Выпуклый анализ. Выпуклое программирование. Лекция 25

8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)

8.4. Теорема Куна-Таккера . Ограничения типа неравенств.

8.4. Теорема Куна-Таккера . Ограничения типа неравенств.

Теорема 3 (Куна-Таккера).

выполнено

что будут справедливы неравенства

то

Пусть

,

Аналогично

По теореме об отделимости выпуклых множеств

Тогда неравенство (6) принимает

Вычисляем

удовлетворяет условиям теоремы 1

Действительно, условие 3)

очевидно выполнено.

Из неравенства (7)

Условие 2) теоремы доказано.

Полагаем

Подставляя эти вектора в правую часть (7),

фигурирующая в условиях Слейтера.

находим

Неравенство (7) принимает вид

Для завершения доказательства теоремы осталось установить справедливость условия 1).

Тогда

Из левого неравенства