Выпуклый анализ. Выпуклые множества. Лекция 5

2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

2.5. Выпуклые оболочки (продолжение)

2.6. Замыкание и внутренность

Теорема 13.

Доказательство.

2.5. Выпуклые оболочки (продолжение)

Докажем его замкнутость.

По

Подробно

и т. д.,

имеют место включения

Тогда

Тогда из последовательности

имеем

Теорема доказана.

Упражнение 1.

Решение.

выполнено

Распишем равенство (7) подробно

имеют место включения

Тогда из последовательности

Тогда

Теорема доказана.

Теорема 14.

Замыкание и внутренность выпуклых множеств выпуклы.

Доказательство.

По

что и доказывает его выпуклость.

существуют последовательности точек

и

выполнено