Цифровая обработка сигналов и изображений

Содержание

Слайд 2

Введение Лекции 20 час + лабораторные 16 час => Экзамен Планируется

Введение

Лекции 20 час + лабораторные 16 час => Экзамен
Планируется

4 лаб работ
Студент может предложить конкретные темы лаб работ. Обсудим и решим, подходят ли они по тематике курса.
Согласно Учебному плану специальности
лаб работы заканчиваются к 29 апреля,
последняя лекция будет 26 апреля 2017.
Экзамен 15 мая – 4 июня.
Контакты: email: ivanovnn@gmail.com
Тел +375-29-1805589 Велком
Ауд. 505-5.
Слайд 3

1. Сигналы в метрическом пространстве Под сигналом обычно понимают величину, отражающую

1. Сигналы в метрическом пространстве

Под сигналом обычно понимают величину, отражающую состояние

физической системы. Сигналы рассматриваются как функции, заданные в физических координатах. Примеры: одномерные сигналы, заданные как функции времени, двумерные сигналы заданные на плоскости, и тд.
В дальнейшем мы будем рассматривать в основном сигналы как действительные функции времени.
Аналоговые сигналы описываются непрерывны-ми и кусочно-непрерывными функциями, причем как сама функция, так и ее аргумент могут прини-мать любые значения в пределах некоторого интервала.
Слайд 4

1. Сигналы в метрическом пространстве Мы, в основном, будем рассматривать дискретные

1. Сигналы в метрическом пространстве

Мы, в основном, будем рассматривать дискретные сигналы,

заданные на конечном промежутке времени с равными интервалами времени между отсчетами сигналов.
Понятие «сигнал» применяется в различных смыслах. Так, сигналом называют физический процесс передачи информации во времени и пространстве на некоторым физическом носите-ле – электрическим токе, в электромагнитном поле, в луче света, звуком и т.д. Примеры: радио-, теле-визионная передача, телефон, светофор, жесты регулировщика движения, матрос-сигнальщик с флажками, крик о помощи, звонок к началу занятий.
Слайд 5

1. Сигналы в метрическом пространстве Мы, в основном, будем рассматривать дискретные

1. Сигналы в метрическом пространстве

Мы, в основном, будем рассматривать дискретные сигналы,

заданные на конечном промежутке времени с равными интервалами времени между отсчетами сигналов.
Мы рассматриваем сигнал x(t) как функцию от времени t на конечном промежутке времени (в общем случае на бесконечном интервале). Физически значением функции может быть напряжение, сила тока, и пр.
Если рассматривать x(t) как напряжение в цепи, то сила тока i(t) в цепи по закону Ома равна
Слайд 6

1. Сигналы в метрическом пространстве Мы, в основном, будем рассматривать дискретные

1. Сигналы в метрическом пространстве

Мы, в основном, будем рассматривать дискретные сигналы,

заданные на конечном промежутке времени с равными интервалами времени между отсчетами сигналов.
Тогда мгновенная мощность (энергия) сигнала x(t) в момент t равна

Если считать, что сопротивление цепи постоянно и равно 1, то энергия сигнала в момент t равна квадрату его величины,

Слайд 7

Тогда энергия (работа) сигнала x(t) на интервале времени [t1,t2] будет равна

Тогда энергия (работа) сигнала x(t) на интервале времени [t1,t2] будет равна

Энергия

(работа) дискретного сигнала, которую затрачивает устройство, передающее сигнал x(t) в течение интервале времени [1,n] :

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 8

Введение метрики на сигналах. Для вещественных чисел, для точек в пространстве

Введение метрики на сигналах.
Для вещественных чисел, для точек в пространстве

и для векторов известна мера близости объектов (расстояние). Известно понятие нормы (длины) вектора, которая приводит к понятию нормы сигнала.
Будем исходить из векторов в двумерном пространстве, но все результаты легко обобщаются на конечномерные пространства. Пусть вектор

1. Сигналы в метрическом пространстве

задан своими координатами. Евклидовой нормой вектора A называется вещественное число

Слайд 9

(Существуют другие определения нормы, неевклидовы). Расстояние r между векторами определяется как

(Существуют другие определения нормы, неевклидовы).
Расстояние r между векторами определяется как норма

их разности:

B

Норма сигнала определяется аналогично.

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 10

Пусть сигнал x(t) задан на интервале Нормой сигнала x(t) называется вещественное

Пусть сигнал x(t) задан на интервале Нормой сигнала x(t) называется вещественное

число
(при условии, что интеграл существует).
Пример. Найти норму затухающего осциллятора
На интервалах времени 1) ,2) , заданы параметры T=2, ω0=2π.

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 11

Норма затухающего осциллятора на отрезках. 1. Сигналы в метрическом пространстве

Норма затухающего осциллятора на отрезках.

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 12

Норма затухающего осциллятора. Соответствующие интегралы 1. Сигналы в метрическом пространстве

Норма затухающего осциллятора.
Соответствующие интегралы

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 13

Page То есть, на отрезке сигнал практически равен нулю (но конкретный

Page

То есть, на отрезке сигнал практически равен нулю (но конкретный

вывод зависит от поставленной задачи!).
Заметим, что норма сигнала на отрезке близка к энергии сигнала на этом отрезке (будет рассматриваться далее).
Расстояние (отклонение) между сигналами x(t) и y(t), заданными на , измеряется как

при условии, что интеграл существует

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 14

Пример. Найти расстояние между сигналами и на отрезке . Графики: Расстояние

Пример. Найти расстояние между сигналами
и на отрезке .
Графики:

Расстояние между сигналами

x(t) и y(t) равно

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 15

Аналогично нормой дискретного сигнала x(i) называется вещественное число Расстояние между дискретными

Аналогично нормой дискретного сигнала x(i) называется вещественное число
Расстояние между дискретными

сигналами x(i) и y(i)

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 16

Наряду с нормой (*) существуют и другие определения нормы, например, Мы

Наряду с нормой
(*)
существуют и другие определения нормы, например,
Мы будем

использовать только норму (*).

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 17

Page Теперь рассмотрим два сигнал x(t) и y(t), заданных на промежутке

Page

Теперь рассмотрим два сигнал x(t) и y(t), заданных на промежутке

времени .
Скалярным произведением сигналов x(t) и y(t) называется определенный интеграл
где s(t) – некоторая весовая функция. (Аналогично векторам можно найти и косинус угла между функциями !).
В функциональном анализе скалярное произведе-ние функций x(t) и y(t) определяют в виде интеграла

где dS(t) = s(t)dt.

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 18

Понятно, что рассматриваемый определенный интеграл должен существовать. Весовой функцией s(t) может

Понятно, что рассматриваемый определенный интеграл должен существовать. Весовой функцией s(t) может

слу-жить функция с некоторыми специальными свойствами.
В качестве s(t) можно использовать функцию плотности распределения некоторой непрерывной случайной величины, тогда S(t) - функция распределения этой величины.
В некоторых случаях s(t) =1, тогда S(t) =t, d S(t) =dt, то есть весовая функция в этих случаях просто отсутствует.
Норма сигнала x(t) равна корню квадратному из скалярно-го произведения сигнала с самим собой

2.1. Сигнал и его представление

Слайд 19

Норма комплекснозначного сигнала x(t) – это корень квадратный из скалярного произведения

Норма комплекснозначного сигнала x(t) – это корень квадратный из скалярного произведения

с сопряженным сигналом
Сигналы x(t) и y(t) называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 20

Пример. Проверить ортогональность сигналов с весовой функцией s(t) = 1 на

Пример. Проверить ортогональность сигналов
с весовой функцией s(t) = 1 на отрезке


t ϵ [-T/2,T/2]
T=2π/ω, где m, n – целые числа.
Найдем скалярное произведение .

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 21

При n ≠ m При n = m 1. Сигналы в метрическом пространстве

При n ≠ m

При n = m

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 22

Сигнал x(t) не обязательно зависит от времени, аргумент t может быть

Сигнал x(t) не обязательно зависит от времени, аргумент t может быть

любой природы. Можно обобщить понятие сигнала на многомерный случай. Так изображение размерности a на b можно задать как сигнал x(u,v), где

а значение интенсивности x(u,v) для полутоновых изображений лежит в интервале вещественных чисел от 0 до 255.
На изображения переносятся определения нормы, расстояния и энергии.
Переменные u и v, значения интенсивности могут быть дискретными, например, целыми числами; тогда получаем дискретное (цифровое) изображение.

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 23

Для объяснения и обоснования понятий и результатов теории сигналов необходимо элементарное

Для объяснения и обоснования понятий и результатов теории сигналов необходимо элементарное

знание математики.
Тригонометрические функции.
В радиоэлектронике в основном используются сигналы, происходящие от колебаний. Периодические колебания хорошо описываются функциями синус и косинус.
Функция sin(t) периодическая, ограниченная, определена для любого значения аргумента t.
Периодом функции f(t) называется минимальное неотрицательное число T, такое, что для любого t

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 24

Функция sin(t) имеет период T = 2π, если аргумент t -

Функция sin(t) имеет период T = 2π, если аргумент t -

это время, выраженное в секундах, то через 2π секунд функция начнет повторять свои значение, начнется новое колебание. Тогда частота колебаний функции sin(t) равна

Hz (колебаний в секунду)

Если рассматривать t как угол вращения вектора, то час-тоту колебаний можно выражать величиной изменения угла в единицу времени. Угол измеряется в радианах, функция sin(t) за время T = 2π секунд выполнит полный оборот, то есть пройдет угол 2π радиан, тогда угловая скорость равна

(радиан в секунду)

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 25

В математическом анализе выводится формула Эйлера, выражающая функции sin(t) и cos(t)

В математическом анализе выводится формула Эйлера, выражающая функции sin(t) и cos(t)

через комплексные числа.
Формула Эйлера

Отсюда, взяв угол ϕ с положительным и отрицательным знаком, получаем значения sin(t) и cos(t) .

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 26

В дальнейшем нам понадобится выражение для суммы в комплексной форме 1. Сигналы в метрическом пространстве

В дальнейшем нам понадобится выражение для суммы

в комплексной форме

1. Сигналы

в метрическом пространстве
Слайд 27

Понятие спектра сигнала. Электрический сигнал sin(t) для передачи по проводам можно

Понятие спектра сигнала.
Электрический сигнал sin(t) для передачи по проводам можно

получить, равномерно вращая металлическую рамку в магнитном поле. При этом на концах рамки бу-дет наблюдаться периодический электрический сигнал. Частота этого сигнала равна 1 (радиан в секунду) – это уг-ловая скорость вращения рамки. Если параллельно сое-динить две вращающиеся рамки, то выходной сигнал бу-дет получен смешиванием частот первого и второго сиг-нала.
Разумно предположить, что любой сигнал с некоторой погрешностью можно разложить в сумму функций sin(.) и cos(.) с некоторыми аргументами и амплитудами.

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 28

Генерация электрических сигналов cos(t) и sin(t) в магнитном поле. В зависимости

Генерация электрических сигналов cos(t) и sin(t) в магнитном поле. В зависимости

от скорости вращения рамки изменяется период и соответственно частота сигнала.

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 29

Зависимость напряжения сигнал от угла рамки в линиях напряженности магнитного поля. 1. Сигналы в метрическом пространстве

Зависимость напряжения сигнал от угла рамки в линиях напряженности магнитного поля.


1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 30

Понятие спектра сигнала. Электрический сигнал sin(t) для передачи по проводам можно

Понятие спектра сигнала.
Электрический сигнал sin(t) для передачи по проводам можно

получить, равномерно вращая металлическую рамку в магнитном поле. При этом на концах рамки будет наблюдаться периодический электрический сигнал. Частота этого сигнала равна 1 (радиан в секунду) – это угловая скорость вращения рамки. Если параллельно соединить две вращающиеся рамки, то выходной сигнал будет получен смешиванием частот первого и второго сигнала.

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 31

Разумно предположить, что любой сигнал с некоторой погрешностью можно разложить в

Разумно предположить, что любой сигнал с некоторой погрешностью можно разложить

в сумму функций sin(.) и cos(.) с определенными аргументами и амплитудами
(то есть коэффициентами перед этими функциями).

1. Сигналы в метрическом пространстве

Слайд 32

Ортогональность функций. Система линейно независимых функций {f0(t), f1(t), ..., fk(t), ...},

Ортогональность функций. Система линейно независимых функций {f0(t), f1(t), ..., fk(t), ...},

заданных на некотором отрезке [a, b] называется ортогональной системой функций, если все они попарно ортогональны на этом отрезке.
Если все функции системы имеют норму 1, то система называется ортонормированной.
Пример ортогональной системы функций :
функции cos (kωt), k=0,1,... ортогональны на отрезке [-π/ω, π/ω], но система не ортонормирована.

2. Ортогональные функции

Слайд 33

Функции Хаара. В 1909 г Альфред Хаар предложил систему кусочно-постоянных функций,

Функции Хаара. В 1909 г Альфред Хаар предложил систему кусочно-постоянных функций,

которая стала широко применяться с 80-х годов прошлого века для построения вейвлетов – интегральных преобразований, учитывающих временнЫе интервалы передачи сигнала.
Для построения ортогональной системы Хаара вначале введем понятие диадических интервалов.
Для любой пары неотрицательных целых чисел j, k определим интервал I j,k

такие интервалы, определенные для всех таких пар j, k называется семейством двоичных интервалов.

2. Ортогональные функции

Слайд 34

Первые 8 функций Хаара 2. Ортогональные функции

Первые 8 функций Хаара

2. Ортогональные функции

Слайд 35

Семейство двоичных интервалов имеет важные для дальнейших построений свойства. Взаимное положение

Семейство двоичных интервалов имеет важные для дальнейших построений свойства.
Взаимное положение интервалов.

Пусть j0, k0, j1, k1 – неотрицательные целые. Если , тогда справедливо одно и только одно из соотношений:

либо

либо

либо

при этом в случаях b) и c) меньший интервал входит либо в левую, либо в правую половину большего.

2. Ортогональные функции

Слайд 36

Если интервал Ij+1, k0 входит в интервал Ij, k , то

Если интервал Ij+1, k0 входит в интервал Ij, k , то

либо k0=2k (левая половина интервал Ij, k), либо k0=2k +1 (правая половина).
Для операций на двоичных интервалах введем оператор растяжения Da и оператор переноса Tb

По определению функции-индикатора множества

2. Ортогональные функции

Слайд 37

Если интервал Ij+1, k0 входит в интервал Ij, k , то

Если интервал Ij+1, k0 входит в интервал Ij, k , то

либо k0=2k (левая половина интервал Ij, k), либо k0=2k +1 (правая половина).
Для операций на двоичных интервалах введем оператор растяжения Da и оператор переноса Tb

По определению функции-индикатора множества

2. Ортогональные функции

Слайд 38

Теперь определим вспомогательную функцию Функции pj,k(t) называются весовыми функциями Хаара. Тогда очевидно, что 2. Ортогональные функции

Теперь определим вспомогательную функцию

Функции pj,k(t) называются весовыми функциями Хаара. Тогда очевидно,

что

2. Ортогональные функции

Слайд 39

Функции Хаара, которые являются целью построения, получаются делением интервала-носителя функций pj,k()

Функции Хаара, которые являются целью построения, получаются делением интервала-носителя функций pj,k()

на две равные части, левую и правую, на левом подинтервале функция Хаара равна +1, на правом -1.

Ввиду знаков функций hj,k(t)

2. Ортогональные функции

Слайд 40

Множество функций Хаара {h(t), hj,k() }, где j, k – пробе-гают

Множество функций Хаара {h(t), hj,k() }, где j, k – пробе-гают

все неотрицательные целые числа, называется ор-тогональной системой Хаара. Покажем, что функции, входящие в систему, попарно ортогональны.
Очевидно, что hj,k0(t) и hj,k1(t) при различных k0 и k1 имеют непересекающиеся носители, поэтому их произ-ведение равно нулю и они ортогональны.
Если функции Хаара имеют разные индексы j, то поло-жим для определенности j0>j1. Возможны 3 случая Взаимномного расположения интервалов (слайд 32).
Случай тогда носители функций не пересекаются и произведение равно нулю (то есть функ-ции ортогональны).

2. Ортогональные функции

Слайд 41

Случаи b) и c) - это когда один носитель входит в

Случаи b) и c) - это когда один носитель входит в

левую или правую половину другого, но и в той и в другой половине функция постоянна, то есть произведение сводится к интегралу на меньшем носителе, а он равен нулю (то есть и в этом случае функции ортогональны).
Таким образом, показано, что функции Хаара попарно ортогональны.
Функции Хаара широко применяются в приложениях, в частности, на основе этих функций построены вейвлеты Хаара.

2. Ортогональные функции

Слайд 42

Ортогональное разложение. Одной из основных задач для ортогональных функций является задача

Ортогональное разложение. Одной из основных задач для ортогональных функций является задача

разложения заданной функции в ряд по этому ортогональному базису. Такое разложение называется ортогональным разложением.
Пусть {P0(t), P1(t), … } – ортогональный базис в некото-ром пространстве функций.
Задача состоит в том, чтобы найти коэффициенты разложения функции y(t) в ряд

на интервале [a, b].
Требуется найти коэффициенты разложения Ak по заданной функции y(t) и известным базисным функциям.

2. Ортогональные функции

Слайд 43

Для того, чтобы найти Ak0 для конкретного k0, умножим обе части

Для того, чтобы найти Ak0 для конкретного k0, умножим обе части

равенства на Pk0(t) и на s(t) и на интервале ортогональности [a, b] проинтегрируем по t.

В предположении, что ряд сходится абсолютно и интегралы существуют, меняем порядок интегрирования

2. Ортогональные функции

Слайд 44

Ввиду ортогональности базисных функций Pk(t) все интегралы в правой части, кроме

Ввиду ортогональности базисных функций Pk(t) все интегралы в правой части, кроме

слагаемого с индексом k0, обращаются в нули. Получаем:

Норму в квадрате

Обозначим через

тогда

2. Ортогональные функции

Слайд 45

Записывая для простоты результат с индексом k, получаем формулу Так получаются

Записывая для простоты результат с индексом k, получаем формулу
Так получаются и

формулы разложения в ряд Фурье по базисным функциям sin(·) и cos(·) , и разложение по базисам Уолша и Хаара.
Мы не рассматриваем громоздкие вопросы о сходимос-ти функциональных рядов и об их абсолютной сходимос-ти. Эти важные вопросы рассматриваются в высшей мате-матике, однако многие признаки сходимости основаны на сходимости геометрической прогрессии и не представляет большого труда досконально разобраться в них.

2. Ортогональные функции

Слайд 46

Page Исходная составляющая один период на кольце (время, за которое тепло

Page

Исходная составляющая один период на кольце (время, за которое тепло

проходит полный круг), была названа главной гармоникой, а составляющие с меньшими периодами — соответственно второй, третьей и т.д. гармоникой. Так был построен ряд Фурье.
Фурье свёл функцию распределения тепла, трудно поддающуюся математическому описанию, к удобным для анализа суммам синусов и косинусов, оказалось, что эти суммы очень точно описывают распределение тепла в твердом теле.

2. Ортогональные функции

Слайд 47

Page 2. Ортогональные функции В основе ряда Фурье лежат тригонометрические ортогональные

Page

2. Ортогональные функции

В основе ряда Фурье лежат тригонометрические ортогональные функции.


Это базисные функции ряда Фурье. Главная гармоника имеет период T, соответственно ω = 2π/T – частота (угловая скорость). Весовая функция s(t) = 1.
Ортогональность базисных функций разложения означает, что

Проверим это свойство интегрированием.

Слайд 48

2. Ортогональные функции Проверим ортогональность сигналов с весовой функцией s(t) =

2. Ортогональные функции

Проверим ортогональность сигналов
с весовой функцией s(t) = 1

на отрезке t € [-T/2,+T/2]
T=2π/ω, где m, n – целые числа.
Найдем скалярное произведение

Применим формулу

Слайд 49

2. Ортогональные функции Если m ≠ n (при интегрировании нужно будет

2. Ортогональные функции

Если m ≠ n (при интегрировании нужно будет

делить на m - n), то
Слайд 50

Page 2. Ортогональные функции То есть, для любых целых параметров m

Page

2. Ортогональные функции

То есть, для любых целых параметров m

≠ n сигналы ортогональны. При m=n=0 получаем

То есть нулевой сигнал x(t)=0 ортогонален сам себе. (Такой необычный случай желательно исключить).

Слайд 51

2. Ортогональные функции То есть, норма сигнала sin nωt равна норма

2. Ортогональные функции

То есть, норма сигнала sin nωt равна

норма

сигнала cos nωt также равна

При m=n ≠0 получаем

Слайд 52

Page 2. Ортогональные функции Окончательно получаем: 1) норма сигнала sin nωt

Page

2. Ортогональные функции

Окончательно получаем:
1) норма сигнала sin nωt

при n=1,2,… равна
при n=0 норма sin nωt равна 0.
2) норма сигнала cos nωt при n=1,2,… также равна
при n=0 норма cos nωt равна
Ввиду отличия норм нулевой базисной функции F0 коэффициенты разложения при этой функции имеют особый вид, не соответствующий общей формуле коэффициентов.
Слайд 53

2. Ортогональные функции 3) Сигнала sin nωt и sin mωt при

2. Ортогональные функции

3) Сигнала sin nωt и sin mωt при

n≠m для всех целых n и m ортогональны.
4) Сигнала cos nωt и cos mωt при n≠m для всех целых n и m ортогональны (доказать).
5) Сигнала sin nωt и cos mωt для всех целых n и m ортогональны (доказано в п. 2.2).
Исходя их этих результатов легко получить коэффициенты разложения сигнала в ряд Фурье, используя общую формулу коэффициентов разложения в ортогональный ряд.
Слайд 54

Упражнение. Проверить ортогональность сигналов 2. Ортогональные функции

Упражнение. Проверить ортогональность сигналов

2. Ортогональные функции

Слайд 55

Page Коэффициенты Ak, Bk ряда Фурье вычисляются с применением свойства ортогональности

Page

Коэффициенты Ak, Bk ряда Фурье вычисляются с применением свойства ортогональности

базисных функций. Общий вид разложения

3. Коэффициенты разложения в ряд Фурье

Вначале найдем коэффициенты A0, B0

Слайд 56

Так как sin0 =0, то B0 – любое число, для определенности

Так как sin0 =0, то B0 – любое число, для определенности

положим его равным нулю, B0 =0.
Коэффициент A0 вычислим, умножив обе части (*) на
cos 0 и интегрируя обе части равенства

3. Коэффициенты разложения в ряд Фурье

Слайд 57

Page Так как по результатам п 3.1. сигналы cos nωt и

Page

Так как по результатам п 3.1. сигналы cos nωt и

cos mωt при n≠m для всех целых n и m ортогональны и сигналы sin nωt и cos mωt для всех целых n и m также ортогональны, то все интегралы, кроме выражения левой части и первого слагаемого правой части обращаются в нуль. Тогда получаем

3. Коэффициенты разложения в ряд Фурье

По результатам п 3.1.квадрат нормы cos 0 равен T, Тогда получаем

Слайд 58

Page Коэффициенты Ak, Bk вычисляем аналогично, для построения Ak умножаем обе

Page

Коэффициенты Ak, Bk вычисляем аналогично, для построения Ak умножаем обе

части (*) на cos kωt и проинтегрируем обе части выражения

3. Коэффициенты разложения в ряд Фурье

Слайд 59

Page Ввиду ортогональности все интегралы обращаются в нуль, кроме интеграла с

Page

Ввиду ортогональности все интегралы обращаются в нуль, кроме интеграла с

коэффициентом Ak, и с учетом нормы cos kωt получаем выражение

3. Коэффициенты разложения в ряд Фурье

Слайд 60

Page Отсюда коэффициент Ak для k=1,2,… равен 3. Коэффициенты разложения в

Page

Отсюда коэффициент Ak для k=1,2,… равен

3. Коэффициенты разложения в ряд

Фурье

коэффициент Bk вычисляем аналогично, для этого умножаем обе части (*) на sin kωt и интегрируем обе части полученного выражения, окончательно

A0 получили раньше

Слайд 61

Page 3. Коэффициенты разложения в ряд Фурье Если разложение в ряд

Page

3. Коэффициенты разложения в ряд Фурье

Если разложение в ряд Фурье

функции x(t) записать в виде

То формула для Ak справедлива и для k=0. Таким образом, для k=0,1,2,…

для k=1,2,…

Слайд 62

Легко показать, что при разложении нечетной функции коэффициенты ряда Фурье при

Легко показать, что при разложении нечетной функции коэффициенты ряда Фурье при

базисных функциях cos(·) равны нулю, то есть разложение разложения нечетной функции не содержит базисных функций cos(·).
При разложения четной функции ряд Фурье не содержит базисных функций sin(·).
Ряд Фурье хорошо приближает периодические функции. Можно рассматривать любую (в том числе непериодическую) функцию на отрезке и разлагать ее в ряд Фурье только на отрезке, для непериодической функции удобно считать длину этого отрезка ее периодом.

3. Коэффициенты разложения в ряд Фурье

Слайд 63

Page Прямоугольная функция четная. Ряд Фурье для прямоугольной функции содержит только

Page

Прямоугольная функция четная. Ряд Фурье для прямоугольной функции содержит только

cos(•): Коэффициенты Bk будут равны нулю.

3. Коэффициенты разложения в ряд Фурье

Слайд 64

Page Ряд Фурье для нечетной функции: Эта функция разлагается в ряд

Page

Ряд Фурье для нечетной функции:
Эта функция разлагается в ряд синусов,

T=2, ω=π (здесь разложение до k = 4).

3. Коэффициенты разложения в ряд Фурье

Слайд 65

Page k = 2 k = 1 3. Коэффициенты разложения в ряд Фурье

Page

k = 2

k = 1

3. Коэффициенты разложения в ряд Фурье

Слайд 66

Page k = 4 k = 3 3. Коэффициенты разложения в ряд Фурье

Page

k = 4

k = 3

3. Коэффициенты разложения в ряд Фурье

Слайд 67

Page Разложим x(t) = t2 на отрезке [-1, 1], принимаем T=2.

Page

Разложим x(t) = t2 на отрезке [-1, 1], принимаем T=2.

Функция четная, поэтому ряд содержит только cos(·).

3. Коэффициенты разложения в ряд Фурье

Слайд 68

Page Ряд Фурье для четной функции x(t) = t2 на отрезке

Page

Ряд Фурье для четной функции x(t) = t2
на

отрезке [-1,+1] (то есть, Т=2) :

k = 1

k = 0

k = 2

3. Коэффициенты разложения в ряд Фурье

Слайд 69

Page Ряд Фурье для четной функции x(t) = t2 : k

Page

Ряд Фурье для четной функции x(t) = t2 :

k =

3

k = 4

3. Коэффициенты разложения в ряд Фурье

Слайд 70

Следует заметить, что для некоторых функций ряд Фурье расходится, для некоторых

Следует заметить, что для некоторых функций ряд Фурье расходится, для некоторых

ряд Фурье не сходится к разлагаемой функции, в обоих случаях говорят, что функция не разлагается в ряд Фурье.

3. Коэффициенты разложения в ряд Фурье

Слайд 71

Сигнал моделируется в виде функции x(t), зависящей от времени t. Говорят,

Сигнал моделируется в виде функции x(t), зависящей от времени t. Говорят,

что сигнал моделируется во временной области. При разложении в ряд Фурье с периодом T сигнал представляется в виде ряда от sin(·) и cos(·) от аргументов ω, 2ω, 3ω, . . ., где частота
ω = 2π/T.
Таким образом, сигнал разлагается по функциям с аргументами, содержащими частоты kω. Коэффициенты Ак и Вк называются частотными коэффициентами. Такое представление сигнала называется представлением в частотной области.
Из представления x(t) во временной области разложением в ряд Фурье можно получить представление в частотной области и наоборот (если существует разложение функции x(t) в ряд Фурье).

4.Временная и частотные области сигнала

Слайд 72

Page 4.Временная и частотные области сигнала 2/π

Page

4.Временная и частотные области сигнала

2/π

Слайд 73

Page Если увеличить период T, то частота ω уменьшится и на

Page

Если увеличить период T, то частота ω уменьшится и на

график коэффициентов (частотный график) изменится. точки (или отрезки в зависимости от того, как представлены коэффициенты на графике):
Для разложения «пилы» предыдущего слайда с удвоенным параметром ω график частот станет такой:

0

1/2

ω

2ω

3ω

4ω

kω

4.Временная и частотные области сигнала

Слайд 74

Page Можно и дальше увеличивать период T, при график частот приближается

Page

Можно и дальше увеличивать период T, при график частот приближается

к некоторой кривой.
Ряд приближается к интегральному преобразованию, это преобразование сигнал в некоторую функцию (частотную функцию):

0

1/2

ω

2ω

3ω

4ω

kω

Это преобразование Фурье исходного сигнала x(t). Штриховая линия – Фурье-образ сигнала x(t).

4.Временная и частотные области сигнала

Слайд 75

Page Известна формула Эйлера, связывающая экспоненту с тригонометрическими функциями. 3.4. Комплексная

Page

Известна формула Эйлера, связывающая экспоненту с тригонометрическими функциями.

3.4. Комплексная форма

ряда Фурье

Заменяя sin() и cos() экспонентами, получаем ряд Фурье в следующем виде:

Слайд 76

Page Введем новые обозначения где Ck и C-k комплексные числа. Запишем

Page

Введем новые обозначения
где Ck и C-k комплексные числа. Запишем ряд

Фурье в комплексной форме:

3.4. Комплексная форма ряда Фурье

Ck и C-k комплексно сопряженные числа. Зная один из коэффициентов Ck или C-k, можно найти другой, поменяв знак мнимой части. Это означает, что в комплексной форме достаточно разложить сигнал x(t) только для k = 0, 1, 2, … или для k = 0, -1, -2, … и изменив знак мнимой части, получить остальные коэффициенты разложения.

- Предыдущая
Теплообмен при кипении и конденсации
Следующая -
Мікроконтролери

Похожие презентации

Заңды жауапкершілік ұғымы, түрлері, қағидалары
Адаптация и здоровье
Трудовые ресурсы
Виды и характер деятельности человека на производстве
Borland Delphi программалау ортасы
Реформа патріарха Нікона. Церковний розкол
Обзор рынка СПГ АТ региона
Динамика вращательного движения
Общая характеристика органических, включая симптоматические, психические расстройства. Психические нарушения у больных при сома
Инкапсуляция в классах С++
Решение задания повышенного уровня сложности С1 (3 балла)
Фотопрактикум
Организация комплекса просветительских мероприятий на приходе св. прав. Симеона Верхотурского
Исключения. Как не допустить логических ошибок при выполнении программы (C++)
Protosoology Модификация
Словарные слова - презентация для начальной школы
Электронная плата для self service (холодильные модули)
Концентрация производства на предприятии
Рококо
Липиды и обмен липидов
Типология конфликтов. Управление конфликтами в процессе принятия управленческих решений
Типи письма у сучасному світі. Чотири сім’ї алфавітів. Походження і розвиток основних алфавітів
СМИ в избирательных процессах
Методы оптимизации
Религия и роль в современном мире
Оказание первой медицинской помощи (часть 4 - ГУМ)
Енгізудің және шығарудың құрылымдары
Изучение и совершенствование техники волейбола. (5-11 класс)
Вы можете прислать нам Вашу презентацию и мы опубликуем ее на сайте.
Обратная связь
Для правообладателей
Email: Нажмите что бы посмотреть