Численное интегрирование

элементарных отрезков длиной h:

S = s0+s1+s2+…si+…..+sn–1

Произвольную площадь si можно вычислить, как определенный интеграл на отрезке [xi;xi+1] от более простой функции φi(x), которой заменим реальную функцию f(x):

Вид функции φi(x) будет определять название метода.

Методы прямоугольников

Значение функции φi(x) на отрезке [xi;xi+1] принимается константой

Метод прямоугольников вперед.

Для функции φi(x) = yi значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

Метод прямоугольников назад.

Для функции φi(x) = yi+1 значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

и общей S площади можно вычислить как:

Функцию φi(x) будем определять как линейную на отрезке [xi;xi+1], т.е. ее график должен проходить через две смежные точки (xi,yi) и (xi+1,yi+1). Функцию φi(x) можно будет представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по двум точкам (xi,yi) и (xi+1,yi+1):

Метод трапеций

тогда значения элементарной si площади можно вычислить как:

Введем переменную

Тогда x = xi + h·t и dx = h·dt. Значениям x, равным xi, xi+1 соответствуют значения t, равные 0, 1. Значение (x-xi) = xi–xi + h·t = h·t. Значение (x-xi+1) = xi – xi+1+ h·t = h(t-1). Элементарную площадь si с использование новой переменной определим как:

Вычислим

и значение функции в этой точке yi+½

Функцию φi(x) будем определять как квадратичную на отрезке [xi;xi+1], т.е. её график должен проходить через три смежные точки (xi,yi),(xi+½,yi+½) и (xi+1,yi+1). Функцию φi(x) можно будет представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по трём точкам xi, xi+½ и xi+1:

Тогда значения элементарной si площади можно вычислить как:

h·dt.

Значение (x-xi) = xi–xi + h·t = h·t. Значение (x-xi+½) = xi – xi+½ + h·t = h(t- ½)

Значениям x, равным xi, xi+½, xi+1 соответствуют значения t, равные 0,½,1

Элементарную площадь si с использование новой переменной определим как:

Значение (x-xi+1) = xi – xi+1+ h·t = h(t-1)