Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Содержание

2. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. ТЕОРЕМА. Пусть функция z = f(x, y) имеет в окрестности
3. Доказательство. Точки, лежащие на отрезке М0М, имеют координаты х = х0 + tΔx, y = y0
4. Применяя правило нахождения производной сложной функции, получим: Аналогично По индукции получим, что
5. Запишем для функции φ(t) формулу Тейлора с остатком в форме Лагранжа: Полагая t = 1, получим
6. ЗАМЕЧАНИЕ. При соблюдении условий теоремы имеет место также формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:
7. Локальные экстремумы функции нескольких переменных. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция u = f(х1, х2, ... хm) определена в
8. Необходимое условие экстремума. ТЕОРЕМА. Если в точке экстремума М0 функции f(М) существует частная производная по какой-либо
9. ЗАМЕЧАНИЕ. Если в точке М0 функция f(М) дифференцируема и df(М0) = 0, то М0 называется стационарной
10. Достаточные условия экстремума. ТЕОРЕМА. Пусть функция f(M) имеет в окрестности точки M0 непрерывные частные производные второго
11. Так как по условию теоремы df(х0,y0) = 0 , то полное приращение функции в критической точке
12. В нашем случае переменные связаны соотношением и поэтому одновременно не равны нулю. Квадратичная форма – непрерывная
13. СЛЕДСТВИЕ. Пусть z = f(x, y), M0(х0, у0) – стационарная точка этой функции. Исследуем второй дифференциал
15. ПРИМЕР. Исследовать на локальный экстремум функцию z = x3 + 3xy2 – 39x – 36y +
16. Ее главные миноры равны:
18. Скачать презентацию

Слайд 2

Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
ТЕОРЕМА.
Пусть функция z = f(x,

y) имеет в окрестности точки M0(х0,y0) непрерывные производные до n-ого порядка включительно. Тогда для любой точки M(х, y) из этой окрестности справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

Слайд 3

Доказательство.
Точки, лежащие на отрезке М0М, имеют координаты
х = х0

+ tΔx, y = y0 + tΔy, причем 0 ≤ t ≤ 1.
Тогда φ ( t ) = f (х0 + tΔx, y0 + tΔy) – n раз непрерывно дифференцируемая сложная функция от t, причем
φ (0) = f ( х0, y0 ), φ (1) = f (х0 + Δx, y0 + Δy).

Слайд 4

Применяя правило нахождения производной сложной функции, получим:
Аналогично
По индукции получим, что

Слайд 5

Запишем для функции φ(t) формулу Тейлора с остатком в форме Лагранжа:
Полагая

t = 1, получим
Заметим, что
Итак

Слайд 6

ЗАМЕЧАНИЕ.
При соблюдении условий теоремы имеет место также формула Тейлора с

остаточным членом в форме Пеано:

Слайд 7

Локальные экстремумы функции нескольких переменных.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Пусть функция u = f(х1, х2,

... хm) определена в области G⊂ Rm. Точка М0∈G называется точкой локального максимума (минимума) функции f(М), если найдется такая δ-окрестность точки М0, что для всех точек М, принадлежащих этой окрестности, выполнено неравенство
f(М) – f(М0) ≤ 0 ( ≥ 0).
ПРИМЕР.

Слайд 8

Необходимое условие экстремума.
ТЕОРЕМА.
Если в точке экстремума М0 функции f(М) существует частная

производная по какой-либо переменной, то эта производная равна нулю.
Доказательство.
Докажем теорему для функции двух переменных f(x, y).
Пусть М0(х0, у0) – ее точка локального экстремума. Пусть существует, например, fx (х0, у0). Введем вспомогательную функцию
ϕ (x) = f (x, у0).
Точка х0 является ее точкой экстремума, следовательно по теореме Ферма
ϕ ′(x0) = fx (х0, у0) = 0 ,
ч.т.д.
СЛЕДСТВИЕ.
Если в точке экстремума М0 функция f(М) дифференцируема, то
df(М0) = 0.

Слайд 9

ЗАМЕЧАНИЕ.
Если в точке М0 функция f(М) дифференцируема и df(М0) =

0, то М0 называется стационарной точкой. Точки экстремума следует искать среди стационарных точек. Но не всякая стационарная точка будет точкой экстремума.
ПРИМЕР.

fx = y = 0, fy = x = 0, то есть (0,0) – стационарная точка.
Возьмем произвольное δ > 0.
Точки (δ, δ) и (δ, – δ) лежат внутри круга радиуса 2δ и
f (δ, δ) = δ 2 > f(0, 0) = 0,
f(δ,–δ) = – δ 2 < f(0, 0) = 0.
Поэтому (0,0) не является точкой экстремума функции.

Слайд 10

Достаточные условия экстремума.
ТЕОРЕМА.
Пусть функция f(M) имеет в окрестности точки

M0 непрерывные частные производные второго порядка и пусть df(M0) = 0. Тогда
если d2f(M0) – положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма, то M0 – точка локального минимума (максимума),
если d2f(M0) – неопределенная квадратичная форма, то M0 не является точкой экстремума.
Доказательство.
Приведем доказательство для функции двух переменных f(x, y).
По формуле Тейлора второго порядка с остаточным членом Пеано имеем

Слайд 11

Так как по условию теоремы df(х0,y0) = 0 , то полное

приращение функции в критической точке
Пусть для определенности d2f(M0) – положительно определенная квадратичная форма. Тогда
при всех значениях , не равных нулю одновременно.

Слайд 12

В нашем случае переменные связаны соотношением
и поэтому одновременно не равны

нулю. Квадратичная форма
– непрерывная функция двух переменных, принимающая только положительные значения и заданная на окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Поскольку эта окружность есть компакт, то функция достигает на нем своей точной нижней грани m. Таким образом
для всех значений аргументов, удовлетворяющих условию ( * ), а
Следовательно в достаточно малой окрестности точки М0 выполняется неравенство f(M) – f(M0) > 0, то есть М0 – точка локального минимума.

Слайд 13

СЛЕДСТВИЕ.
Пусть z = f(x, y), M0(х0, у0) – стационарная точка

этой функции. Исследуем второй дифференциал функции в стационарной точке
Воспользуемся критерием Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. В нашем случае
Возможные возникающие здесь ситуации сведем в таблицу:

Слайд 14

Слайд 15

ПРИМЕР.
Исследовать на локальный экстремум функцию
z = x3 + 3xy2 –

39x – 36y + 26.
Найдем частные производные первого порядка
zx = 3x2 + 3y2 – 39; zy = 6xy – 36.
Для нахождения стационарных точек функции получим систему уравнений:
M1(3, 2), M2(– 3, – 2), M3(2, 3), M4(–2, –3).
Вычислим второй дифференциал функции
d2f(x, y) = 6xdx2 +2⋅6ydxdy + 6xdy2.
Матрица квадратичной формы в данном случае имеет вид:

Слайд 16

Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Содержание

Формула Тейлора для функции нескольких переменных. ТЕОРЕМА. Пусть функция z = f(x,

Доказательство. Точки, лежащие на отрезке М0М, имеют координаты х = х0

Применяя правило нахождения производной сложной функции, получим:АналогичноПо индукции получим, что

Запишем для функции φ(t) формулу Тейлора с остатком в форме Лагранжа:Полагая

ЗАМЕЧАНИЕ. При соблюдении условий теоремы имеет место также формула Тейлора с

Локальные экстремумы функции нескольких переменных. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция u = f(х1, х2,

Необходимое условие экстремума.ТЕОРЕМА. Если в точке экстремума М0 функции f(М) существует частная

ЗАМЕЧАНИЕ. Если в точке М0 функция f(М) дифференцируема и df(М0) =

Достаточные условия экстремума. ТЕОРЕМА. Пусть функция f(M) имеет в окрестности точки