Дифференциальные уравнения Понятие о частных производных Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Интегрирующий множ

паре допустимых значений x и y соответствует единственное значение z. Записывают так:
z = f(x, у)

Понятие о частных производных

Частной производной функции z по переменной x называется производная, вычисленная в предположении, что y – const.

Обозначается:

Аналогично:

2/15

частная производная по y, вычисленная в предположении, что
х – const.

Выражение

называется полным дифференциалом функции z

его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u(x; y), то есть:

(1)

4/15

В этом случае уравнение (1) можно записать в виде:

а его общим интегралом будет:

(2)

выражение

есть полный дифференциал некоторой функции.

Теорема

Для того, чтобы выражение

5/15

где функции P(x; y), Q(x,y) непрерывны в некоторой области D плоскости XOY, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнения условия:

(3)

найти функцию u(x,y) по ее полному дифференциалу.

Найдем эту функцию. Искомая функция должна удовлетворять требованиям:

Если в первом уравнении зафиксировать y и проинтегрировать его по x, получим:

6/15

(4)

Здесь произвольная постоянная С = φ(y) зависит от y или является постоянной. Для ее нахождения продифференцируем функцию u(x, y) по y.

(5)

от y, если выполняются условия (3). Находим φ(y):

7/15

Подставляя найденную функцию в равенство (5), найдем функцию u(x; y) и решение уравнения записываем в виде (2).

(3):

Уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Условия (4) здесь будут выглядеть так:

φ(y) в выражение для u(x; y)

Общим интегралом является:

уравнением в полных дифференциалах.

10/15

Интегрирующий множитель легко находится в случае, если он является функцией только одной переменной: t(x) или t(y).

Однако, это уравнение иногда можно привести к уравнению в полных дифференциалах, умножив его на некоторую функцию t(x; y), которая называется интегрирующим множителем:

Если выражение:

зависит только от переменной x, то уравнение имеет интегрирующий множитель , t(x) который находится по формуле:

(6)

множитель , t(y) который находится по формуле:

(7)

(8)

уравнением в полных дифференциалах.

Проверим, есть ли у этого уравнения интегрирующий множитель, зависящий только от x или только от y.

множитель t(x)

Умножим исходное уравнение на интегрирующий множитель: