Системы счисления

по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, которые называют цифрами.

Ещё в 19 в. у многих племён Австралии и Полинезии было только два числительных: один и два; сочетания их образовывали числа:
3 — два-один, 4 — два-два, 5 — два-два-один и 6 — два-два-два. О всех числах, больше 6, говорили: “много”, не индивидуализируя их.

В развитии математики в государствах ислама получила распространение десятичная позиционная система счисления с применением нуля, ведущая своё происхождение от индийской математики. Возникновение десятичной системы счисления связано со счётом на пальцах. Имелись системы счисления и с другим основанием: 5, 12 (счёт дюжинами), 20 (следы такой системы сохранились во французском языке, например четыре-двадцать, означает 80, 40, 60 и др. 

на основе этой системы были составлены различные вычислительные таблицы: деления и умножения чисел, квадратов и кубов чисел и их корней (квадратных и кубических).

из десятичной системы счисления в систему с основанием P > 1 обычно используют следующий алгоритм:
1) если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминается остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;
2) если переводится дробная часть числа, то она умножается на P, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю.
Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая двоичная дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P.
Перевод чисел из 2, 8, 16 системы счисления.
При переводе чисел из системы счисления с основанием P в десятичную систему счисления необходимо пронумеровать разряды целой части справа налево, начиная с нулевого, и дробной части, начиная с разряда сразу после запятой, слева направо (начальный номер –1). Затем вычислить сумму произведений соответствующих значений разрядов на основание системы счисления в степени, равной номеру разряда. Это и есть представление исходного числа в десятичной системе счисления

Пальцы одной руки
Двенадцатеричная Фаланги 4 пальцев
Двадцатеричная Пальцы рук и ног
Алфавитные системы счисления
Славянская, Древнеармянская, Древнегрузинская, Древнегреческая (Ионическая)
Прочие
Римская, Вавилонская
«Машинные» системы счисления
Двоичная, Восьмеричная, Шестнадцатеричная

Римская Восьмеричная
Древнеегипетская Шестнадцатеричная

или разность цифр в числе.
Недостатки непозиционных систем счисления
Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.
Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.
Сложно выполнять арифметические операции, т.к. не существует алгоритмов их выполнения

в числе, а в непозиционных не зависит.
В позиционной системе счисления один и тот же числовой символ приобретает различные значения (имеет различный вес) в зависимости от позиции.
Каждая позиция соответствует определенной степени основания системы счисления. Основание равно количеству цифр (знаков в алфавите системы счисления) и определяет, во сколько раз отличаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях
Достоинства позиционных систем счисления
Простота выполнения арифметических операций.
Ограниченное количество символов (цифр) для записи любых чисел

в памяти компьютера.
В этой системе счисления используются цифры: 0, 1.

памяти компьютера и используется для компактной записи двоичных чисел и команд.
В этой системе счисления используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

системой представления информации в памяти компьютера и используется для компактной записи двоичных чисел и команд.
В этой системе счисления используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Недостающие цифры заменяются буквами:
А, В, С, D, E, F.

цифру восьмеричного числа соответствующим трёхразрядным двоичным числом. Таким же образом для перехода от шестнадцатеричной системы к двоичной каждая цифра заменяется соответствующим четырёхразрядным двоичным числом.
 Для перехода от двоичной системы счисления к восьмеричной (или шестнадцатеричной) системе поступают следующим образом: двигаясь от запятой влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем каждую группу из трёх (четырёх) разрядов заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

отличаются позиционные системы счисления от непозиционных, в чем их преимущества?
3) Переведите в десятичную систему счисления: а) 47618; б) A8216;  в) 110101002.
4) Переведите число 199810 в системы счисления с основаниями 2, 8, 16.
2вариант                                                                                                   
1) Что такое система счисления?
2) Чем отличаются позиционные системы счисления от непозиционных, в чем их преимущества?
3) Переведите в десятичную систему счисления: а) 51428; б) B30516;  в) 101101112.
4)Переведите число 156210 в системы счисления с основаниями 2, 8, 16.