Методика формирования понятия рациональное число в основной школе

формирования математических понятий
2. Закономерности формирования понятия «рациональное число»
3. О роли задачного материала в формировании понятия рационального числа
4. Логико-дидактический анализ учебников
4.1 Анализ линии учебников Мордковича А.Г.
4.2 Анализ линии учебников Никольского С.М. и др.
Выводы по главе 1.

Урок закрепления знаний «Действия с обыкновенными дробями»
2.2 Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Рациональные числа»
Выводы по главе 2
Заключение

формирования этого важного математического понятия.
Кроме того, согласно Концепции развития математического образования, предложенной в 2013 г., математическая подготовка выпускников должна быть «достаточна для продолжения образования … и для практической деятельности». Таким образом, обучение измерению объектов, нахождению части от целого, перевод из одной величины в другую, нахождение концентрации, действие с пропорциями – все это ценный опыт осуществления уже известных обществу способов деятельности, который важно передать последующим поколениям
Таким образом, можно заметить, что формирование у учащихся понятия «рациональное число» в основной школе – не только актуальная методическая задача, но и одно из важных требований Федерального стандарта образования.

каждого ученика.
Предметом исследования являются закономерности формирования понятия «рациональное число» на уровне основного общего образования.
Целью выпускной квалификационной работы является выявление закономерностей формирования понятия «рациональное число» и их практическая реализация.

литературы с целью выявления особенностей формирования математических понятий;
2) провести анализ методической литературы с целью выявления методических идей и закономерностей формирования понятия «рациональное число»;
3) выполнить логико-дидактический анализ темы в современных школьных учебниках математики;
4) сконструировать уроки с использованием выявленных закономерностей и методических идей.

результатов работы в учебном процессе на уроках математики.

математических понятий

Любое математическое понятие характеризуется объемом и содержанием. Объем понятия есть множество классов изучаемых объектов данного понятия. Содержание – множество всех существенных признаков (свойств) данного понятия – таких свойств изучаемого объекта, каждый из которых необходим, а все вместе достаточны для характеристики объекта.
Введение определения может осуществляться двумя методами: конкретно-индуктивным (на основе рассмотрения конкретных примеров или задач приходят к новому понятию и его определению) или абстрактно-дедуктивным (определение понятия формулируется сразу после объявления нового термина).

основной школе

основной школе

Вывод: в формировании математического мышления роль понятий первостепенная. Критерии сформированности понятия: речевое воспроизводство определения и умение решать задачи на применение этого понятия.

содержательно-методическая линия – линия развития числа.
Основными этапами изучения любой числовой системы являются:
введение «новых» чисел;
сравнение чисел;
изучение действий с числами;
изучение законов и свойств этих действий.

ГЛАВА1: Теоретические аспекты формирования понятия «рациональное число» в основной школе

понятия «рациональное число» в основной школе

ℝ.
Система ℚ в общеобразовательном курсе математики представлена тремя моделями:
геометрической
алгебраической
арифметической

ГЛАВА1: Теоретические аспекты формирования понятия «рациональное число» в основной школе

чисел на числовом луче
(геометрическая модель ℚ)

ℚ

 

ℚ

 

объединяющей все три модели

 

объединяющей все три модели

 

объединяющей все три модели

 

понятия рационального числа целесообразно осуществлять в закономерной последовательности построения модельных представлений и последующего построения теории ℚ. Таким образом, модельно-теоретический подход к проектированию учебной математической деятельности в пространстве чисел выступает методической закономерностью теории ℚ в общеобразовательном курсе математики.

роли задачного материала в формировании понятия рационального числа

Задача 3 (Барыбин К.С ).Найти изменение температуры за каждые два часа от 8 до 22 ч по следующей таблице

Примем начальную температуру за начало отсчета(за нуль). Нуль характеризует отсутствие изменения температуры. Тогда таблица примет вид:

роли задачного материала в формировании понятия рационального числа

Чтобы не употреблять слов «больше», «меньше», будем характеризовать направление знаками «+» и «-», где увеличению температуры соответствует плюс, а уменьшению – минус. Тогда таблица примет вид:

 
В последней таблице удобно судить и о количественной стороне и о направлении изменения температуры.

анализ учебников
4.1 Анализ линии учебников Мордковича А.Г.

Содержание некоторых тем программы по математике
в учебнике Мордковича А.Г., Зубаревой И.И. для 5 класса

анализ учебников
4.1 Анализ линии учебников Мордковича А.Г.
Учебник для 5 класса

Представление геометрической модели ℕ Мордковича А.Г., Зубаревой И.И. для 5 класса

анализ учебников
4.1 Анализ линии учебников Мордковича А.Г.
Учебник для 5 класса

Задание 387 из учебника
Мордковича А.Г., Зубаревой И.И. для 5 класса

анализ учебников
4.1 Анализ линии учебников Мордковича А.Г.

Содержание некоторых тем программы по математике
в учебнике Мордковича А.Г., Зубаревой И.И. для 6 класса

анализ учебников
4.1 Анализ линии учебников Мордковича А.Г.

Действия на координатной прямой (фрагмент учебника
Мордковича А.Г., Зубаревой И.И. для 6класса)

анализ учебников
4.1 Анализ линии учебников Мордковича А.Г.

Правило вычисления значения алгебраической суммы
(фрагмент учебника Мордковича А.Г., Зубаревой И.И. для 6класса)

анализ учебников
4.1 Анализ линии учебников Мордковича А.Г.

анализ учебников
4.1 Анализ линии учебников Мордковича А.Г.

анализ учебников
4.1 Анализ линии учебников Мордковича А.Г.

анализ учебников
4.1 Анализ линии учебников Мордковича А.Г.

Последовательность построения множества рациональных чисел в учебниках Мордковича А.Г.
и Зубаревой И.И

анализ учебников
4.1 Анализ линии учебников Мордковича А.Г.

Вывод: в учебниках Мордковича А.Г. и Зубаревой И.И. большое внимание уделяется пропедевтике понятия рационального числа. Для введения понятий предлагаются целесообразные задачи. В целом, задачный материал учебника отличается разнообразием, в особенности это касается текстовых задач, направленных на оперирование рациональными числами. В теоретическом материале представлены все модели системы ℚ. Авторы учитывают закономерности формирования понятия «рациональное число», заключающейся в движении его исследования от модельных представлений к теоретическим. Однако, развитие этого понятия не находит своего отражения на уровне теории ℚ. Теоретические особенности пространства ℚ не выделены. Предполагается их интуитивное восприятие и осознание учащимися в процессе учебной математической деятельности.

анализ учебников
4.2 Анализ линии учебников Никольского С.М. и др.

Содержание темы «Обыкновенные дроби» учебника
Никольского С.М. и др. для 5 класса

анализ учебников
4.2 Анализ линии учебников Никольского С.М. и др.

Введение операции сложения двух дробей
с общим знаменателем (учебник Никольского С.М. и др. для 5 класса)

анализ учебников
4.2 Анализ линии учебников Никольского С.М. и др.

Содержание тем учебника Никольского С.М. и др. для 6 класса

анализ учебников
4.2 Анализ линии учебников Никольского С.М. и др.

Последовательность построения множества рациональных чисел
в учебниках Никольского С.М. и др.

анализ учебников
4.2 Анализ линии учебников Никольского С.М. и др.

анализ учебников
4.2 Анализ линии учебников Никольского С.М. и др.

анализ учебников
4.2 Анализ линии учебников Никольского С.М. и др.

анализ учебников
4.2 Анализ линии учебников Никольского С.М. и др.

Вывод: в учебниках С. М. Никольского и др. реализуется подход, согласно которому представления пространства числовой системы ℚ формируются на моделях. В сравнении с предыдущей линией учебников изложение материала более строгое. В теоретическом материале представлены все модели системы ℚ. Для введения понятий предлагаются целесообразные задачи. Подчёркивается, что десятичные дроби —это другая форма записи рациональных чисел, позволяя формировать корректные модельные представления множества ℚ. Задачный материал направлен на оперирование рациональными числами учебника и отличается разнообразием. В целом, авторы учитывают закономерности формирования понятия «рациональное число», заключающейся в движении его исследования от модельных представлений к теоретическим. При работе с данной линией целесообразно проведение обобщения и систематизации знаний о множестве ℚ для формирования у учащихся представлений об этом пространстве как о единой структуре, элементы которой подчинены определенному ряду законов.

по главе 1.

Анализ научной и методической литературы убедил, в формировании математического мышления роль понятий первостепенная, и что понятийные представления множества рациональных чисел необходимо целенаправленно формировать у учащихся. Определены три модели рациональных чисел: алгебраическая, арифметическая и геометрическая. Выявлено, что формирование понятия рационального числа целесообразно осуществлять в закономерной последовательности построения модельных представлений и последующего построения теории ℚ. Таким образом, модельно-теоретический подход (Горбачев В.И.) к проектированию учебной математической деятельности в пространстве чисел выступает методической закономерностью теории ℚ в общеобразовательном курсе математики.
Кроме того, обнаружено, что знание учащимся определения не означает сформированность во внутреннем плане самого понятия. Важен также факт умения пользоваться им при решении задач, апеллирующих к этому понятию. Поэтому при формировании понятия рационального числа важную роль играют задачи. И наибольшее значение на уровне 5-6 классов имеют именно текстовые задачи.

по главе 1.

Анализ популярных учебников по математике Мордковича А.Г., Никольского С.М. показал, что авторы, в целом, учитывают закономерности формирования понятия «рациональное число». В учебнике Мордковича А.Г. большее внимание уделено работе с моделями ℚ. Оба учебника предлагают разнообразные текстовые задачи по теме. Однако на наш взгляд, при работе с данными учебниками целесообразно провести систематизацию модельных представлений, понятийное исследование свойств ℚ и теоретическое обоснование закономерностей расширения числовых систем. Это можно сделать в рамках урока обобщения и систематизации знаний о множестве ℚ, что позволит зафиксировать представления об этом пространстве как о единой структуре, элементы которой подчинены определенному ряду законов.

Урок закрепления знаний «Действия с обыкновенными дробями»

Цели урока:
дальнейшая отработка умений, навыков по решению заданий на действия с обыкновенными дробями;
воспитание умения работать в команде, настойчивости в достижении коллективной цели;
3) развивать у учащихся умение к самоконтролю

План урока:
Актуализация знаний, просмотр видеоролика
Проверка теоретических знаний по теме «Обыкновенные дроби».
Практическая работа
Решение уравнений
Работа с выражениями
Решение задач
Выполнение самостоятельной работы
Домашнее задание.

Урок закрепления знаний «Действия с обыкновенными дробями»

1. Актуализация знаний, просмотр видеоролика

Урок закрепления знаний «Действия с обыкновенными дробями»

2. Проверка теоретических знаний по теме действия с обыкновенными дробями.

Урок закрепления знаний «Действия с обыкновенными дробями»

Практическая часть

Урок закрепления знаний «Действия с обыкновенными дробями»

Практическая часть

Пример карточки:
Карточка №3
Упростить:

Урок закрепления знаний «Действия с обыкновенными дробями»

Практическая часть

Пример карточки:
Карточка №7
Решить задачи:

Урок закрепления знаний «Действия с обыкновенными дробями»

Выполнение самостоятельной работы

Домашнее задание: № 641-645

Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Рациональные числа»

Цели урока:
Обобщить и систематизировать знания о множестве рациональных чисел как единой структуры.
Развитие абстрактного мышления, наблюдательности, умения
обобщать, делать выводы, выявлять закономерности.
3. Введение задачи для расширения построенного числового множества ℚ

План урока:
Актуализация знаний
Практическая работа (выполнение заданий и получение выводов).
Формулировка общих выводов о свойствах ℚ
Рассмотрение задачи для расширения построенного числового множества ℚ.

Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Рациональные числа»

Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Рациональные числа»

Запишем на доске кратко: на ℚ определена операция

(для любых рациональных a и b)

(для любых рациональных a и b)

Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Рациональные числа»

Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Рациональные числа»

В ℚ действует сочетательный закон для сложения и умножения, то есть:

Для любых рац-х чисел a,b,c.

Так же для любых рац-х чисел a,b,c справедливо:

Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Рациональные числа»

по главе 2

В ходе работы над практической главой были подготовлены уроки: закрепления знаний и умений по теме «Обыкновенные дроби» и обобщения и систематизации знаний по теме «Рациональные числа».
При планировании уроков сделан акцент на использовании текстовых задач. Так, на этапе актуализации в уроке № 1 предлагается задача о строительстве бесконечной лестницы из кирпичей, сложенных друг на друга. Применяется прием просмотра видеоролика. Это требует усилия учащихся в осознании действий по строительству лестницы, тем самым развивается логическое мышление.
Во втором уроке самым интересным для учащихся моментом должно стать решение задачи о форматах бумаги, где ребята предлагают различные варианты, начинают использовать калькулятор для больших чисел, но вскоре обнаруживается, что ни один из вариантов не дает точного ответа. Важность в использовании текстовых задач на уровне 6 класса мы обнаружили при работе с первой главой. Они повышают мотивацию к изучению темы.

по главе 2

Также в ходе первого урока предполагается деление учеников на команды и выполнение заданий на время, что помогает повышать мотивацию к выполнению заданий, которые подобраны с учетом дифференциации обученности учащихся в классе. Это позволяет реализовывать личностно-ориентированный подход.
В ходе урока обобщения и систематизации знаний по теме «Рациональные числа» предполагается понятийное исследование свойств ℚ и обоснование закономерностей расширения этой числовой системы. Необходимость в проведение такого урока возникла в результате выявления закономерностей формирования представлений множества рациональных чисел во внутреннем плане и анализа популярных учебников по математике. Основная задача, которую мы ставили при разработке этого урока -зафиксировать представления учащихся о пространстве ℚ как о единой структуре, элементы которой подчинены определенному ряду законов. В сущности, на уроке устанавливается структура ℚ как поля, однако этот новый термин не вводится. Именно такого подведения итогов, «проговаривания» не хватает традиционной программе по математике, на наш взгляд. Все законы ℚ известны учащимся, но зачастую они ими пользуются, не отдавая себе в том отчета. Кроме того, ребята часто путают понятия, например, рациональных чисел и действительных. Мы полагаем, что реализация этого урока позволит обобщить и, главное, структурировать представления учащихся об этом математическом пространстве.

анализ научной литературы с целью выявления особенностей формирования математических понятий. Анализ показал, что формирование научных понятий – сложный психический процесс развития мышления, протекающий не одномоментно, а с течением времени. Кроме того, признаками сформированности у субъекта некоторого математического понятия выступает речевое воспроизводство определения и умение применять понятие при ориентировке в предметной действительности.
Проведен анализ методической литературы с целью выявления идей и закономерностей формирования понятия «рациональное число». Выявлено, что формирование понятия рационального числа целесообразно осуществлять в закономерной последовательности построения модельных представлений и последующего построения теории ℚ. Таким образом, модельно-теоретический подход (Горбачев В.И.) к проектированию учебной математической деятельности в пространстве чисел выступает методической закономерностью теории ℚ в курсе математики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

логико-дидактический анализ темы в современных школьных учебниках математики, проводимый с целью выяснения, каким образом авторы вводят и развивают понятие рационального числа. Сделан вывод, что авторы не всегда следуют модельно-теоретическому подходу, и при работе с этими учебниками целесообразно проведение обобщения и систематизации знаний о множестве ℚ для формирования у учащихся представлений об этом пространстве как о единой структуре, элементы которой подчинены определенному ряду законов.
Сконструированы уроки с использованием выявленных закономерностей и методических идей: урок закрепления знаний и умений по теме «Обыкновенные дроби» и урок обобщения и систематизации знаний по теме «Рациональные числа». В ходе второго урока предполагается понятийное исследование свойств ℚ и обоснование закономерностей расширения этой числовой системы, чего на наш взгляд, не хватает традиционной методике. Подготовлен дидактический материал (приложение 1) и разработаны опорные презентации для проведения уроков.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ