Эллиптический фильтр

На рисунке показаны полюса и нули эллиптического фильтра.

(1)

Здесь - ω0 частота среза, n – порядок фильтра, ε и L – параметры, определяющие величину пульсаций в полосах пропускания и задерживания. Функция Rn (x , L) называется рациональной функцией Чебышева. Эта функция выражается через эллиптические функции Якоби. Отсюда и название фильтра. Эти функции достаточно сложны, и на наше счастье MATLAB выполняет за нас все трудоемкие расчеты.
Для анализа эллиптических фильтров нам достаточно знать несколько основных параметров. Это n – порядок фильтра, ω0 - частота среза, Rp- уровень пульсации АЧХ в полосе пропускания и Rs - уровень пульсации АЧХ в полосе задерживания.

(2)

Здесь значение A0 = 1. Наибольшее значение As пульсаций в полосе задерживания находится по формуле

(3)

(4)

На следующем рисунке показана АЧХ в децибелах.

Из этого рисунка хороши видно, что уровень пульсации в полосе пропускания равен 0.5 дБ.

(5)

(6)

Эта новая передаточная функция описывает новый фильтр со свойствами отличными от исходного фильтра.
Поэтому одним из способов получения новых фильтров, является нахождение нужного преобразования L.

(7)

Здесь ω0 - задаваемая частота среза. На рисунке показаны АЧХ двух эллиптических фильтров со следующими частотами среза ω0 = 1 рад/с и ω0 = 3 рад/с.

Так как меняются коэффициенты bn , an фильтра, то меняются так же нули и полюса фильтра. На следующих двух рисунках показаны в комплексной s - плоскости нули и полюсы первого и второго фильтров.

(8)

Здесь ω0 - задаваемая частота среза.

На следующих двух рисунках показаны АЧХ двух фильтров, связанных преобразованием (8).
На первом рисунке показана АЧХ исходного эллиптического ФНЧ. На втором рисунке показана АЧХ фильтра высоких частот ФВЧ полученного из первого фильтра с помощью преобразования (8). Частота среза взята равной ω0 = 40 рад/с.

(9)

Таким образом, преобразование (8) из устойчивого фильтра низких частот, позволяет получить устойчивый фильтр ФВЧ.

(10)

(11)

На следующих двух рисунках показаны АЧХ двух фильтров, связанных преобразованием (10).
Частоты нижней и верхней границ полосы пропускания полосового фильтра взяты равными следующим величинам ω1 = 10 рад/с и ω2 = 30 рад/с.

(13)

На следующих двух рисунках показаны АЧХ двух фильтров, связанных преобразованием (12).
Частоты нижней и верхней границ полосы задерживания полосового фильтра взяты равными следующим величинам ω1 =10 рад/с и ω2 = 30 рад/с .

(15)

Передаточная функция H(s) аналогового фильтра является изображением Лапласа импульсной характеристики h(t).

(16)

Здесь s - комплексное число

(17)

Разложив числитель и знаменатель передаточной функции (17) на элементарные множители, мы получаем передаточную функцию в следующем виде.

(18)

Здесь k = bm /an - коэффициент усиления, zi – нули передаточной функции, pi - полюсы передаточной функции.

(20)

Анализ формул (16) и (19) показывает, что комплексный коэффициент передачи фильтра и передаточная функция H(s) связаны простым соотношением.

(21)

Дискретный фильтр описывается также импульсной характеристикой h(n). Импульсная характеристика определяется из уравнения, которое связывает входящий дискретный сигнал x(n) и выходящий дискретный сигнал y(n).

(23)

(24)

Передаточная функция H(z) дискретного фильтра является Z – образом импульсной характеристики h(n).

(25)

(26)

Разложив числитель и знаменатель передаточной функции (26) на элементарные множители, мы по аналогии с аналоговым фильтром получаем передаточную функцию в следующем виде.

Частотная характеристика фильтра является преобразованием Фурье импульсной характеристики
Поэтому можно представить в виде ряда.

(28)

(29)

АЧХ и ФЧХ дискретного фильтра определяются формулами.

(30)

Анализ формул (25) и (28) показывает, что частотная характеристика фильтра и передаточная функция H(z) связаны простым соотношением.

(31)

(32)

(33)

Далее будем предполагать, что передаточные функции дискретного и аналогового фильтров связаны соотношением.

(35)

Частотная характеристика дискретного фильтра выражается через передаточную функцию следующим образом.

(36)

(34)

(40)

Окончательно, объединяя формулы (39) и (40) находим связь между частотными характеристиками дискретного и аналогового фильтров.

(41)

(42)

При малых значения аргумента тангенса, можно использовать приближенную формулу.

(43)

Поэтому при низких частотах величина Ω будет равна.

(44)

На следующих рисунках, показаны АЧХ аналогового и дискретного фильтров, вблизи полосы пропускания . Красный цвет – АЧХ аналогового фильтра , синий цвет - АЧХ дискретного фильтра. На первом рисунке частота Найквиста равна F = 0.5 Гц, на втором равна F = 0.3 Гц .