Частные производные высших порядков. Некоторые сведения из теории квадратичных форм

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Частные производные высших порядков. Некоторые сведения из теории квадратичных форм

Содержание

2. Частные производные высших порядков. Пусть функция f(x, у) имеет частные производные во всех точках открытого множества
3. Рассматривая частные производные от вторых производных, получим всевозможные частные производные третьего порядка fxxх, fxxу, fyyх, fyyу,
4. Некоторые сведения из теории квадратичных форм. Квадратичной формой от n переменных называется функция вида Матрица называется
5. С помощью линейного преобразования любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду. При этом справедлив следующий
6. Рассмотрим матрицу квадратичной формы. Обозначим Δ1=a11 , , ... , Δn= det A. Справедливо следующее утверждение,
7. Дифференциалы высших порядков. Пусть функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные первого и второго
8. Аналогично для функции, трижды дифференцируемой в точке М(х, у), определяется третий дифференциал: Для сокращения записи второго
9. И вообще, дифференциал n-ого порядка функции z =f(x, y) можно символически записать в следующей форме: Пусть
10. Неявные функции и их дифференцирование. Пусть функция F(x, y) определена в R2. Рассмотрим уравнение F (
11. Например, уравнение x2 + y2 – 1 = 0 в прямоугольнике х∈[–1,1], у∈[0,1] неявно определяет функцию
12. ТЕОРЕМА. Пусть F(x, y) имеет в окрестности точки (х0, у0) непрерывные частные производные Fх(x, y), Fу(x,
13. ПРИМЕР 1. Пусть требуется найти вторую производную функции у = у(х), заданной неявно с помощью уравнения:
14. ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогичная теорема имеет место и в случае, когда неявная функция зависит от двух (и более)
15. ПРИМЕР 2. Пусть требуется найти второй дифференциал в точке (2, 0) для каждой дифференцируемой функции z(x,
16. 1) Если z(2, 0) = 1, то 2) Если z(2, 0) = 16, то
18. Скачать презентацию

Слайд 2

Частные производные высших порядков.
Пусть функция f(x, у) имеет частные производные
во

всех точках открытого множества G ⊂ R2. Эти производные – функции независимых переменных x и у, заданные на множестве G, и тоже могут иметь частные производные в точке M∈G.
Частная производная
Частная производная
Аналогично
Производные fxx(х, у), fyy(х, у), fxy(х, у), fyx (х, у) называются частными производными второго порядка.

обозначается

или fxx.

обозначается

или fxу.

Слайд 3

Рассматривая частные производные от вторых производных, получим всевозможные частные производные третьего

порядка
fxxх, fxxу, fyyх, fyyу, fxyх, fxyу, fyxх , fyxу .
Аналогично определяются частные производные любого порядка от функций любого числа переменных. Т.е. частной производной n-ого порядка называется частная производная по какой-нибудь переменной от частной производной (n-1)-ого порядка.
Частная производная, полученная дифференцированием по различным переменным, называется смешанной производной.
ТЕОРЕМА (о смешанных производных).
Если обе смешанные производные fxy (х, у) и fyx (х, у) определены в некоторой окрестности точки М0 (х0,у0) и непрерывны в этой точке , то
fxy (х0, у0) = fyx (х0, у0).
Сформулированная выше теорема о частных производных распространяется на любые непрерывные смешанные производные, которые отличаются друг от друга только порядком дифференцирования.
Например fxyу (х0, у0) = fyуx (х0, у0), если эти производные непрерывны в данной точке.

Слайд 4

Некоторые сведения из теории квадратичных форм.
Квадратичной формой от n переменных называется

функция вида
Матрица
называется матрицей квадратичной формы.
А = АТ , т.е. матрица симметрична.
Если aij = 0 при i ≠ j , то такой вид квадратичной формы называется каноническим.

Слайд 5

С помощью линейного преобразования любую квадратичную форму можно привести к каноническому

виду. При этом справедлив следующий
ЗАКОН ИНЕРЦИИ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ:
Число слагаемых с положительными (отрицательными) каноническими коэффициентами постоянно и не зависит от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Квадратичная форма называется
положительно (отрицательно) определенной, если для ∀ x1, x2, ... , xn выполняется условие:
Q(x1, x2, ... , xn) ≥ 0 (≤ 0), причем Q(x1, x2, ... , xn) = 0 ⇔ x1 = x2 = ... = xn = 0;
неопределенной, если существуют x1, x2, ... , xn и x1′, x2′, ... , xn′, такие что
Q(x1, x2, ... , xn) > 0 и Q(x1′, x2′, ... , xn′ ) < 0.

Слайд 6

Рассмотрим матрицу квадратичной формы. Обозначим
Δ1=a11 , , ... , Δn=

det A.
Справедливо следующее утверждение, так называемый,
КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРА ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТИ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ:
Квадратичная форма положительно определенна ⇔
Δ1 > 0, Δ2 > 0 , ... , Δn > 0 .
Квадратичная форма отрицательно определенна ⇔
Δ1< 0, Δ2 > 0 , ... , (-1)n Δn > 0 .

Слайд 7

Дифференциалы высших порядков.
Пусть функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные

производные первого и второго порядка во всех точках М(х,у) некоторой области G⊂R2. Тогда при фиксированных dx и dy дифференциал
есть функция от x, y, имеющая в рассматриваемой области непрерывные частные производные, следовательно, в любой точке этой области существует дифференциал от df. Вычислим его при тех же приращениях dx и dy:
Он называется вторым дифференциалом функции z = f(x, y) в точке М(х, у).

Слайд 8

Аналогично для функции, трижды дифференцируемой в точке М(х, у), определяется третий

дифференциал:
Для сокращения записи второго и последующих дифференциалов функции введем символ дифференциала d при помощи соотношения
и определим операцию возведения этого символа в степень n. Например:
Тогда второй дифференциал функции z = f(x, y) можно записать в виде произведения

Слайд 9

И вообще, дифференциал n-ого порядка функции z =f(x, y) можно символически

записать в следующей форме:
Пусть функция u = f(х1, х2, ... хm) имеет в области G ⊂ Rm непрерывные производные первого и второго порядка по всем переменным. Тогда для нее, по аналогии с функцией двух переменных, вводится понятие второго дифференциала в точке М (х1, х2, ... хm):
Заметим, что последнее выражение – квадратичная форма от переменных dxi (i = 1, 2, … , m).
По индукции определяется дифференциал n – ого порядка в предположении, что все частные производные n-ого порядка непрерывны в точке М:

Слайд 10

Неявные функции и их дифференцирование.
Пусть функция F(x, y) определена в R2.

Рассмотрим уравнение
F ( x, y ) = 0. (1)
Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), будем называть графиком уравнения. Будем рассматривать такие уравнения, графики которых – непустые множества.
Если график уравнения (1) однозначно проектируется на отрезок оси ОХ, то на этом отрезке существует единственная функция y = f(x), график которой совпадает с графиком уравнения (1). Эта функция каждому х ставит в соответствие тот единственный у, для которого F(x, y(х)) = 0. Говорят, что уравнение (1) определяет у как неявную функцию от х.

Слайд 11

Например, уравнение
x2 + y2 – 1 = 0
в прямоугольнике

х∈[–1,1], у∈[0,1] неявно определяет функцию
а в прямоугольнике х∈[–1,1], у∈[– 1,0] – функцию

–1

Слайд 12

ТЕОРЕМА.
Пусть
F(x, y) имеет в окрестности точки (х0, у0) непрерывные частные

производные Fх(x, y), Fу(x, y);
Fу(x0, y0) ≠ 0;
F(x0, y0) = 0.
Тогда существует прямоугольник
К = {(х, у): х0 – а ≤ х ≤ х0 + а; у0 – b ≤ у ≤ у0 + b},
в котором уравнение F(x, y) = 0 определяет у как неявную функцию от х.
Функция y = f(x) непрерывно дифференцируема на (х0 – а, х0 + а) и

Слайд 13

ПРИМЕР 1.
Пусть требуется найти вторую производную функции у = у(х),
заданной

неявно с помощью уравнения:

Здесь

По правилу дифференцирования неявной функции получим:

Продифференцируем полученное выражение по х с учетом того,
что у есть функция от х:

Подставим сюда найденное выражение для у '(х).

= a2b2 (согласно уравнению )

Слайд 14

ЗАМЕЧАНИЕ.
Аналогичная теорема имеет место и в случае, когда неявная функция

зависит от двух (и более) переменных, т.е. задается уравнением
F ( x, y, z ) = 0.
С помощью формального дифференцирования получим выражения для соответствующих частных производных функции z(x, y):

= 0

Слайд 15

ПРИМЕР 2.
Пусть требуется найти второй дифференциал в точке (2, 0)

для каждой дифференцируемой функции z(x, y), заданной неявно с помощью уравнения:

В окрестности точки (2, 0) уравнением определяются две дифференцируемые функции z(x, y). Их значения в этой точке определяются как решения уравнения

Частные производные функции

равны

По правилу дифференцирования неявной функции получим:

Вычислим вторые производные, дифференцируя полученные выражения:

Слайд 16

1) Если z(2, 0) = 1, то
2) Если z(2, 0)

= 16, то

Частные производные высших порядков. Некоторые сведения из теории квадратичных форм

Содержание

Частные производные высших порядков. Пусть функция f(x, у) имеет частные производные во

Рассматривая частные производные от вторых производных, получим всевозможные частные производные третьего

Некоторые сведения из теории квадратичных форм. Квадратичной формой от n переменных называется

С помощью линейного преобразования любую квадратичную форму можно привести к каноническому

Рассмотрим матрицу квадратичной формы. Обозначим Δ1=a11 , , ... , Δn=

Дифференциалы высших порядков. Пусть функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные

Аналогично для функции, трижды дифференцируемой в точке М(х, у), определяется третий

И вообще, дифференциал n-ого порядка функции z =f(x, y) можно символически

Неявные функции и их дифференцирование. Пусть функция F(x, y) определена в R2.

Например, уравнение x2 + y2 – 1 = 0 в прямоугольнике

ТЕОРЕМА. ПустьF(x, y) имеет в окрестности точки (х0, у0) непрерывные частные

ПРИМЕР 1. Пусть требуется найти вторую производную функции у = у(х), заданной

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогичная теорема имеет место и в случае, когда неявная функция

ПРИМЕР 2. Пусть требуется найти второй дифференциал в точке (2, 0)

1) Если z(2, 0) = 1, то 2) Если z(2, 0)

Похожие презентации