Выпуклый анализ. Выпуклое программирование. Лекция 26

8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)

8.5. Теорема Куна - Таккера для многогранных множеств.

8.5. Теорема Куна - Таккера для многогранных множеств.

Теорема 4.

где

Доказательство.

Полагаем

Построим конус

Далее пусть

Тогда

Таким образом,

выполняется

Таким образом, соотношения (1)

установлены.

имеет место неравенство

Тогда из (3) выводим

В дальнейшем потребуется ссылка на теорему Фаркаша.

Теорема 6 (Фаркаша).

такие что

Из теоремы Фаркаша следует
cсуществование векторов

таких, что

Доопределяем:

Тогда

Заметим, что

Отсюда по теореме 1 заключаем,

Теорема доказана.

Из доказанной теоремы, в

является седловой точкой для функции Лагранжа.

где