Дифференциальные уравнения Однородные дифференциальные уравнения Линейные дифференциальные уравнения Уравнения Бернулли

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Дифференциальные уравнения Однородные дифференциальные уравнения Линейные дифференциальные уравнения Уравнения Бернулли

Содержание

2. Функция y = f(x, у) называется однородной функцией n – ого порядка, если при умножении каждого
3. Однородные дифференциальные уравнения Покажем, что однородное дифференциальное уравнение можно привести к виду: Если f(x, у) есть
4. Однородные дифференциальные уравнения Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме: Уравнение (2) будет однородным, если P(x;
5. Однородные дифференциальные уравнения Приведем уравнение к виду (1): Сделаем замену переменной: 5/13
6. Однородные дифференциальные уравнения Уравнение является однородным, так как функции: - однородные второго порядка Пусть: 6/13
7. Линейные дифференциальные уравнения ДУ первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде: p(x) и
8. Линейные дифференциальные уравнения Подставим в уравнение (3): Подберем функцию v(x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках
9. Линейные дифференциальные уравнения Таким образом, общее решение уравнения: При нахождении функции v(x) произвольная постоянная С не
10. Линейные дифференциальные уравнения Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, то есть уравнение вида: Метод Лагранжа (метод
11. Линейные дифференциальные уравнения Решение однородного уравнения Запишем и решим соответствующее однородное уравнение: Подставим полученную функцию в
12. Уравнение Бернулли Уравнение вида Называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли решается также, как и линейное уравнение методом
14. Скачать презентацию

Слайд 2

Функция y = f(x, у) называется однородной функцией n – ого

порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель k вся функция умножится на kn:

Однородные дифференциальные уравнения

Например, функция

является однородной функцией второго порядка, так как:

Дифференциальное уравнение

называется однородным, если f(x, у) есть однородная функция нулевого порядка.

2/13

Слайд 3

Однородные дифференциальные уравнения
Покажем, что однородное дифференциальное уравнение можно привести к виду:
Если

f(x, у) есть однородная функция нулевого порядка, то:

Положив

получим:

Однородное дифференциальное уравнение вида (1) приводится к уравнению с разделяющимися переменными про помощи подстановки:

(1)

3/13

Слайд 4

Однородные дифференциальные уравнения
Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:
Уравнение (2) будет

однородным, если P(x; y) и Q(x; y) – однородные функции одинакового порядка.

При интегрировании уравнения вида (2) можно сначала привести его к виду (1) или сразу сделать подстановку:

(2)

4/13

Слайд 5

Однородные дифференциальные уравнения
Приведем уравнение к виду (1):
Сделаем замену переменной:
5/13

Слайд 6

Однородные дифференциальные уравнения
Уравнение является однородным, так как функции:
- однородные второго порядка
Пусть:
6/13

Слайд 7

Линейные дифференциальные уравнения
ДУ первого порядка называется линейным, если его можно записать

в виде:

p(x) и q(x) – заданные функции в частности постоянные.

Рассмотрим 2 метода интегрирования линейного уравнения.

Метод Бернулли.

Решение уравнения ищется в виде произведения двух функций, то есть с помощью подстановки:

Где u(x) и v(x) – неизвестные функции, причем одна из них произвольная функция, не равная нулю.

Действительно, любую функцию y можно записать как:

(3)

7/13

Слайд 8

Линейные дифференциальные уравнения
Подставим в уравнение (3):
Подберем функцию v(x) так, чтобы выражение,

стоящее в скобках было равно нулю, то есть решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Подставим найденную функцию v(x) в уравнение (*)

Получим еще одно уравнение с разделяющимися переменными, решив которое найдем функцию u(x)

(*)

8/13

Слайд 9

Линейные дифференциальные уравнения
Таким образом, общее решение уравнения:
При нахождении функции v(x) произвольная

постоянная С
не прибавляется

При нахождении функции u(x) произвольная постоянная С
прибавляется

Положим:

9/13

Слайд 10

Линейные дифференциальные уравнения
Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, то есть уравнение

вида:

Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)

Оно называется линейным однородным ДУ первого порядка.

Это уравнение является также уравнением с разделяющимися переменными.

Решением уравнения будет функция, зависящая от одной произвольной постоянной:

Метод Лагранжа заключается в том, что постоянную С в полученном решении заменяем на функцию С(х) и решение уравнения ищем в виде:

(3)

Функция С(х) находится подстановкой y(x) в уравнение (3)

10/13

Слайд 11

Линейные дифференциальные уравнения
Решение однородного уравнения
Запишем и решим соответствующее однородное уравнение:
Подставим полученную

функцию в исходное уравнение:

11/13

Слайд 12

Уравнение Бернулли
Уравнение вида
Называется уравнением Бернулли.
Уравнение Бернулли решается также, как и линейное

уравнение методом Бернулли.

(4)

Положим:

12/13