Элементы теории полезности

Сентябрь 7, 2022

Главная
Алгебра
Элементы теории полезности

Содержание

2. СОДЕРЖАНИЕ Текущий контроль Функции полезности Аксиомы линейной полезности Многофакторная полезность
3. Определить лузера – претендента, который не может победить Здесь i– порядковый номер студента.
4. Цели и средства Цель: дать количественную оценку отношению предпочтения и определить такую стратегию поведения, которая бы
5. Функции и аксиомы полезности Функция Функция полезности – это такая функция U(X), для которой справедливо: Цель:
6. Альтернативы риска Совершенная функция полезности – это такая функция U(x), для которой справедливо: U (x1) >
7. Линейная комбинация альтернатив Линейной комбинацией альтернатив P и Q называется распределение R для которого справедливо:
8. Пример. Заданы распределения P и Q: Исходные распределения: Линейная комбинация:
9. Аксиомы функции полезности Ниже полагаем: Отношение P нерефлексивно (антирефлексивно), т.е. справедливо: на P нерефлексивно (антирефлексивно), т.е.
10. САМОСТОЯТЕЛЬНО Построить график вспомогательной функции V применительно к личности, которая до определенного уровня богатства склонна к
11. Принятие наиболее полезных решений Содержательная постановка задачи: Требуется на множестве альтернатив выбрать те, которые обладают наибольшей
12. Обозначения R – величина ресурса; – величина i-го выигрыша; – вероятность i-го выигрыша; затраты ресурса на
13. Формальная постановка задачи
14. Преобразование системы (1) Пусть . Тогда справедлива система: Легко убедиться, что (2) представляет собой задачу о
15. ПРИМЕР 1 Уложить в рюкзак наиболее полезные в походе предметы, если его объем равен R =
16. Формальная постановка задачи
17. Решение задачи перебором Ответ: оптимальный вектор переменных w={1011}, рекорд y =16.
18. Решить самостоятельно Выбрать наиболее полезные направления развития промышленности, если объем имеющихся для этого ресурсов равен R
19. Многофакторная полезность Часто полезность является функцией не одного, а нескольких факторов, поэтому естественно коротко остановиться на
20. Аддитивная многофакторная функция полезности Функция U является аддитивной на множестве X, если существуют вещественные функции полезности
21. Эквивалентные векторы Векторы (x1, x2, ..., xm) и (y1, y2, ..., ym) эквивалентны, т.е. (x1, x2,
22. Многофакторная полезность Дать формальное описание задачи и решить ее графически: девушке предлагают руку и сердце три
23. Максимальная полезность i-го объекта Формальная постановка задачи: Следует решить три задачи, определив полезность каждого претендента Ui
24. Решение задачи при i=1 x₂ 18 x₁ Оптимальное решение
25. Решить самостоятельно На множестве из трех направлений развития корпорации выбрать наиболее и наименее перспективное при условии,
26. Персональные данные 1
27. Персональные данные 2
29. Скачать презентацию

Слайд 2

СОДЕРЖАНИЕ
Текущий контроль
Функции полезности
Аксиомы линейной полезности
Многофакторная полезность

Слайд 3

Определить лузера – претендента, который не может победить
Здесь i– порядковый номер

студента.

Слайд 4

Цели и средства
Цель: дать количественную оценку отношению предпочтения и определить

такую стратегию поведения, которая бы гарантировала наиболее полезное распределение имеющихся ресурсов.
Инструмент: распределение имеющихся ресурсов.
Результат: наибольшая полезность выигрыша.

Слайд 5

Функции и аксиомы полезности
Функция
Функция полезности – это такая функция U(X),

для которой справедливо:
Цель: дать количественную оценку отношению предпочтения.

Рисунок иллюстрирует закон убывающей
предельной полезности: с увеличением
богатства рост его на единицу приводит
к меньшему возрастанию полезности,
чем в начале роста благосостояния.

Полезность

Благосостояние

Слайд 6

Альтернативы риска
Совершенная функция полезности – это такая функция U(x), для которой

справедливо:
U (x1) > U (x2) тогда и только тогда, когда
Ожидаемая полезность. Пусть определено множество X, элементы которого могут представлять собой альтернативы выбора либо последствия решений, содержащих элемент риска. Пусть на множестве Х определены два распределения вероятностей P и Q (их называют ставками, лотереями, альтернативами риска, смешанными стратегиями), для которых справедливо:

Слайд 7

Линейная комбинация альтернатив
Линейной комбинацией альтернатив P и Q называется распределение R

для которого справедливо:

Слайд 8

Пример. Заданы распределения P и Q:
Исходные распределения:
Линейная комбинация:

Слайд 9

Аксиомы функции полезности
Ниже полагаем:
Отношение P нерефлексивно (антирефлексивно),
т.е. справедливо:

на P нерефлексивно (антирефлексивно), т.е. справедливо:

Если

, то

Слайд 10

САМОСТОЯТЕЛЬНО
Построить график вспомогательной функции V применительно к личности, которая до определенного

уровня богатства склонна к риску, а достигнув его, - избегает риска.
Создать распределение R, являющееся линейной комбинацией P и Q, где:
P: p(0$)=0,2; p(15$)=0,5; p(25$)=0,2; p(50$)=0,1.
Q: q(10$)=0,3; q(30$)=0,4;q(70$)=0,3.
α = 0,45.

Слайд 11

Принятие наиболее полезных решений
Содержательная постановка задачи:
Требуется на множестве альтернатив выбрать

те, которые обладают наибольшей ожидаемой полезностью при условии, что выбор каждой альтернативы соответствует затратам какого-то ресурса, запасы которого ограничены.

Слайд 12

Обозначения
R – величина ресурса;
– величина i-го выигрыша;
– вероятность i-го

выигрыша;
затраты ресурса на выбор i-й альтернативы;
булева переменная, равная единице при
выборе i-й альтернативы и равная нулю в противном случае;
полезность i-й альтернативы.

Слайд 13

Формальная постановка задачи

Слайд 14

Преобразование системы (1)
Пусть . Тогда справедлива система:
Легко убедиться, что (2) представляет

собой задачу о ранце.

Слайд 15

ПРИМЕР 1
Уложить в рюкзак наиболее полезные в походе предметы, если

его объем равен R = 10, а величины, определяющие приведены в таблице 1 ниже:
Табл. 1.

Слайд 16

Формальная постановка задачи

Слайд 17

Решение задачи перебором
Ответ: оптимальный вектор переменных w={1011}, рекорд y =16.

Слайд 18

Решить самостоятельно
Выбрать наиболее полезные направления развития промышленности, если объем имеющихся для

этого ресурсов равен R = 100, а величины, определяющие приведены в таблице 2 ниже:
Табл. 2.

Слайд 19

Многофакторная полезность
Часто полезность является функцией не одного, а нескольких факторов, поэтому

естественно коротко остановиться на многофакторной полезности. Пусть Xi – множество значений i-го фактора ( i=1,2,...,n); X = X1 ⋅ X2 ⋅ ...⋅ Xn. В этом случае имеет место условие независимости предпочтений:

Слайд 20

Аддитивная многофакторная функция полезности
Функция U является аддитивной на множестве X,

если существуют вещественные функции полезности U1(X1), U2(X2), ..., Un(Xn) такие, что справедливо равенство:

Слайд 21

Эквивалентные векторы
Векторы (x1, x2, ..., xm) и (y1, y2, ..., ym)

эквивалентны, т.е. (x1, x2, ..., xm) ~ (y1, y2, ..., ym), тогда и только тогда, когда один из них является перестановкой элементов другого.
Если (x1, x2, ..., xm) ~ (y1, y2, ..., ym) и U(X) – аддитивная функция полезности на X, то невозможно выполнение условия:

Слайд 22

Многофакторная полезность
Дать формальное описание задачи и решить ее графически: девушке предлагают

руку и сердце три молодых человека, каждый из которых характеризуется двумя функциями
первая из которых определяет полезность времени, проведенного им на работе, а вторая – дома. Сумма времен не превышает 18 часов. Кого следует выбрать девушке, если функции имеют вид:

Слайд 23

Максимальная полезность i-го объекта
Формальная постановка задачи:
Следует решить три задачи, определив полезность

каждого претендента Ui и выбрать
того, у которого этот параметр максимален.

Слайд 24

Решение задачи при i=1
x₂
18 x₁
Оптимальное решение

Слайд 25

Решить самостоятельно
На множестве из трех направлений развития корпорации выбрать наиболее и

наименее перспективное при условии, что ресурс R, выделенный на развитие, равен 100+10*i, где i– номер студента. Ниже приняты следующие обозначения:
Pj – вероятность получения прибыли при выборе j-го направления развития.
Nj – вероятная прибыль от j-го направления развития при условии вложения в это направление Rj средств корпорации.
Rj – средства корпорации, которые по мнению экспертов следует вложить в j-е направление, чтобы получить прибыль Nj.

Слайд 26

Персональные данные 1

Слайд 27

Элементы теории полезности

Содержание

СОДЕРЖАНИЕТекущий контрольФункции полезностиАксиомы линейной полезностиМногофакторная полезность

Определить лузера – претендента, который не может победитьЗдесь i– порядковый номер

Цели и средства Цель: дать количественную оценку отношению предпочтения и определить

Функции и аксиомы полезностиФункция Функция полезности – это такая функция U(X),

Альтернативы рискаСовершенная функция полезности – это такая функция U(x), для которой

Линейная комбинация альтернативЛинейной комбинацией альтернатив P и Q называется распределение R

Пример. Заданы распределения P и Q:Исходные распределения: Линейная комбинация:

Аксиомы функции полезностиНиже полагаем: Отношение P нерефлексивно (антирефлексивно), т.е. справедливо:

САМОСТОЯТЕЛЬНОПостроить график вспомогательной функции V применительно к личности, которая до определенного

Принятие наиболее полезных решенийСодержательная постановка задачи: Требуется на множестве альтернатив выбрать

ОбозначенияR – величина ресурса; – величина i-го выигрыша; – вероятность i-го

Формальная постановка задачи

Преобразование системы (1)Пусть . Тогда справедлива система:Легко убедиться, что (2) представляет

ПРИМЕР 1 Уложить в рюкзак наиболее полезные в походе предметы, если

Формальная постановка задачи

Решение задачи переборомОтвет: оптимальный вектор переменных w={1011}, рекорд y =16.

Решить самостоятельноВыбрать наиболее полезные направления развития промышленности, если объем имеющихся для

Многофакторная полезностьЧасто полезность является функцией не одного, а нескольких факторов, поэтому

Аддитивная многофакторная функция полезности Функция U является аддитивной на множестве X,

Эквивалентные векторыВекторы (x1, x2, ..., xm) и (y1, y2, ..., ym)

Многофакторная полезностьДать формальное описание задачи и решить ее графически: девушке предлагают

Максимальная полезность i-го объектаФормальная постановка задачи:Следует решить три задачи, определив полезность

Решение задачи при i=1 x₂18 x₁Оптимальное решение

Решить самостоятельноНа множестве из трех направлений развития корпорации выбрать наиболее и

Персональные данные 1

Персональные данные 2

Похожие презентации

СОДЕРЖАНИЕ
Текущий контроль
Функции полезности
Аксиомы линейной полезности
Многофакторная полезность

Определить лузера – претендента, который не может победить
Здесь i– порядковый номер

Цели и средства
Цель: дать количественную оценку отношению предпочтения и определить

Функции и аксиомы полезности
Функция
Функция полезности – это такая функция U(X),

Альтернативы риска
Совершенная функция полезности – это такая функция U(x), для которой

Линейная комбинация альтернатив
Линейной комбинацией альтернатив P и Q называется распределение R

Пример. Заданы распределения P и Q:
Исходные распределения:
Линейная комбинация:

Аксиомы функции полезности
Ниже полагаем:
Отношение P нерефлексивно (антирефлексивно),
т.е. справедливо:

САМОСТОЯТЕЛЬНО
Построить график вспомогательной функции V применительно к личности, которая до определенного

Принятие наиболее полезных решений
Содержательная постановка задачи:
Требуется на множестве альтернатив выбрать

Обозначения
R – величина ресурса;
– величина i-го выигрыша;
– вероятность i-го

Преобразование системы (1)
Пусть . Тогда справедлива система:
Легко убедиться, что (2) представляет

ПРИМЕР 1
Уложить в рюкзак наиболее полезные в походе предметы, если

Решение задачи перебором
Ответ: оптимальный вектор переменных w={1011}, рекорд y =16.

Решить самостоятельно
Выбрать наиболее полезные направления развития промышленности, если объем имеющихся для

Многофакторная полезность
Часто полезность является функцией не одного, а нескольких факторов, поэтому

Аддитивная многофакторная функция полезности
Функция U является аддитивной на множестве X,

Эквивалентные векторы
Векторы (x1, x2, ..., xm) и (y1, y2, ..., ym)

Многофакторная полезность
Дать формальное описание задачи и решить ее графически: девушке предлагают

Максимальная полезность i-го объекта
Формальная постановка задачи:
Следует решить три задачи, определив полезность

Решение задачи при i=1
x₂
18 x₁
Оптимальное решение

Решить самостоятельно
На множестве из трех направлений развития корпорации выбрать наиболее и