Число е и его тайны

числе е. Задачи: - изучить литературу с целью получения информации об истории числа е; - выяснить его приближенное значение; - рассмотреть различные способы определения числа е; - рассмотреть решение задачи практического содержания проявления числа е в реальной жизни.

«Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен . Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.

известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы. Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением. Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии.

с общим членом  , где n=1, 2, 3, … При n=1, u1=2; При n=2, u2=  При n=3, u3=  При n=4, u4=  При n=5, u5= и т. д. Можно сказать, что последовательность сходится, то есть существует предел. Предел этой последовательности обозначают латинской буквой е.

2,718281828459045…(приложение 1) Эйлеру принадлежит много открытий, связанных с числом е, поэтому число е в конце концов стали называть «числом Эйлера». Число е является трансцендентным, т.е. оно не является корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Л. Эйлер открыл бесконечную цепную дробь для представления числа е: e = 2 + 1  1 + 1  2 + 2  3 + 3  4 + …

е можно записать в виде суммы ряда Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются Функцию ех называют экспонентой или экспоненциальной функцией, производная которой равна самой функции. Таким образом, рассмотрев способы определения числа е, можно дать краткое определение этого числа. Число е - математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. 

некоторые вопросы, при математическом рассмотрении которых приходится пользоваться этим числом (список можно было бы увеличивать неограниченно): Барометрическая формула (уменьшение давления с высотой)  Формула Эйлера Закон охлаждения тел  Колебания маятника в воздухе 

в математике, так и в жизни. Рассмотрим пример. Задача о росте вклада. Предположим, что кто-то положил один рубль в банк, выплачивающий 4% годовых. Если проценты простые, то каждый год сумма вклада возрастает на 4% от первоначального капитала. Каждый рубль через двадцать пять лет «вырастет» и превратится в два рубля. Если же банк выплачивает сложный процент, то рубль будет расти быстрее, потому что после каждого начисления процентов капитал немного увеличивается и в следующий раз процент начисляется от большей суммы. Чем чаще производят перерасчет и прибавление прибыли к основному капиталу, тем быстрее растет вклад. При ежегодном начислении сложных процентов рубль за 25 лет превратится в , то есть в 2,66 рубля. При начислении сложных процентов каждые полгода (если банк выплачивает 4 (сложных) процента годовых, то прирост вклада за каждые шесть месяцев составляет 2 процента) рубль за 25 лет превратится в , или 2,69 рубля. В рекламных проспектах банков их составители особо подчеркивают, сколько раз в год производится начисление прибыли. Непосвященному может показаться, что при достаточно частом начислении процентов (например, если производить пересчет миллион раз в год) за 25 лет рубль превратится в весьма ощутимую сумму. В действительности ничего подобного не произойдет. Через 25 лет один рубль вырос бы до величины , где п — число начислений прибыли. При п, стремящемся к бесконечности, это выражение стремится к пределу, равному 2,718 (e), что всего на 3 цента больше той суммы, которая получилась бы, если бы прибыль начислялась лишь раз в полгода. Этот предел и является числом е. Однако не все величины возрастают так, как растет капитал в рассмотренных выше примерах. Тип роста, о котором шла речь, обладает одной весьма важной особенностью: в каждый момент времени скорость роста пропорциональна величине того, что возрастает. Иначе, говоря, отношение приращения изменяющейся величины к ее текущему значению всегда одно и то же. Величины такого типа изменяются подобно снежному кому, несущемуся с вершины горы: чем больше становится ком, тем быстрее налипает на него снег. Этот тип роста свойствен многим процессам в живой и неживой природе. Все они описываются формулами, в которые входит экспоненциальная функция.