Случайные велечины

Одномерные случайные величины

Пусть есть случайный эксперимент, Ω ─ пространство элементарных

Дискретные распределения

Определение
Случайная величина ξ имеет дискретное распределение, если она принимает не

Определение

Если случайная величина ξ имеет дискретное распределение, то рядом распределения называется

Пример

Подбрасываем 1 раз кубик. Пусть Ω={1,2,3,4,5,6}, и две функции из

Графическое задание ряда распределения ξ

Примеры дискретных распределений

Вырожденное распределение Ia
Случайная величина ξ имеет вырожденное распределение с

Дискретное равномерное распределение

Случайная величина ξ имеет дискретное равномерное распределение, если ξ

Распределение Бернулли Bp

Случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром p,

Биномиальное распределение B(n,p)

Случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами n

Пример

Распределение вероятностей биномиально распределенной случайной величины для n = 10 и

Геометрическое распределение Gp,

Сл.в. ξ имеет геометрическое распределение с параметром p,

Распределение Пуассона Pλ

Сл. в. ξ имеет распределение Пуассона с параметром

Пример

Распределение вероятностей Пуассоновской случайной величины с λ=5.

Распределение Пуассона

Это одно из важнейших дискретных вероятностных распределений впервые было исследовано

Распределение Пуассона

Примерами могут служить число частиц радиоактивного распада, зарегистрированных счетчиком в

Гипергеометрическое распределение

Сл.в. ξ имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, N и

Функция распределения

Определение
Функцией распределения случайной величины ξ называется функция Fξ(x),
при каждом x∈R

Пример

Функция распределения ξ

График функции распределения ξ

Свойства функции распределения

1) Функция распределения Fξ(x) не убывает: если x1

Непрерывные распределения

Определение
Случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует

Геометрический смысл функции распределения

Свойства плотности

Замечание

Термин для «почти всех» означает «для всех, кроме (возможно) x

Иллюстрация свойства 4

Примеры непрерывных распределений

Равномерное распределение R [a, b]

График плотности распределения R[a,b]

График функции распределения R[a,b]

С помощью линейного преобразования
приводится к равномерному распределению на отрезке [0,1].
Равномерное

Нормальное распределение N (a,σ)

Кривые плотностей N(a, σ) с различными а и σ

Нормальное распределение N (a,σ)

Графики нормальных плотностей имеют симметричную, колоколообразную форму.
а

Кривые плотностей N(a, σ) с различными а и σ

Интерпретация

С помощью модели нормального распределения можно описать множество явлений, например распределение

N(0,1)

При а = 0 и σ = 1 нормальное распределение называют

График плотности N(0,1)

Плотность и функция распределения N(0,1)

Нормальное распределение N (a, σ)

Фундаментальная роль, которую играет нормальное распределение, объясняется

Пример: приведение N(50,10) к N(0,1)

Правило 3 сигм

Нормально распределенная случайная величина с большой вероятностью принимает значения,

Вспомним, что по свойствам плотности и функции р–я:

Правило 3 сигм

Показательное (экспоненциальное) распределение Eλ

Плотность и функция распределения Eλ

Графики плотности и функции распределения Eλ

Графики плотности и функции распределения E2

Свойства распределения Eλ

Это распределение является непрерывным аналогом геометрического распределения.
Обладает свойством

Плотность распределения Коши

Распределение Коши

Плотность Гамма –распределения

Г –распределение

Гамма –распределение

Г–распределение является непрерывным аналогом отрицательного биномиального распределения.
При α = 1

Плотность распределения Лапласа

Распределение Лапласа (двойное экспоненциальное распределение)

Многомерные СВ

Определение
n – мерной случайной величиной ξ называется вектор
ξ(ω)=(ξ1(ω), ξ2(ω),

Определение
Функцией распределения n–мерной случайной величины ξ называется функция
Fξ1,ξ2,…,ξn(x1, x2, …,

Свойства функции распределения

1) 0 ≤ Fξ1,ξ2,…,ξn(x1,x2,…,xn) ≤ 1,
2) Существуют пределы
3) Функция распределения Fξ(x)

Определение

Случайная величина ξ имеет непрерывное n –мерное распределение, если существует неотрицательная