Содержание
- 2. Введение. Краткая историческая справка о фракталах. Фракталы – молодой раздел дискретной математики. В 1904 году швед
- 3. Фракталы – элементы геометрии в природе. Фракталы - средства для описания таких объектов как модели горных
- 4. Объекты, обладающие фрактальными свойствами, в природе. Кораллы Морские звезды и ежи Морские раковины Цветы и растения
- 5. Определение терминологии «фракталы». Фракталы - это геометрические фигуры, которые удовлетворяют одному или нескольким из следующих свойств:
- 6. Классы фракталов Фрактал – структура, состоящая из частей (субструктур), подобных целому. Часть фракталов, как элементов природы,
- 8. Процедуры получения фрактальных множеств. Это простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых: задают произвольную ломаную с конечным
- 9. Показано пять шагов построения ломаной Коха: отрезок единичной длины (а), делится на три части (k =
- 10. Снежинка Коха (фрактал Коха) В Качестве основы построения можно брать не отрезки единичной длины, а равносторонний
- 11. Губки Менгера. Кроме одномерных есть и трёхмерные фракталы. На рис. в трехмерном пространстве изображена губка Менгера
- 13. Скачать презентацию
Введение. Краткая историческая справка о фракталах.
Фракталы – молодой раздел дискретной математики.
В
Введение. Краткая историческая справка о фракталах.
Фракталы – молодой раздел дискретной математики.
В
В 1918 году француз Жюлиа описал целое семейство фракталов.
В 1938 году Пьер Леви опубликовал статью «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому».
В 1982 Бенуа Мандельброта опубликовал книгу «Фрактальная геометрия природы».
С помощью простых конструкций и формул получаются изображения.
Появилась «фрактальная живопись».
С 1993 г. Из-во World Scientific издаёт журнал «Фракталы».
Фракталы – элементы геометрии в природе.
Фракталы - средства для описания таких
Фракталы – элементы геометрии в природе.
Фракталы - средства для описания таких
Или такие: лист папоротника, облака, клякса.
Изображения таких предметов можно представить с помощью фрактальной графики.
Объекты, обладающие фрактальными свойствами, в природе.
Кораллы
Морские звезды и ежи
Морские раковины
Цветы и растения (брокколи, капуста)
Плоды
Объекты, обладающие фрактальными свойствами, в природе.
Кораллы
Морские звезды и ежи
Морские раковины
Цветы и растения (брокколи, капуста)
Плоды
Кроны деревьев и листья растений
Кровеносная система и бронхи людей и животных
В неживой природе:
Границы географических объектов (стран, областей, городов)
Береговые линии
Горные хребты
Снежинки
Облака
Молнии
Образующиеся на стеклах узоры
Кристаллы
Сталактиты, сталагмиты, геликтиты.
Определение терминологии «фракталы».
Фракталы - это геометрические фигуры, которые удовлетворяют одному или
Определение терминологии «фракталы».
Фракталы - это геометрические фигуры, которые удовлетворяют одному или
Обладает сложной нетривиальной структурой при любом увеличении (на всех масштабах);
Является (приближённо) самоподобной.
Обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью или превосходящей топологическую;
Может быть построена рекурсивными процедурами.
Для регулярных фигур таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции небольшой фрагмент в очень крупном масштабе похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, для всех масштабов мы увидим одинаково сложные картины.
Классы фракталов
Фрактал – структура, состоящая из частей (субструктур), подобных целому.
Часть фракталов,
Классы фракталов
Фрактал – структура, состоящая из частей (субструктур), подобных целому.
Часть фракталов,
Остальная часть может быть отнесена к классу динамических фракталов (алгебраических).
Процедуры получения фрактальных множеств.
Это простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых: задают
Процедуры получения фрактальных множеств.
Это простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых: задают
если n = 3, k = 3, то d = 1; если n = 9, k = 3, то d = 2; если n = 27, k = 3, то d = 3.
если n = 4, k = 4, то d = 1; если n = 16, k = 4, то d = 2; если n = 64, k = 4, то d = 3. Размерность пространства выражается целыми числами: d = 1, 2, 3; для n = 64, величина d равна
Изображено: деление единичного отрезка на 3 части (а), единичной квадратной площадки на 9 частей (б), единичного куба на 27 частей (в) и на 64 части (г). Число частей n, коэффициент масштабирования — k, а размерность пространства — d. Имеем следующие соотношения: n = kd,
Показано пять шагов построения ломаной Коха: отрезок единичной длины (а), делится на
Показано пять шагов построения ломаной Коха: отрезок единичной длины (а), делится на
Размерность
Это дробная, или фрактальная размерность.
Ломаная Коха, предложенная Гельгом фон Кохом в 1904 г., выступает в роли фрактала, который подходит для моделирования изрезанности береговой линии. Мандельброт в алгоритм построения береговой линии внес элемент случайности, который, однако, не повлиял на основной вывод в отношении длины береговой линии. Поскольку предел
длина береговой линии за счет бесконечной изрезанности берега стремится к бесконечности. Процедура сглаживания береговой линии при переходе от более детального масштаба к менее детальному, т.е. согласно рис переходы от (д) к (г), от (г) к (в), от (в) к (б), дает одну и ту же величину: на три части длины — одну «бухту», а длина стремится к единичному значению.
Снежинка Коха (фрактал Коха)
В Качестве основы построения можно брать не отрезки
Снежинка Коха (фрактал Коха)
В Качестве основы построения можно брать не отрезки
Рис. Снежинка Коха
На рис. показаны две векторные диаграммы; числа, стоящие над стрелками, видимо, вызовут вопрос: что бы они значили? Вектор 0 совпадает с положительным направлением оси абсцисс, так как его фазовый множитель exp (i2πl/6) при l = 0 сохраняет его направление. Вектор 1 повернут относительно вектора 0 на угол 2π/6, когда l= 1. Вектор 5 имеет фазовый множитель exp (i2π5/6), l = 5. Последний вектор имеет тот же фазовый множитель, что и первый (l = 0). Целые числа l характеризуют угол фазового множителя единичного вектора.
Первый шаг (рис.), задает рекурсивную процедуру для всех последующих шагов и, в частности, для второго шага (рис.). Как перейти от набора чисел φ1 = {0 1 5 0} к φ2 = {0 1 5 0 1 2 0 1 5 0 4 5 0 1 5 0}? Ответ: через прямое перемножение матриц, когда каждый элемент одной матрицы умножается на исходную матрицу. Поскольку в данном случае мы имеем дело с одномерным массивом, т.е. матрицы представляют собой векторы, то здесь производится умножение каждого элемента одной матрицы-вектора на все элементы другой матрицы-вектора. Кроме того, элементы матрицы-вектора φ1 состоят из показательных функций exp (i2πl/6), следовательно, при перемножении числа h нужно будет складывать по mod (6), а не умножать.
Губки Менгера.
Кроме одномерных есть и трёхмерные фракталы.
На рис. в трехмерном пространстве
Губки Менгера.
Кроме одномерных есть и трёхмерные фракталы.
На рис. в трехмерном пространстве
Губки Менгера используются как аналог множество Кантора в трёхмерном пространстве.