Числовые харрактеристики случайных величин

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Числовые харрактеристики случайных величин

Содержание

2. Математическое ожидание д.сл.в. Определение Математическим ожиданием Mξ сл. вел. ξ с дискретным распределением, задаваемым законом распределения
3. Пример вычисления математического ожидания д.сл.в. Mξ=(-1)∙0,3+0∙0,2+1∙0,3+2∙0,1+5∙0,1 = 0,7.
4. Математическим ожиданием Mξ сл. в. ξ с абсолютно непрерывным распределением с плотностью распределения fξ(x) называется число
5. Замечание Если то говорят, что математическое ожидание не существует.
6. Математическое ожидание функции дискретной случайной величины Математическим ожиданием функции φ(ξ) дискретной случайной величины ξ, имеющей распределение
7. Математическое ожидание функции непрерывной случайной величины Математическое ожидание функции непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей fξ
8. Свойства матожидания 1. MC = C, (С = const ) 2. M(Cξ) = C∙Mξ, 3. M(ξ
9. Дисперсия случайной величины Определение. Если случайная величина ξ имеет математическое ожидание M ξ , то дисперсией
10. Свойства дисперсии Дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dξ ≥ 0; Дисперсия константы равна нулю, Dc =
11. Свойства дисперсии Еще одно важное свойство дисперсии
12. Вычисление дисперсии Для вычисления дисперсии надо найти Mξ2 и отнять квадрат математического ожидания, Dξ = Mξ2
13. Вычисление Mξ2
14. Пример вычисления дисперсии Mξ2=(-1)2∙0,3+02∙0,2+12∙0,3+22∙0,1+52∙0,1 = 3,5. Mξ = 0,7. Dξ = 3,5 – (0,7)2 = 3,01.
15. Числовые характеристики
16. Пример
17. Начальные и центральные моменты Определение. Начальным моментом k-го порядка случайной величины ξ называется математическое ожидание k-й
18. Среднеквадратичное отклонение Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение σξ, связанное с
19. Замечания 1. Математическое ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, α1 = Mξ1. 2. Дисперсия
20. Коэффициент асимметрии Определение. Коэффициентом асимметрии называется число A, которое определяется формулой где μ3 - центральный момент
21. Замечания У симметричного распределения асимметрия равна 0. Асимметрия распределения с длинным правым хвостом положительна. Если распределение
22. Пример: A
23. Пример: A > 0
24. Коэффициент эксцесса Определение. Коэффициентом эксцесса называется число Е, которое определяется формулой
25. Замечания Коэффициент эксцесса указывает на «островершинность» или «плосковершинность» графика плотности. Если Е > 0, то это
26. Пример: E > 0
27. Мода Определение. Модой непрерывной случайной величины ξ называется значение m0, при котором плотность fξ(x) достигает максимума.
28. Пример Мода m0 дискретной случайной величины ξ равна значению ξ = 1, т.к. p(ξ = 1)=
29. Медиана Определение. Медианой непрерывной случайной величины ξ называется значение me, при котором F(me) = 1/2. Замечание.
30. Чтобы найти медиану, надо решить уравнение Корень этого уравнения и есть медиана. (Если корней несколько, выберите
31. Пример. Найти медиану показательного р-я E4
32. Пример: мода, медиана и Mξ m0 = 8; me = 9,34; Mξ = 10.
33. Квантиль порядка q Определение. Квантилью порядка q, 0 случайной величины ξ называется значение xq, при котором
34. Геометрический смысл квантили порядка q
35. Чтобы найти квантиль xq, надо решить уравнение Корень этого уравнения и есть квантиль порядка q. (Если
37. Скачать презентацию

Слайд 2

Математическое ожидание д.сл.в.
Определение
Математическим ожиданием Mξ сл. вел. ξ с дискретным распределением,

задаваемым законом распределения P(ξ=xi) = pi, называется число
Смысл: Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины.

Слайд 3

Пример вычисления математического ожидания д.сл.в.
Mξ=(-1)∙0,3+0∙0,2+1∙0,3+2∙0,1+5∙0,1 = 0,7.

Слайд 4

Математическим ожиданием Mξ сл. в. ξ с абсолютно непрерывным распределением

с плотностью распределения fξ(x) называется число

Математическое ожидание н.сл.в.

Слайд 5

Замечание
Если
то говорят, что математическое ожидание не существует.

Слайд 6

Математическое ожидание функции дискретной случайной величины
Математическим ожиданием функции φ(ξ) дискретной случайной

величины ξ, имеющей распределение P(ξ =xi) = pi, называется величина M[φ(ξ)], равная

Слайд 7

Математическое ожидание функции непрерывной случайной величины
Математическое ожидание функции непрерывной случайной величины

с плотностью вероятностей fξ (x) вычисляется по формуле

Слайд 8

Свойства матожидания
1. MC = C, (С = const )
2. M(Cξ) =

C∙Mξ,
3. M(ξ + η ) = M ξ + M η ,
4. M(ξ ∙ η) = M ξ ∙Mη (для независимых величин).

Слайд 9

Дисперсия случайной величины
Определение.
Если случайная величина ξ имеет математическое ожидание M ξ

, то дисперсией случайной величины ξ называется величина
D ξ = M(ξ - M ξ )2.
Смысл: Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.

Слайд 10

Свойства дисперсии
Дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dξ ≥ 0;
Дисперсия константы

равна нулю, Dc = 0;
Для произвольной константы D(cξ ) = c2D(ξ );
Дисперсия суммы или разности
независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D(ξ ± η) = D(ξ) + D(η).

Слайд 11

Свойства дисперсии
Еще одно важное свойство дисперсии

Слайд 12

Вычисление дисперсии
Для вычисления дисперсии надо найти Mξ2 и отнять квадрат математического

ожидания,
Dξ = Mξ2 - (Mξ)2.
Величина Mξ2 для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам

Слайд 13

Вычисление Mξ2

Слайд 14

Пример вычисления дисперсии
Mξ2=(-1)2∙0,3+02∙0,2+12∙0,3+22∙0,1+52∙0,1 = 3,5.
Mξ = 0,7.
Dξ = 3,5 – (0,7)2

= 3,01.

Слайд 15

Числовые характеристики

Слайд 16

Пример

Слайд 17

Начальные и центральные моменты
Определение. Начальным моментом k-го порядка случайной величины

ξ называется математическое ожидание k-й степени случайной величины ξ , т.е. αk = Mξ k.
Определение. Центральным моментом k-го порядка случайной величины ξ называется величина μk, определяемая формулой
μk = M(ξ - Mξ )k.

Слайд 18

Среднеквадратичное отклонение
Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное

отклонение σξ, связанное с дисперсией соотношением σξ = √Dξ.
Смысл среднеквадратичного отклонения: линейная мера разброса.

Слайд 19

Замечания
1. Математическое ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, α1

= Mξ1.
2. Дисперсия - центральный момент второго порядка, μ 2 = M(ξ - M ξ )2 = Dξ .
3. Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты, например:
μ 2 = α2 - (α1)2 .

Слайд 20

Коэффициент асимметрии
Определение. Коэффициентом асимметрии называется число A, которое определяется формулой

где μ3 - центральный момент третьего порядка,
σ - среднеквадратичное отклонение.

Слайд 21

Замечания
У симметричного распределения асимметрия равна 0.
Асимметрия распределения с длинным правым

хвостом положительна.
Если распределение имеет длинный левый хвост, то его асимметрия отрицательна.

Слайд 22

Пример: A < 0

Слайд 23

Пример: A > 0

Слайд 24

Коэффициент эксцесса
Определение. Коэффициентом эксцесса называется число Е, которое определяется формулой

Слайд 25

Замечания
Коэффициент эксцесса указывает на
«островершинность» или «плосковершинность» графика плотности.
Если Е >

0, то это означает, что график плотности вероятностей сильнее “заострен”, чем у нормального распределения, если же Е < 0, то “заостренность” графика меньше, чем у нормального распределения.
У нормального распределения А = 0 и Е = 0.

Слайд 26

Пример: E > 0

Слайд 27

Мода
Определение. Модой непрерывной случайной величины ξ называется значение m0, при

котором плотность fξ(x) достигает максимума.
Модой дискретной случайной величины
ξ называется значение m0, при котором
p(ξ = m0 )= max pi

Слайд 28

Пример
Мода m0 дискретной случайной величины
ξ равна значению ξ = 1,

т.к. p(ξ = 1)= max pi.
m0 = 1.

Слайд 29

Медиана
Определение. Медианой непрерывной случайной величины ξ называется значение me, при

котором F(me) = 1/2.
Замечание. Для непрерывной случайной величины ξ это определение равносильно следующему:

Слайд 30

Чтобы найти медиану, надо решить уравнение
Корень этого уравнения и есть медиана.
(Если

корней несколько, выберите правильный).

Слайд 31

Пример. Найти медиану показательного р-я E4

Слайд 32

Пример: мода, медиана и Mξ
m0 = 8; me = 9,34; Mξ

= 10.

Слайд 33

Квантиль порядка q
Определение. Квантилью порядка q, 0 < q <1

случайной величины ξ называется значение xq, при котором Fξ(xq) = q.
Смысл. Квантиль порядка q отсекает слева 100∙q% значений случайной величины.
Замечание. Медиана – это квантиль порядка 0,5.

Слайд 34

Геометрический смысл квантили порядка q

Слайд 35

Чтобы найти квантиль xq, надо решить уравнение
Корень этого уравнения и есть

квантиль порядка q.
(Если корней несколько, выберите правильный).

Числовые харрактеристики случайных величин

Содержание

Математическое ожидание д.сл.в.Определение Математическим ожиданием Mξ сл. вел. ξ с дискретным распределением,

Пример вычисления математического ожидания д.сл.в.Mξ=(-1)∙0,3+0∙0,2+1∙0,3+2∙0,1+5∙0,1 = 0,7.

Математическим ожиданием Mξ сл. в. ξ с абсолютно непрерывным распределением

ЗамечаниеЕсли то говорят, что математическое ожидание не существует.

Математическое ожидание функции дискретной случайной величиныМатематическим ожиданием функции φ(ξ) дискретной случайной

Математическое ожидание функции непрерывной случайной величины Математическое ожидание функции непрерывной случайной величины

Свойства матожидания1. MC = C, (С = const )2. M(Cξ) =

Дисперсия случайной величиныОпределение.Если случайная величина ξ имеет математическое ожидание M ξ

Свойства дисперсииДисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dξ ≥ 0; Дисперсия константы

Свойства дисперсииЕще одно важное свойство дисперсии

Вычисление дисперсииДля вычисления дисперсии надо найти Mξ2 и отнять квадрат математического

Вычисление Mξ2

Пример вычисления дисперсииMξ2=(-1)2∙0,3+02∙0,2+12∙0,3+22∙0,1+52∙0,1 = 3,5.Mξ = 0,7.Dξ = 3,5 – (0,7)2

Числовые характеристики

Пример

Начальные и центральные моменты Определение. Начальным моментом k-го порядка случайной величины

Среднеквадратичное отклонениеДля определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное

Замечания1. Математическое ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, α1

Коэффициент асимметрии Определение. Коэффициентом асимметрии называется число A, которое определяется формулой

ЗамечанияУ симметричного распределения асимметрия равна 0. Асимметрия распределения с длинным правым