Второй замечательный предел

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Второй замечательный предел

Содержание

2. Воспользуемся формулой где m – любое действительное число. В нашем случае: бинома Ньютона:
4. Видно, что с ростом n увеличивается число положительных слагаемых, которых всего будет n+1, и растет величина
5. Теперь каждую дробь в правой части заменяем большей дробью с двойкой в знаменателе: Получаем:
6. Сумма есть сумма n-1 членов геометрической прогрессии, где первый член и знаменатель По формуле суммы членов
7. Т.к. Sn-1 Действительно, данная последовательность является ограниченной.
8. Согласно признаку существования предела, монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Числом е или вторым замечательным пределом
9. е – число Эйлера е=2,718281… Можно показать, что функция при где х пробегает все значения, а
10. Второй замечательный предел
11. Пусть , тогда Второй замечательный предел
12. Примеры. 1 Вычислить
13. Решение:
14. 2 Вычислить
15. Решение:
16. 3 В качестве еще одного примера рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов. Первоначальный вклад в банк
17. То есть На практике часто применяются сложные проценты. В этом случае размер вклада ежегодно будет увеличиваться
18. Если начислять проценты не один, а n раз в году, то при ежегодном приросте Р %,
19. Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие (n=2), ежеквартально (n=4), ежемесячно (n=12), каждый день
21. Скачать презентацию

Слайд 2

Воспользуемся формулой
где m – любое действительное число.
В нашем случае:
бинома Ньютона:

Слайд 3

Слайд 4

Видно, что с ростом n увеличивается число положительных слагаемых, которых всего

будет n+1, и растет величина каждого слагаемого, т.е.

Это значит, что данная последовательность возрастает.

Теперь покажем, что она является ограниченной.

Поскольку каждая скобка меньше единицы, отбрасываем эти скобки и получаем неравенство:

Слайд 5

Теперь каждую дробь в правой части заменяем большей дробью с двойкой

в знаменателе:

Получаем:

Слайд 6

Сумма
есть сумма n-1 членов геометрической прогрессии, где первый член
и знаменатель
По

формуле суммы членов геометрической прогрессии имеем:

Слайд 7

Т.к. Sn-1<1, то
Действительно, данная последовательность является ограниченной.

Слайд 8

Согласно признаку существования предела, монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.
Числом е

или вторым замечательным пределом называется предел числовой последовательности

Слайд 9

е – число Эйлера
е=2,718281…
Можно показать, что функция
при
где х пробегает

все значения, а не только целые, тоже имеет предел, равный е:

Слайд 10

Второй замечательный предел

Слайд 11

Пусть
, тогда
Второй замечательный предел

Слайд 12

Примеры.
1
Вычислить

Слайд 13

Решение:

Слайд 14

2
Вычислить

Слайд 15

Решение:

Слайд 16

3
В качестве еще одного примера
рассмотрим задачу о непрерывном
начислении процентов.
Первоначальный

вклад в банк составляет Q0 денежных единиц. Банк выплачивает ежегодно Р % годовых.

Найти размер вклада через t лет.

При использовании простых процентов размер вклада ежегодно будет увеличиваться на одну и ту же величину

Слайд 17

То есть
На практике часто применяются сложные проценты. В этом случае размер

вклада ежегодно будет увеличиваться в одно и то же число

раз, т.е.

Слайд 18

Если начислять проценты не один, а n раз в году, то

при ежегодном приросте Р %, процент начисления за 1/n часть года составляет Р/n %.

Тогда размер вклада за t лет при nt начислениях составит

Слайд 19

Будем полагать, что проценты по вкладу начисляются каждое полугодие (n=2), ежеквартально

(n=4), ежемесячно (n=12), каждый день (n=365), каждый час (n=8760) и далее непрерывно

Тогда размер вклада за t лет составит