Элементы линейной алгебры. Системы линейных уравнений

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Элементы линейной алгебры. Системы линейных уравнений

Содержание

2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб пособие. СПб.: Лань, 2007. – 448 с.
3. §1. Основные понятия §2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера - Капелли §3. Решение невырожденных линейных
4. Цель занятия: развитие средствами изучаемой дисциплины общекультурных и профессиональных компетенций, регламентируемых ФГОС ВПО направлению «080400 –
5. §1. Основные понятия
6. §1. Основные понятия (продолжение)
7. §1. Основные понятия (продолжение)
8. Df: Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она
9. §1. Основные понятия (продолжение)
10. §2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера - Капелли
11. Правила практического разыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем. Т е о
12. 2. Если r(A) = r(Ā) = r, система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка r. Взять
13. §2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли (продолжение)
14. §2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли (продолжение)
15. §2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли (продолжение)
16. §3. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
17. Заметим, что если detA ≠ 0, то ранг матрицы системы линейных уравнений r(A) = n =
18. §3. …Формулы Крамера (продолжение)
19. §3. …Формулы Крамера (продолжение)
20. §3. …Формулы Крамера (продолжение)
21. §3. …Формулы Крамера (продолжение)
22. §3. …Формулы Крамера (продолжение)
23. §4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
24. §4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса (продолжение)
25. §4. …метод Гаусса (продолжение)
26. §4. …метод Гаусса (продолжение)
27. О б р а т н ы й х о д. Второй этап (обратный ход) заключается
28. З а м е ч а н и е 1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т.е.
29. §4. …метод Гаусса (продолжение)
30. §4. …метод Гаусса (продолжение)
31. §5. Системы линейных однородных уравнений
32. §5. Системы линейных однородных уравнений (продолжение)
33. Т е о р е м а. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с
34. §5. Системы однородных уравнений (продолжение)
36. Скачать презентацию

Слайд 2

Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб пособие. СПб.:

Лань, 2007. – 448 с.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика . М.: Высшая школа. 1999. – 479 с.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике – М.: Высшая школа. 1999. – 400 с.
Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике, М., Айрис Пресс, 2007, ч. 1, 2.
Коробков, С.С. Математика для гуманитарных специальностей [Электронный ресурс]: учебное пособие. – Екатеринбург: УрГПУ, 2007. – 124 с.
Кремер Н.И. Высшая математика для экономических специальностей – М : Высшая школа. 2008. – 732 с.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1. – М.: Айрис – Пресс, 2008. – 288 с.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 672 с.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1. СПб.: Лань, 2005. – 448 с., Ч.2, 2005. – 464 с.
Электронный ресурс: www.exponenta.ru

Рекомендуемая литература

Слайд 3

§1. Основные понятия
§2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера - Капелли
§3.

Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера
§4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
§5. Системы линейных однородных уравнений

Содержание лекции

Слайд 4

Цель занятия: развитие средствами изучаемой дисциплины общекультурных и профессиональных компетенций, регламентируемых

ФГОС ВПО направлению «080400 – Управление персоналом» (квалификация «бакалавр») по циклу Б2 – математический и естественно-научный цикл, в частности, компетенции ОК-16: владение методами количественного анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования, и др.
Задачи занятия: Познакомиться с профессионально важными понятиями линейной алгебры (матрицы, определители, системы линейных уравнений и методы их решения и др.); проиллюстрировать применение изученного материала на конкретных примерах.

Цель и задачи занятия

Слайд 5

§1. Основные понятия

Слайд 6

§1. Основные понятия (продолжение)

Слайд 7

§1. Основные понятия (продолжение)

Слайд 8

Df: Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно

решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Df: Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.
Df: Решить систему алгебраических уравнений – это значит выяснить, совместна она или несовместна, и, если система совместна, найти ее общее решение.
Df: Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение, т.е. всякое решение одной системы является, в то же время, решением другой, и наоборот.

§1. Основные понятия (продолжение)

Слайд 9

§1. Основные понятия (продолжение)

Слайд 10

§2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера - Капелли

Слайд 11

Правила практического разыскания всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из

следующих теорем.
Т е о р е м а 2. Если ранг r(A) матрицы A совместной системы линейных уравнений равен числу неизвестных n, т.е. r(A) = n, то система имеет единственное решение.
Т е о р е м а 3. Если ранг r(A) совместной системы меньше числа неизвестных n, т.е. r(A) < n, то система имеет бесчисленное множестве решений.
П р а в и л о решения произвольной системы линейных уравнений.
1. Найти ранги основной r(A) и расширенной r(Ā) матриц системы. Если r(A) ≠ r(Ā), то система несовместна.

§2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли (продолжение)

Слайд 12

2. Если r(A) = r(Ā) = r, система совместна. Найти какой-либо

базисный минор порядка r. Взять произвольно r уравнений системы из коэффициентов которых составлен базисный минор, отбросив остальные m – r уравнений.
Неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, называются главными; иx оставляют слева, а остальные n – r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.
3. Найти выражения для главных неизвестных через свободные.
4. Придавая свободным неизвестным произвольные действительные значения, получим все соответствующие значения главных неизвестных. Таким образом можно найти все частные решения исходной системы уравнений.

§2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли (продолжение)

Слайд 13

§2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли (продолжение)

Слайд 14

§2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли (продолжение)

Слайд 15

§2. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли (продолжение)

Слайд 16

§3. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера

Слайд 17

Заметим, что если detA ≠ 0, то ранг матрицы системы линейных

уравнений r(A) = n = r(Ā) равен рангу расширенной матрицы, т.е. такая линейная система имеет единственное решение.
Для нахождения решения системы линейных уравнений n-го порядка с невырожденной матрицей A = An×n может быть применен матричный метод (способ).
Техника применения матричного метода для решения системы уравнений очевидна из выкладок:
A⋅X = B;
A−1⋅A⋅X = A−1⋅B,
но A−1⋅A⋅X = (A−1⋅A)⋅X = E⋅X = X, откуда матрица-столбец решений выражается матричным образом как
X = A−1⋅B.

§3. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера (продолжение)

Слайд 18

§3. …Формулы Крамера (продолжение)

Слайд 19

§3. …Формулы Крамера (продолжение)

Слайд 20

§3. …Формулы Крамера (продолжение)

Слайд 21

§3. …Формулы Крамера (продолжение)

Слайд 22

§3. …Формулы Крамера (продолжение)

Слайд 23

§4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Слайд 24

§4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса (продолжение)

Слайд 25

§4. …метод Гаусса (продолжение)

Слайд 26

§4. …метод Гаусса (продолжение)

Слайд 27

О б р а т н ы й х о д.

Второй этап (обратный ход) заключается в решении полученной на первом этапе ступенчатой системы.
Ступенчатая система имеет, вообще говоря, бесчисленное множество решений. В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное xk через оставшиеся неизвестные (xk+1, xk+2, …, xn). Затем подставляем значение xk в предпоследнее уравнение системы и выражаем xk−1 через (xk+1, xk+2, …, xn); затем находим xk−2, xk−3, …, x1. Придавая свободным неизвестным (xk+1, xk+2, …, xn) произвольные значения, получим бесчисленное множество частных решений системы.

§4. …метод Гаусса (продолжение)

Слайд 28

З а м е ч а н и е 1. Если

ступенчатая система оказывается треугольной, т.е. k = n, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения найдем xn, из предпоследнего уравнения xn−1, далее, поднимаясь по системе, найдем все остальные неизвестные xn−2, xn−3, …, x1.
З а м е ч а н и е 2. На практике удобнее работать не с исходной системой линейных алгебраических уравнений, а с ее расширенной матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент a11 был равен единице. Для того, чтобы добиться этого, можно либо уравнения поменять местами, либо разделить обе части уравнения на a11 ≠ 1.

§4. …метод Гаусса (продолжение)

Слайд 29

§4. …метод Гаусса (продолжение)

Слайд 30

§4. …метод Гаусса (продолжение)

Слайд 31

§5. Системы линейных однородных уравнений

Слайд 32

§5. Системы линейных однородных уравнений (продолжение)

Слайд 33

Т е о р е м а. Для того, чтобы однородная

система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Δ был равен нулю, т.е. Δ = 0.
Доказательство: Если система имеет ненулевые решения, то Δ = 0. Ибо при Δ ≠ 0 система имеет только единственное, нулевое, решение. Если же Δ = 0, то ранг r(A) основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. r(A) < n. И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых) решений, ч.т.д.

§5. Системы линейных однородных уравнений (продолжение)

Слайд 34