Дискретные системы и сигналы

(2.1)

где z - комплексная переменная. Если представить комплексную переменную z в показательной форме z=rejω, то (2.1) можно интерпретировать как ДВПФ :

(2.2)

Действительно, согласно (2.2) z–преобразование x(n) можно интерпретировать как ДВПФ последовательности x(n), умноженной на экспоненциальную последовательность r -n. Очевидно, что для |z| = r = 1, т.е. на окружности единичного радиуса в комплексной z-плоскости, z–преобразование x(n) совпадает с ДВПФ последовательности x(n).

(2.3)

При x(n)=0, для n<0, т.е. для физически реализуемых последовательностей эти преобразования эквивалентны.
Для любой последовательности множество тех значений z, для которых z–преобразование сходится (|Χ(z)|<∞), называется областью сходимости. Ряд (2.1) сходится, если выполняется соотношение

(2.4)

следующее из условия сходимости ДВПФ.

Для последовательностей, растущих не быстрее, чем экспонента, z–преобразование будет сходиться для всех z , находящихся вне некоторого круга в комплексной z-плоскости, радиус r0 которого называют радиусом сходимости. Соответствие между x(n) и X(z) взаимно однозначное т.е. каждому x(n) соответствует только одно X(z) , определенное для |z|>r0 и обратно.

причем X(z) сходится при |z| >1 , так как X(z) имеет единственную особую точку (полюс) z =1, в которой X(1)=∞.

3). Найдем z–преобразование действительной экспоненциальной последовательности x(n)=аnu(n). Получим

X(z) сходится при |z|>а , так как X(z) имеет единственную особую точку (полюс) z =a.

4). Найдем z–преобразование комплексной экспоненциальной последовательности x(n)=ejωn u(n). Получим

X(z) сходится при |z|>1, так как X(z) имеет единственную особую точку (полюс) z = ejω

Рисунок 1.

(2.5)

Это обратное z–преобразование содержит интеграл по любому замкнутому контуру с направлением обхода против часовой стрелки, расположенному в области сходимости и окружающему начало координат.
При выводе соотношения (2.5) используется теорема Коши, согласно которой

(2.6)

Умножая (2.1) на zk-1 и интегрируя по замкнутому контуру, окружающему начало координат, получим

откуда следует (2.5).

(2.7)

когда X(z)zn-1 имеет полюс порядка s в точке z=pi, ψ(z) не имеет полюсов в z=pi . Вычет X(z)zn-1 в точке z=pi определяется формулой

В частности, если pi – полюс первого порядка, то

где контур интегрирования С является окружностью с радиусом больше а. Тогда при n≥ 0 контур интегрирования содержит только один полюс первого порядка в точке z=a. Следовательно, при n ≥ 0 x(n) = an . При n<0 в точке z=0 имеется кратный полюс, порядок которого зависит от n. При n=-1 этот полюс имеет первый порядок с вычетом, равным (–a-1). Вычет в полюсе z=a равен a-1. Следовательно, сумма вычетов равна нулю и поэтому x(-1)=0. Продолжая эту процедуру, можно проверить, что в этом примере x(n) =0 при n<0. Поэтому x(n)=аnu(n) для всех n.

1). Линейность.
z–преобразование есть линейное преобразование, что означает справедливость для него принципа суперпозиции. Если z–преобразования последовательностей y(n), x1(n), x2(n) равны Y(z), X1(z), и X2(z) соответственно, то для любых действительных a и b справедливы соотношения: для y(n)=ax1(n)+bx2(n), Y(z)=aX1(z)+bX2(z).
2). Сдвиг последовательности (задержка).
Если z–преобразования последовательностей y(n), x(n) равны Y(z), X(z) соответственно, то для y(n)=x(n-n0), где n0-целое число, справедливо соотношение:

(2.8)

Так, при задержке на один такт y(n)=x(n-1), Y(z)=z-1X(z) т.е.
z–преобразование исходной последовательности умножается на z-1. Поэтому иногда пользуются оператором задержки на такт
z-1{}, понимая под ним следующее соотношение: z-1{x(n)}=x(n-1).

(2.9)

Однако для опережающего сдвига физически реализуемой последовательности, т.е. для случая, когда y(n)=x(n+n0), (n0>0 и целое), аналогично (2.9) легко получить соотношение:
Соотношения (2.8) и (2.9) используются при решении разностных уравнений с применением одностороннего z–преобразования.

(2.10)

(2.11)

(2.12)

(2.12а)

Важным следствием (2.12a) является равенство Парсеваля:

(2.13)

с начальным условием y(-1)=k. Пусть входной сигнал есть экспоненциальная последовательность . Найдем одностороннее z–преобразование обеих частей уравнения:

Поскольку для , , то

Разлагая второе слагаемое на простые дроби, получим

Находя обратное z–преобразование, получим

Рисунок 2. Переходная характеристика системы (а=0,7)

Применяя z-преобразование к обеим частям разностного уравнения с учетом свойства линейности и свойства задержки, получим

Поэтому

(2.15)

(2.15)

(2.16)

Каждый из сомножителей (1—ziz-1) в числителе (2.16) дает нуль при z =zi и полюс при z=0. Аналогично каждый сомножитель вида (1— piz-1) в знаменателе дает полюс при z=pi и нуль в начале координат. То, что передаточная функция системы равна отношению полиномов от z-1 является характерной чертой систем, описываемых линейными разностными уравнениями с постоянными коэффициентами. Следовательно, с точностью до скалярного множителя А в (2.16) передаточная функция может быть полностью описана картиной полюсов и нулей в z-плоскости.

(2.16)

Пример.
В качестве простого примера рассмотрим физически реализуемую систему, описываемую разностным уравнением у(п) = ау(п-1)+х(п). Передаточная функция равна

и в силу предположения о физической реализуемости область сходимости определяется неравенством |z|>|a|, откуда следует, что импульсная характеристика равна h(п )=апи(п).
В частном случае, когда N=0 в (2.15) или (2.16), система не имеет полюсов, за исключением точки z=0, и ее импульсная характеристика имеет конечную длительность. При N>0 система имеет полюсы, каждый из которых прибавляет экспоненциальную последовательность к импульсной характеристике. Таким образом, если передаточная функция имеет полюсы, то импульсная характеристика имеет бесконечную протяженность.

Представляя H(ejω) = | H(ejω) |ejarg[H(.)], получим

(2.17)

(2.18)

Рисунок 4. Диаграмма полюсов и нулей (а) фильтра первого порядка и соответствующие частотные характеристики (б).

На рис.4 показаны диаграмма полюсов и нулей и частотная характеристика для разностного уравнения первого порядка, соответствующего передаточной функции H(z) = 1/(1-az-1) и импульсной характеристике h(n}=anu(n). Из картины изменения векторов, соответствующих нулям и полюсам, ясно, что пики частотной характеристики получаются вблизи полюсов. Из этой геометрической картины должно быть понятно, что полюса и нули в начале координат не влияют на модуль частотной характеристики и вводят только линейную компоненту в фазу.

Тогда передаточная функция равна

или H(z) = (zM-aM)/zM-1(z-а). Так как числитель имеет нули при zk=aej(2π/M)k, k=0,1,…,M-1, где а считается положительным числом, то полюс при z=a компенсируется нулем в той же точке. Диаграмма полюсов и нулей и соответствующая частотная характеристика для случая М=8 показана на рис. 5. Заметим наличие пика при ω=0 (z=1), где нет нулей, и провалов в частотной характеристике в окрестности каждого нуля. Эти свойства частотной характеристики легко выводятся геометрически из диаграммы полюсов и нулей.