Численные методы оптимизации

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Численные методы оптимизации

Содержание

2. Wedge Paradox Contributed by Carsten Kolve 04.12.2012
3. 04.12.2012 Нанооптика Проектирование тонкопленочных структур используется в производстве: жидкокристаллических дисплеев солнечных батарей на основе диэлектриков фотоэмиссионных
4. 04.12.2012 Проектирование оптических покрытий состоит из следующих этапов Физическая модель Математическая модель Целевая функция – мера
5. 04.12.2012 Методы оптимизации Методы условной оптимизации Методы безусловной оптимизации
6. Что такое оптимизация? Задача оптимизации: Максимизация или минимизация некоторой функции на некотором множестве, часто представляющем собой
7. Что такое оптимизация? Цель изучения: Усвоение практических и теоретических аспектов: Результат моделирования: На какой результат надеяться
8. Свойства оптимизации как математической дисциплины Описательная – предписывающая (конструктивная) математика: Большая часть математических задач описывала ранее
9. Свойства оптимизации как математической дисциплины Линейные/нелинейные – выпуклые/невыпуклые: Подразделение между линейностью и нелинейностью задач гораздо менее
10. Свойства оптимизации как математической дисциплины Конечномерная оптимизация: Случай, когда результат расчета целевой функции соответствует выбору конечного
11. Конечномерная оптимизация Ограничения типа равенств и неравенств: Это условия вида (строгих неравенств стараются избегать) Интервальные ограничения:
12. Конечномерная оптимизация Линейные ограничения : Это условия вида (строгих неравенств стараются избегать) Параметры (данные) : Задача
13. Конечномерная оптимизация Параметры (данные) : Следует различать искомые переменные и коэффициенты целевой функции задачи и константы
14. Математическое программирование Математическое программирование – синоним конечномерной минимизации. Этот термин предшествовал термину «компьютерное программирование», который возник
15. - площадь поверхности коробки с банками. Пример №1. Дизайн коробки. Общее описание. При конструировании некоторых объектов,
16. Пример №1. Дизайн коробки. Общее ограничение. Сторона ящика не может превышать заданной величины Параметры конструкции: -
17. Пример №1. Дизайн коробки. Резюме. Искомыми переменными являются радиус и высота банки. Их множество допустимых значений
18. Пример №1. Дизайн коробки. Напомним, требуется определить радиус основания и высоту консервной банки заданного объема так,
19. Пример №1. Подробное рассмотрение Избыточные ограничения. Очевидно, что ограничение слабее уже имеющихся. Оно может быть без
20. Пример №1. Подробное рассмотрение Избыточные переменные. Конечно же, возможно разрешить уравнение и «упростить» задачу – оставить
22. Скачать презентацию

Слайд 2

Wedge Paradox Contributed by Carsten Kolve
04.12.2012

Слайд 3

04.12.2012
Нанооптика Проектирование тонкопленочных структур используется в производстве:
жидкокристаллических дисплеев
солнечных батарей на основе диэлектриков
фотоэмиссионных

диодов
просветляющих покрытий
поляризаторов
миниатюрных лазеров
управляемых оптических элементов

Слайд 4

04.12.2012
Проектирование оптических покрытий состоит из следующих этапов
Физическая модель
Математическая

модель
Целевая функция – мера качества модели
Решение оптимизационной задачи

Слайд 5

04.12.2012
Методы оптимизации
Методы условной оптимизации
Методы безусловной оптимизации

Слайд 6

Что такое оптимизация?
Задача оптимизации: Максимизация или минимизация
некоторой функции на некотором

множестве, часто представляющем собой множество выборов в определенной ситуации. Функционально существует возможность сравнения различных выборов для определения «наилучшего».
Области применения: Минимальная стоимость, максимальный доход, оптимальное управление, вариационное исчисление, создание новых конструкций и приборов.

04.12.2012

Слайд 7

Что такое оптимизация?
Цель изучения: Усвоение практических и теоретических аспектов:
Результат моделирования: На

какой результат надеяться при постановке оптимизационной задачи? Какие свойства благоприятны, а какие нет? Что может способствовать правильной постановке задачи? К какому классу лучше отнести конкретную задачу?
Анализ решения: Что подразумевается под «решением»?
Условия существования и единственности решения. Каким образом распознать и охарактеризовать решение? Что произойдет при возмущении исходной задачи?
Численные методы: Итеративные схемы решения. Существуют ли способы (локального) упрощения проблемы? Сравнение различных способов оптимизации.

04.12.2012

Слайд 8

Свойства оптимизации как математической дисциплины
Описательная – предписывающая (конструктивная) математика: Большая часть

математических задач описывала ранее поведение различных (физических) систем. Появление компьютеров позволяет использовать математику для проектирования систем с предсказуемым поведением, что обеспечивается оптимизацией.
Равенства - неравенства: Оптимизация обычно имеет дело с переменными, которые лежат в определенном диапазоне, диктуемом ограничениями на допустимый результат. Это приводит к тому, что ограничения-неравенства используются гораздо чаще, чем равенства.

04.12.2012

Слайд 9

Свойства оптимизации как математической дисциплины
Линейные/нелинейные – выпуклые/невыпуклые: Подразделение между линейностью и

нелинейностью задач гораздо менее важно при оптимизации, чем различие между выпуклостью и не выпуклостью целевых функций и ограничений. Этот факт требует от математической постановки задачи совершенно новых подходов.
Дифференцируемость - не дифференцируемость : Преобладание неравенств вместе с такими специальными функциями как «max» и «min» приводит к тому, что методология классической математики с опорой на гладкость поверхностей и дифференцируемость функций не является преобладающей.

04.12.2012

Слайд 10

Свойства оптимизации как математической дисциплины
Конечномерная оптимизация: Случай, когда результат расчета целевой

функции соответствует выбору конечного числа действительных переменных, называемых искомыми переменными. Обычно их обозначают через
и возможный набор переменных соответствует точке
которая называется допустимой точкой.

Ограничения: Условия, налагаемые на искомые переменные, определяют множество допустимых точек в пространстве переменных задачи.

04.12.2012

Слайд 11

Конечномерная оптимизация
Ограничения типа равенств и неравенств: Это условия вида (строгих неравенств

стараются избегать)

Интервальные ограничения: Условия, налагаемые на некоторые искомые переменные, ограничивающие их изменения рамками заданных интервалов. Весьма важны в приложениях. Например, требование положительности некоторых переменных, или их ограниченность максимальными значениями.

для функций

и констант

04.12.2012

Слайд 12

Конечномерная оптимизация
Линейные ограничения : Это условия вида (строгих неравенств стараются избегать)
Параметры

(данные) : Задача обычно включает не только искомые переменные, но и коэффициенты целевой функции задачи и константы ограничений. Условия, налагаемые на эти параметры , такие как их положительность, не сказываются на формулировке исходной задачи, однако они могут серьезно влиять на алгоритмы и методы решения. Именно поэтому на эти условия необходимо обращать пристальное внимание.

для линейных функций

и констант

04.12.2012

Слайд 13

Конечномерная оптимизация
Параметры (данные) :
Следует различать искомые переменные и коэффициенты целевой

функции задачи и константы ограничений поскольку это позволяет не путать их при обращении к подпрограммам минимизации.
Обычно все переменные и константы передаются в стандартные подпрограммы минимизации единым массивом – вектором X.
Поэтому желательно учитывать такую возможность при программировании.

04.12.2012

Слайд 14

Математическое программирование
Математическое программирование – синоним конечномерной минимизации. Этот термин предшествовал термину

«компьютерное программирование», который возник на ранних стадиях развития компьютеров при решении оптимизационных задач.
Термин «программирование» в смысле «оптимизация» до сих пор присутствует в классификации задач:
линейное программирование;
квадратичное программирование;
выпуклое программирование;
целочисленное программирование;
и т.д.

04.12.2012

Слайд 15

- площадь поверхности коробки с банками.
Пример №1. Дизайн коробки.
Общее описание. При

конструировании некоторых объектов, систем либо структур, их параметры должны удовлетворять определенным условиям и ограничениям, налагаемыми свойствами конструкции. Необходим выбор независимых переменных, от которых зависит конечный продукт, таких как себестоимость, вес и т.д.
Искусственный пример.
Надо рассчитать параметры консервной банки заданного объема так, чтобы минимизировать общую стоимость коробки с 12-ю банками, уложенными по формуле 3x4.
Цена рассчитывается как сумма:

, где

- площадь поверхности 12-ти банок, а

04.12.2012

Слайд 16

Пример №1. Дизайн коробки.
Общее ограничение. Сторона ящика не может превышать заданной

величины

Параметры конструкции:

- радиус,

- высота банки;

Ограничение на объем:

Боковая поверхность:

Размеры коробки:

Боковая поверхность коробки:

Ограничение размеров:

Положительность ограничений:

04.12.2012

Слайд 17

Пример №1. Дизайн коробки.
Резюме. Искомыми переменными являются радиус и высота банки.

Их множество допустимых значений описывается ограничениями:

где

и, следовательно,

исходные данные (константы).
Хотя неравенства

Первые пять условий – ограничения-неравенства, шестое – ограничение-равенство. На множестве допустимых значений надо минимизировать функцию:

Величины

не являются «ограничениями» задачи.

04.12.2012

Слайд 18

Пример №1. Дизайн коробки.
Напомним, требуется определить радиус основания и высоту консервной

банки заданного объема так, чтобы минимизировать общую стоимость коробки с 12-ю банками, уложенными в 4 ряда по три коробки в каждом ряду.

на множестве допустимых значений переменных, заданном ограничениями:

Математическая формулировка. Минимизировать функцию:

где

04.12.2012

Слайд 19

Пример №1. Подробное рассмотрение
Избыточные ограничения. Очевидно, что ограничение
слабее уже имеющихся.
Оно может

быть без ущерба опущено. Однако в реальных задачах распознавание избыточных ограничений может оказаться не менее сложной проблемой, чем решение исходной задачи оптимизации.

Неактивные ограничения. Оптимальное решение

(единственное?) может удовлетворять одному или всем условиям-неравенствам как строгим неравенствам.

Это неактивные ограничения. Они могут быть без ущерба опущены. Иногда может помочь предварительный отбор неактивных ограничений. И во многих численных приложениях это основная и очень сложная проблема.

04.12.2012

Слайд 20

Пример №1. Подробное рассмотрение
Избыточные переменные. Конечно же, возможно
разрешить уравнение
и «упростить» задачу

– оставить лишь одно неизвестное. Но, кроме того, что такой прием может быть полезен в данном конкретном случае, переход к меньшему числу переменных может ухудшить остальные ограничения.

Неравенства или равенства? Ограничение

может быть записано в виде

Задача такова, что оптимум все равно достигается при условии равенства. А неравенство определяет выпуклое множество допустимых значений, в то время как равенство – нет.

относительно

, не влияя ни на

что, кроме решения.

04.12.2012

Численные методы оптимизации

Содержание

Wedge Paradox Contributed by Carsten Kolve04.12.2012

04.12.2012Проектирование оптических покрытий состоит из следующих этапов Физическая модель Математическая

04.12.2012Методы оптимизацииМетоды условной оптимизацииМетоды безусловной оптимизации

Что такое оптимизация?Задача оптимизации: Максимизация или минимизация некоторой функции на некотором

Что такое оптимизация?Цель изучения: Усвоение практических и теоретических аспектов:Результат моделирования: На

Свойства оптимизации как математической дисциплиныОписательная – предписывающая (конструктивная) математика: Большая часть

Свойства оптимизации как математической дисциплиныЛинейные/нелинейные – выпуклые/невыпуклые: Подразделение между линейностью и

Свойства оптимизации как математической дисциплиныКонечномерная оптимизация: Случай, когда результат расчета целевой

Конечномерная оптимизацияОграничения типа равенств и неравенств: Это условия вида (строгих неравенств

Конечномерная оптимизацияЛинейные ограничения : Это условия вида (строгих неравенств стараются избегать)Параметры

Конечномерная оптимизацияПараметры (данные) : Следует различать искомые переменные и коэффициенты целевой

Математическое программированиеМатематическое программирование – синоним конечномерной минимизации. Этот термин предшествовал термину

- площадь поверхности коробки с банками.Пример №1. Дизайн коробки.Общее описание. При

Пример №1. Дизайн коробки.Общее ограничение. Сторона ящика не может превышать заданной

Пример №1. Дизайн коробки.Резюме. Искомыми переменными являются радиус и высота банки.

Пример №1. Дизайн коробки.Напомним, требуется определить радиус основания и высоту консервной

Пример №1. Подробное рассмотрениеИзбыточные ограничения. Очевидно, что ограничениеслабее уже имеющихся.Оно может

Пример №1. Подробное рассмотрениеИзбыточные переменные. Конечно же, возможноразрешить уравнениеи «упростить» задачу

Похожие презентации

Wedge Paradox Contributed by Carsten Kolve
04.12.2012

04.12.2012
Проектирование оптических покрытий состоит из следующих этапов
Физическая модель
Математическая

04.12.2012
Методы оптимизации
Методы условной оптимизации
Методы безусловной оптимизации

Что такое оптимизация?
Задача оптимизации: Максимизация или минимизация
некоторой функции на некотором

Что такое оптимизация?
Цель изучения: Усвоение практических и теоретических аспектов:
Результат моделирования: На

Свойства оптимизации как математической дисциплины
Описательная – предписывающая (конструктивная) математика: Большая часть

Свойства оптимизации как математической дисциплины
Линейные/нелинейные – выпуклые/невыпуклые: Подразделение между линейностью и

Свойства оптимизации как математической дисциплины
Конечномерная оптимизация: Случай, когда результат расчета целевой

Конечномерная оптимизация
Ограничения типа равенств и неравенств: Это условия вида (строгих неравенств

Конечномерная оптимизация
Линейные ограничения : Это условия вида (строгих неравенств стараются избегать)
Параметры

Конечномерная оптимизация
Параметры (данные) :
Следует различать искомые переменные и коэффициенты целевой

Математическое программирование
Математическое программирование – синоним конечномерной минимизации. Этот термин предшествовал термину

- площадь поверхности коробки с банками.
Пример №1. Дизайн коробки.
Общее описание. При

Пример №1. Дизайн коробки.
Общее ограничение. Сторона ящика не может превышать заданной

Пример №1. Дизайн коробки.
Резюме. Искомыми переменными являются радиус и высота банки.

Пример №1. Дизайн коробки.
Напомним, требуется определить радиус основания и высоту консервной

Пример №1. Подробное рассмотрение
Избыточные ограничения. Очевидно, что ограничение
слабее уже имеющихся.
Оно может

Пример №1. Подробное рассмотрение
Избыточные переменные. Конечно же, возможно
разрешить уравнение
и «упростить» задачу