Дифракция света.

1. Дифракция от точечного источника на диске.

«Пятно Пуассона»
Ж. Н. Делиль, 1715 г.,
О. Ж. Френель,
1818 г.

Пуассон «вывел из интегралов автора (Френеля) тот результат, что центр тени от круглого непрозрачного экрана должен быть таким же осыещённым, как если бы экран не существовал» (Араго).

Принцип Гюйгенса. Каждая точка волнового фронта является источником вторичных колебаний, происходящих с той же частотой и распространяющихся с той же скоростью, что и исходные колебания.

Дополнение Френеля. Интенсивность волны в данной точке является результатом наложения волн, исходящих из всех точек волнового фронта.

Пример, касающийся описания распространения плоской электромагнитной волны с помощью принципа Гюйгенса – Френеля представлен на рисунке.

Число точек – источников волн в отверстии бесконечно велико. Просуммировать вклады в интенсивность излучения в точке наблюдения А от волн, выходящих из всех точек отверстия можно, непосредственно вычислив интеграл, описывающий сумму напряжённостей волн в точке А. Но существует более простой способ определить, где будут наблюдаться максимумы и минимумы освещённости.

2. Тогда волны, приходящие из соседних зон в точку наблюдения с разностью хода в λ/2 будут при сложении давать минимум освещённости.

Этого можно добиться, если число точечных источников в каждой зоне одинаково. А для этого необходимо, чтобы площади зон были равны.

Участки волнового фронта одинаковой площади, из которых в точку наблюдения волны будут приходить с разностью хода в λ/2 называются зонами Френеля.

Таким образом, если в открытом участке волнового фронта укладывается чётное число зон Френеля, то две каждые соседние зоны при сложении давать минимум освещённости и в результате в точке наблюдения мы увидим тёмное пятно (полосу).

Напротив, если в открытом участке волнового фронта укладывается нечётное число зон Френеля, в точке наблюдения мы увидим светлое пятно (полосу) (Одна из зон не имеет «соседней» дающей разность хода с ней в λ/2 .)

1. Построить чертёж, отражающий ход лучей от источника к точке наблюдения.

2. Разделить волновой фронт на зоны Френеля. При этом следует помнить, что площади зон Френеля должны быть равны.

3. Определить число зон Френеля, помещающееся в открытой части волнового фронта, на основании чего сделать выводы об освещённости точки наблюдения.

4. Разбиение волнового фронта на зоны Френеля определяется положением точки наблюдения, поэтому при переходе к другой точке наблюдения следует повторить всю процедуру сначала.

Даёшь каждой точке наблюдения персональные зоны Френеля!

Случай дифракции плоских волн называется дифракцией Фраунгофера.

m – число зон Френеля, укладывающихся в открытой части волнового фронта.

Условие минимума m = 2k

Волны, излучённые с отрезка dx распространяются по всем направлениям (-π/2 < φ < π/2).

Рассмотрим волны, распространяющиеся вдоль прямой, образующей угол φ с перпендикуляром к преграде.

Волны, излучённые с отрезка dx, запаздывают по фазе на

- волновое число (модуль волнового вектора).

Пусть Е0 – амплитуда волны, испущенной из всего отверстия в рассматриваемом направле-нии, тогда амплитуда волны, испущенной с участка dx равна

Уравнение волны, испущенной с участка dx в рассматриваемом направлении:

где

Это максимальное значение этой функции. При возрастании модуля u функция будет убывать. Это убывание не будет монотонным вследствие осцилляций числителя.

Теперь можно определить, при каких значениях угла дифракции наблюдаются максимумы и минимумы интенсивности излучения.

Условия минимумов и максимумов совпали с полученными методом зон Френеля.

Точный расчёт позволяет определить значения интен-сивности для произвольного угла дифракции.

Период дифракционной решётки – наименьшая часть решётки, перемещая которую, можно воспроизвести всю решётку.

Для плоской одномерной дифракционной решётки длина периода равна

где b – ширина отверстия, h – ширина штриха.

Период дифракционной решётки связан с числом нанесённых на неё штрихов соотношением

где N – число штрихов на единицу длины.

1. Записать уравнение волны, излучаемой одним точечным источником.

2. Записать уравнение волны, излучаемой всеми точечными источниками одной щели.

3. Записать уравнение волны, излучаемой всеми щелями дифракционной решётки.

4. Записать и исследовать выражение для суммарной интенсивности излучения по заданному направлению

Волна, исходящая из элемента dx, расположенного в щели номер n, запаздывает по сравнению с волной, вышедшей из точки x = 0. Запаздывание связано с тел, что волна должна пройти дополнительное расстояние

Поэтому фаза волны исходящая из элемента dx, расположенного в щели номер n, отличается от фазы волны, вышедшей из точки x = 0 на величину

x – координата элемента dx, относительно начала щели.

Уравнение волны, испущенной с участка dx в рассматриваемом направлении:

Введём обозначение:

Тогда:

Частичная сумма геометрической прогрессии со знаменателем q вычисляется по формуле

Интенсивность излучения, испущенного из всей решётки в рассматриваемом направлении определяется квадратом амплитуды

Числитель:

Знаменатель:

характеризует распределение интенсивности излучения в результате интерференции пучков, исходящих из различных щелей.

График этой функции показан на рисунке.

Она имеет максимумы при

и минимумы при

Известно, что

Эти значения являются максимумами функции.

При

где N – число щелей дифракционной решётки (обычно оно очень велико).

Максимумы интенсивности излучения, возникающие при выполнении последнего условия называются главными максимумами.

Остальные максимумы интенсивности излучения (см. график) называются побочными максимумами.

Перечислим условия наблюдения всех максимумов. Условия наблюдения главных максимумов выделены красным.

Nδ = 0, π, 2π, …, (N-1)π, Nπ, (N+1)π, …, (2N-1)π, 2Nπ, (2N+1)π, … .

где

На следующем рисунке этот факт проиллюстрирован для соотношения между шириной щели и периодом дифракционной решётки

2. Положение главных дифракционных максимумов определяется интерференцией пучков, исходящих из разных отверстий решётки. Условие наблюдения главных максимумов

3. Интенсивность главных максимумов определяется как процессом дифракции на отдельном отверстии, так и процессом интерференции волн, исходящих из всех отверстий.

Ответ: А= 5см.

Шириной изображения будем считать расстояние между первыми дифракционными минимумами, расположенными по обе стороны от главного максимума освещенности.

Дано:
λ = 500 нм
L = 1 м
b = 20 мкм
A - ?

Решение

Положение дифракционных минимумов на экране определяется формулой

(м).

Ответ: α = 30°.

Дано:
b = 6λ
α - ?

Решение

Положение дифракционных минимумов на экране определяется формулой

Дано:
λ1 = 589 нм
φ1 = 17°8'
φ2 = 24°12'
λ2 - ?
N - ?

Решение

Положение дифракционных максимумов на экране определяется формулой

Запишем условие максимума для обеих линий:

Разделив второе уравнение на первое, получим:

Отсюда:

(нм).

Решение (продолжение)

Число штрихов на единицу длины решётки

(м).

Дано:
λ1 = 670 нм
m1 = 3
m2 = 2
λ2 - ?

Решение

Дифракционные максимумы на экране накладываются друг на друга, если для них равны углы дифракции.

Величины углов дифракции определяется формулой

Следовательно,

(нм).

Дано:
λ = 589 нм
d = 2 мкм
mmax - ?

Решение

Величины углов дифракции определяется формулой

Следовательно,

Допустимы такие m, когда

Ответ: =0,71 мм, =1,0 мм, =1,22 мм, =1,41мм, =1,58 мм.