогда AO‍ —биссектриса ∠BAL, а так как AH — биссектриса смежного с ним ∠BAC, то ∠HAO‍c = 90‍°.
‍ 

А

В

С

L

H

Оc

rc

5

5

13

12

K

2.  Четырёхугольник AO‍cKH — прямоугольник (∠HAO‍c = ∠AHK = ∠HKO‍c= 90‍°),поэтому r‍c= O‍cK = AH = 12.
‍

3. Аналогично найдём, что r‍b = AH = 12.

Ответ: ra = 7,5; rb = 12;rc = 12.

12

до точки касания с окружностью равно 21, BC=15, AB=14,AC=13.
(авторская задача)

РЕШЕНИЕ

2)

3) По теореме о радиусе вневписанной окружности: =>

( по формуле Герона)

( по теореме о касательной к вневписанной окружности)

Ответ: ra = 14.

ra

ra

Решение:

описанной окружности.

Дано:
ΔABC; Вневписанная окр. (Оа;rа), (Оb;rb),
(Оc;rc), вписанная окр.(О;r), описанная окр.(О;R).
Доказать:
Док-во:
Выразим все радиусы через стороны, S и полупериметр треугольника:
Значит,

=> поскольку радиус описанной окружности удовлетворяет равенству , то справедлива формула
,что и требовалось доказать.

вписанных окружностей.
Выражение суммы всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей через квадрат полупериметра треугольника.

квадрат полупериметра треугольника.

Дано:
ΔABC; Вневписанная окр. (Оа;rа), (Оb;rb),
(Оc;rc), вписанная окр.(О;r).
Доказать:
Док-во:
Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Герона

Тогда

, что и требовалось доказать.
Следствия

к полупериметру треугольника.

Дано: ΔABC; Вневписанная окр. (Оа;rа), (Оb;rb), (Оc;rc).
Доказать:
Док-во:
Из

Следовательно

, что и требовалось доказать.

вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности.

Дано: ΔABC; Вневписанная окр. (Оа;rа), (Оb;rb), (Оc;rc) вписанная окр.(О;r).
Доказать:
Док-во:
Из следствия 1 , что и равенства, получаем, перемножая их почленно,
. Значит, , что и требовалось доказать.

равны 2002 и 4004, а радиус вписанной окружности равен 1001.

РЕШЕНИЕ

сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна
величине, обратной радиусу вписанной окружности, а именно , то
cоставим равенство:
Ответ: rс=4004.

Решение:

вневписанных окружностей равны 9,18 и 21.
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

РЕШЕНИЕ

Окр(О; R).
Найти:

, следовательно

1. Найдем S: , получаем

2. Найдем 4R:

Подставляем:
Ответ: 5460.

Решение:

4,5,6.
(сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

РЕШЕНИЕ

Найти:

2. Так как , то
Таким образом,
Ответ:

1. Так как , где r-радиус вписанной в треугольник окружности, то:

Решение:

центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС в его середине. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник АВС.
(сборник «Подготовка к ГИА-2013, под редакцией Д.А. Мальцева)

РЕШЕНИЕ

теореме о высоте прямоугольного Δ) =>
Так как FK – радиус вписанной в ΔАВС окружности, следовательно
Ответ:

Решение:

Дано: ΔABC-равнобедренный; AC= 10;
вписанная окр.(F; r), вневписанная окр.(О; rа=7,5).
Найти: r-?

1. Так как окружность касается стороны треугольника и продолжения двух других сторон, то это - вневписанная окружность. 

F

O

А

B

C

K

r

ra

2. Так как центр вписанной окружности и вневписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис, то AF-биссектриса ∠ВАС, а AO – биссектриса ∠CAD => ΔFAO – прямоугольный треугольник, так как биссектрисы смежных углов образуют прямой угол.

D

Решение: