Алгебра высказываний Решение логических задач Автор: Сергеев Евгений Викторович МОУ СОШ №4 г. Миньяра Челябинской области serg

математическим формулировкам:

Высказывание А:
«Учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку»
Высказывание В:
«Учащийся Иванов любит работать на компьютере».

А ∧ В
«Учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку и любит работать на компьютере»

А ∨ В
«Учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку или любит работать на компьютере»

А ∧ ¬В
«Учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку и не любит работать на компьютере»

¬(А ∧ В)
«не (учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку и любит работать на компьютере)» ≡ «Учащийся Иванов плохо успевает по английскому языку и не любит работать на компьютере»

А → В
«учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку, поэтому он любит работать на компьютере»

А → ¬В
«учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку, поэтому он не любит работать на компьютере»

В → А
«учащийся Иванов хорошо успевает по английскому языку, потому, что он любит работать на компьютере»

в школе» q = «Я люблю информатику» составьте и запишите следующие высказывания:

¬p
¬(¬p)

«Я не учусь в школе»
«не(Я не учусь в школе)» ≡ «Я учусь в школе»
«Я учусь в школе и люблю информатику»
«Я учусь в школе и не люблю информатику»
«Я учусь в школе или люблю информатику»
«Я не учусь в школе или люблю информатику»
«Я не учусь в школе или я не люблю информатику»
«Я люблю информатику, потому, что учусь в школе»

p ∧ q
p ∧ ¬q

p ∨ q
¬p ∨ q

¬p ∨ ¬q
q → p

языке алгебры высказываний

45 кратно 3 и 42 кратно 3
45 кратно 3 и 12 не кратно 3
2 ≤ 5
если 212 делится на 3 и на 4, то 212 делится на 12
212 – трехзначное число, которое делится на 3 и на 4

А ∧ В, где А = «45 кратно 3», В = «42 кратно 3»
А ∧ ¬В, где А = «45 кратно 3», В = «12 кратно 3»
А ∨ В, где А = «2 < 5», В = «2 = 5»
(A ∧ В) → С, где А = «212 делится на 3», В = «212 делится на 4» и С = «212 делится на 12»
А ∧ В ∧ С, где А = «212 – трехзначное число», В = «212 делится на 3» и С = «212 делится на 4»

¬B
1
0
1
1

4, то 2 < 3
если 2 × 2 = 4, то 2 > 3
если 2 × 2 = 5, то 2 < 3
если 2 × 2 = 5, то 2 > 3

истина
ложь
истина
истина

Таблицы истинности

b = 0
a = 1, a ∨ b = 0
a = 1, a ∧ b = 1
a = 1, a ∨ b = 1
a = 0, a ∧ b = 1
a = 0, a ∨ b = 1
a = 0, a ∧ b = 0
a = 0, a ∨ b = 0

истина
ложь
истина
истина
ложь
истина
истина
истина

Таблицы истинности

– составное», с = «8 – простое» и d = «8 – составное» Определите истинность высказываний

а ∧ с
а ∧ d
b ∧ c
c ∧ d

ложь
истина
ложь
ложь

а ∨ с
а ∨ d
b ∨ c
c ∨ d

истина
истина
ложь
истина

¬а
¬b
¬c
¬d

ложь
истина
истина
ложь

∧ ¬p)
p ⇔ ¬p
¬p → p
p ⇔ p
(p ∨ p) → p

¬(p ∧ (p ⇔ ¬p))
(p → p) ∨ ¬p
p ⇔ p ∧ (¬p → p ∧ p)
p ∧ (p ⇔ ¬p)
¬(¬p → p)
¬(p ⇔ ¬p)
(p ∨ p) → (p ∧ p)

= 1. Определите логические значения высказываний

x ∧ (y ∧ z)
(x ∧ y) ∧ z
x → (y → z)
x ∧ y → z
(x ∧ y) ⇔ (z ∨ ¬y)
((x ∨ y) ∧ z) ⇔ ((x ∧ z) ∨ (y ∧ z))

= 1. Определите логические значения высказываний

x ∧ (y ∧ z)
x ∧ (1 ∧ 1)
x ∧ 1
0 ∧ 1
0 (ложь)

x ∧ (y ∧ z)

Таблицы истинности

= 1. Определите логические значения высказываний

(x ∧ y) ∧ z
(0 ∧ 1) ∧ z
0 ∧ z
0 ∧ 1
0 (ложь)

(x ∧ y) ∧ z

Таблицы истинности

= 1. Определите логические значения высказываний

x → (y → z)
x → (1 → 1)
x → 1
0 → 1
1 (истина)

x → (y → z)

Таблицы истинности

= 1. Определите логические значения высказываний

x ∧ y → z
0 ∧ 1 → z
0 → z
0 → 1
1 (истина)

x ∧ y → z

Таблицы истинности

= 1. Определите логические значения высказываний

(x ∧ y) ⇔ (z ∨ ¬y)
(x ∧ y) ⇔ (z ∨ ¬1)
(x ∧ y) ⇔ (z ∨ 0)
(x ∧ y) ⇔ (z ∨ 0)
(0 ∧ 1) ⇔ (1 ∨ 0)
0 ⇔ 1
0 (ложь)

(x ∧ y) ⇔ (z ∨ ¬y)

Таблицы истинности

= 1. Определите логические значения высказываний

((x ∨ y) ∧ z) ⇔ ((x ∧ z) ∨ (y ∧ z))
((0 ∨ 1) ∧ z) ⇔ ((0 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 1))
(( 1 ) ∧ z) ⇔ (( 0 ) ∨ ( 1 ))
(1 ∧ 1) ⇔ (0 ∨ 1)
1 ⇔ 1
1 (истина)

((x ∨ y) ∧ z) ⇔ ((x ∧ z) ∨ (y ∧ z))

Таблицы истинности

∧ В) ∨ (А ∧ ¬В)
А ∧ (В ∨ ¬В)
А ∧ (В ∨ ¬В)
А ∧ ( 1 )
А

(А ∧ В) ∨ (А ∧ ¬В)

Таблицы истинности

∧ В
( 1 ) ∧ В
В

(А ∨ ¬А) ∧ В

Таблицы истинности

∨ ¬В)

А ∧ (А ∨ В) ∧ (В ∨ ¬В)
А ∧ (А ∨ В) ∧ ( 1 )
А ∧ (А ∨ В) ∧ 1 {з-н поглощения}
А ∧ 1
А

А ∧ (А ∨ В) ∧ (В ∨ ¬В)

Таблицы истинности

∧ В) ≡ А по таблицам истинности

Таблицы истинности

A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

A ∧ B
0
0
0
1

A ∨ (А ∧ B)
0
0
1
1

∨ В) ≡ А по таблицам истинности

Таблицы истинности

A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

A ∨ B
0
1
1
1

A ∧ (А ∨ B)
0
0
1
1

≡ ¬А ∧ ¬В по таблицам истинности

Таблицы истинности

A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

¬A
1
1
0
0

¬B
1
0
1
0

A ∨ B
0
1
1
1

¬(A ∨ B)
1
0
0
0

¬A ∧ ¬B
1
0
0
0

≡ ¬А ∨ ¬В по таблицам истинности

Таблицы истинности

A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

¬A
1
1
0
0

¬B
1
0
1
0

A ∧ B
0
0
0
1

¬(A ∧ B)
1
1
1
0

¬A ∨ ¬B
1
1
1
0

вторым уроком, информатика первым или третьим уроком, а физика – вторым или третьим.
В расписании всего три урока. Сколько вариантов расписания с такими условиями можно составить?

= «Информатика первым уроком»
И3 = «Информатика третьим уроком»
Ф2 = «Физика вторым уроком»
Ф3 = «Физика третьим уроком»
Тогда расписание можно свести к выражению:
(М1 ∨ М2) ∧ (И1 ∨ И3) ∧ (Ф2 ∨ Ф3)

∧ (Ф2 ∨ Ф3)
(М1∧И1 ∨ М1∧И3 ∨ М2∧И1 ∨ М2∧И3) ∧ (Ф2 ∨ Ф3)
М1·И1·Ф2 ∨ М1·И3·Ф2 ∨ М2·И1·Ф2 ∨ М2·И3·Ф2 ∨ ∨ М1·И1·Ф3 ∨ М1·И3·Ф3 ∨ М2·И1·Ф3 ∨ М2·И3·Ф3
Выбираем только непротиворечивые комбинации:
Ответ:
1 вариант – Математика, Физика, Информатика
2 вариант – Информатика, Математика, Физика

М1·И1·Ф2 ∨ М1·И3·Ф2 ∨ М2·И1·Ф2 ∨ М2·И3·Ф2 ∨ ∨ М1·И1·Ф3 ∨ М1·И3·Ф3 ∨ М2·И1·Ф3 ∨ М2·И3·Ф3

информатики, либо кабинет физики.
На одной двери написано: «В одном из этих двух кабинетов точно есть кабинет информатики», а на двери другого: «Кабинет информатики не здесь».
Известно также, что высказывания на табличках тождественны.
Определить, где какой кабинет

в кабинете 2»
Тогда: ¬А= «Физика в кабинете 1», ¬В= «Физика в кабинете 2»
Высказывание «В одном из этих двух кабинетов точно есть кабинет информатики»: Х = А ∨ В,
Высказывание «Кабинет информатики не здесь»: Y = ¬А
Исходя из условия: X ⇔ Y, т.е.
Y = (¬X ∨ Y) ∧ (¬Y ∨ X ) ⇒ (¬X ∨ Y) ∧ (¬Y ∨ X ) ∨ ¬Y
Заменяем X и Y их выражениями:
(¬(А ∨ В) ∨ ¬А) ∧ (¬(¬А) ∨ (А ∨ В) ) ∨ ¬(¬А)

(¬(¬А) ∨ (А ∨ В) ) ∨ ¬(¬А)
Упрощаем выражение:
((¬А ∧ ¬В) ∨ ¬А) ∧ (А ∨ (А ∨ В)) ∨ А ⇒

(¬(А ∨ В) ∨ ¬А) ∧ (¬(¬А) ∨ (А ∨ В) ) ∨ ¬(¬А)

((¬А ∧ ¬В) ∨ ¬А) ∧ (А ∨ (А ∨ В)) ∨ А ⇒
((¬А ∨ ¬А) ∧ (¬В ∨ ¬А)) ∧ (А ∨ А ∨ В ∨ А) ⇒
(¬А ∧ (¬В ∨ ¬А)) ∧ (А ∨ В) ⇒
¬А ∧ (А ∨ В) ⇒
(¬А ∧ А) ∨ (¬А ∧ В) ⇒
¬А ∧ В
Т.о. выражение ¬А ∧ В соответствует высказыванию:
«Физика в кабинете 1 и информатика в кабинете 2»

Жак лжет, Жак обвинял во лжи Дика, а Дик призывает не слушать ни того, ни другого.
Кто из допрашиваемых говорил правду?
Решение:
Пусть показания свидетелей будут назваться буквами К, Ж и Д. Тогда известно, что:
Если Клод сказал правду (К), то Жак лжет (¬Ж), иначе (если Клод солгал, ¬К), то Жак сказал правду (Ж)
Если Жак сказал правду (Ж), тогда Дик не прав, (¬Д), иначе лжет Жак (¬Ж), а Дик – прав (Д)
Если лжет Дик (Д), то Клод и Жак правы (Ж и К), иначе последние лгут (¬(Ж и К)), а Дик – прав (Д)

∨ ¬К ∧ Ж
Ж ∧ ¬Д ∨ ¬Ж ∧ Д
Д ∧ ¬К ∧ ¬Ж ∨ ¬Д ∧ (К ∨ Ж)
Задача будет решена, если все три высказывания будут истинны, т.е. истинна их конъюнкция:
(К·¬Ж ∨ ¬К·Ж) ∧ (Ж·¬Д ∨ ¬Ж·Д) ∧ (Д·¬К·¬Ж ∨ ¬Д·(К ∨ Ж))
(К·¬Ж· Ж·¬Д ∨ К·¬Ж·¬Ж·Д ∨ ¬К·Ж·Ж·¬Д ∨ ¬К·Ж·¬Ж·Д) ∧
∧ (Д·¬К·¬Ж ∨ ¬Д·К ∨ ¬Д·Ж)
(К·¬Ж·¬Ж·Д ∨ ¬К·Ж·Ж·¬Д) ∧ (Д·¬К·¬Ж ∨ ¬Д·К ∨ ¬Д·Ж)
(К·¬Ж·¬Ж·Д·Д·¬К·¬Ж ∨ К·¬Ж·¬Ж·Д·¬Д·Ж ∨ К·¬Ж·¬Ж·Д·¬Д·Ж ∨ ∨ ¬К·Ж·Ж·¬Д·Д·¬К·¬Ж ∨ ¬К·Ж·Ж·¬Д·¬Д·Ж ∨ ∨ ¬К·Ж·Ж·¬Д·¬Д·Ж
¬К·Ж·Ж·¬Д·¬Д·Ж ∨ ¬К·Ж·Ж·¬Д·¬Д·Ж ≡ ¬К ∧ ¬Д ∧ Ж
Итак, только Жак говорил правду

(К·¬Ж ∨ ¬К·Ж) ∧ (Ж·¬Д ∨ ¬Ж·Д) ∧ (Д·¬К·¬Ж ∨ ¬Д·(К ∨ Ж))

ответам типа «Да» или «Нет». Один правильный ответ – один балл. Студенту известно, что:
Первый и последний ответы противоположны
Второй и четвертый ответы одинаковы
Хотя бы один из первых двух ответов – «Да»
Если четвертый ответ «Да», то пятый – «Нет»
Ответов «Да» больше, чем ответов «Нет»
Требуется получить 4 или более баллов

ответ «Да»

Тогда:
A ∧ ¬E
B ∧ D
A ∨ B
D → ¬E ≡ ¬D ∨ ¬E
Отсюда:

(A ∧ ¬E) ∧ (B ∧ D) ∧ (A ∨ B) ∧ (¬D ∨ ¬E) ⇒
⇒ A¬EBD ∧ (A ∨ B) ∧ (¬D ∨ ¬E) ⇒
⇒ A¬EBD ∧ (A¬D ∨ A¬E ∨ B¬D ∨ B¬E) ⇒
⇒ A¬EBD ∨ A¬EBD ⇒ A¬EBD