Функции и их свойства. Графики функций. Предел функции. Непрерывность функции

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Функции и их свойства. Графики функций. Предел функции. Непрерывность функции

Содержание

2. Кафедра биологической и медицинской физики — одна из первых кафедр Военно-медицинской академии и старейшая кафедра физики
3. Здание Естественно-исторического института
4. Первым профессором кафедры стал Василий Владимирович Петров (1761—1834) — знаменитый русский ученый-естествоиспытатель, заложивший основы преподавания экспериментальной
5. 1. Определение функции, числовых промежутков и окрестностей точек. Некоторые свойства функций и их графиков.
6. Пусть X, У — некоторые множества, элементами которых являются некоторые числа. Если каждому числу х Є
7. Переменная х называется независимой переменной или аргументом, а переменная у называется зависимой переменной (от х) или
8. Множество X — область изменения аргумента — называется областью определения функции. Множество У, содержащее все значения,
9. Множества X и Y часто являются конечными или бесконечными промежутками:
10. а) конечные промежутки: Открытый интервал (a,b): множество вещественных чисел, удовлетворяющих неравенствам a Замкнутый интервал (или отрезок)
11. б) бесконечные промежутки: (-∞, +∞) = R – множество всех вещественных чисел. Аналогично, возможны промежутки (а,+∞),
12. Пусть x0 – любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки х0 называется любой интервал
13. 1) Графический. Правило, по которому можно находить у, зная х, может быть задано графиком функции. Графиком
14. Пример. Графиком функции у = х2 является парабола, ось симметрии которой совпадает с положительной полуосью ординат,
15. Функцию можно задавать также с помощью таблицы или формулы (аналитически). 2) Табличный способ применяется на практике
16. Основные характеристики функции: монотонность, ограниченность, четность (нечетность), периодичность.
17. Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) в интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее
19. Определение. Интервал независимой переменной, в котором функция возрастает (убывает), называется интервалом возрастания (убывания). Как интервал возрастания,
20. Определение. Функция называется четной, если при изменении знака допустимого аргумента значение функции не изменяется. Функция называется
21. Таким образом, если функция f(x) — четная, то для всех х из ее области определения должно
22. Четные или нечетные функции должны быть обязательно определены в области, симметричной относительно начала координат. При этом
23. Не все функции являются четными либо нечетными; функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, будем называть
24. Определение. Функция f(x) называется периодической, если существует такое положительное число а, что f(x + a) =
25. Примером периодической функции служит определенная на всей оси функция у = cos x, период которой равен
26. 2. Сложная функция. Обратная функция.
27. Определение. Сложной функцией называется функция, аргумент которой также является функцией, т.е. F(x) = f(φ(x)). Чтобы сосчитать
28. При этом область определения функции F(x) следует выбирать таким образом, чтобы промежуточное множество U, с одной
29. Пример. Рассмотрим сложную функцию у = lg(1- x2). Здесь у = f(u) = lgu, в то
30. Рассмотрим функцию с областью определения X и областью значений Y. Предположим, что каждому значению у ε
31. Функции f и φ с вышеперечисленными свойствами называются взаимно-обратными, а функция φ называется обратной по отношению
32. Между графиками функций у = f(x) и у = φ(х) имеется простая связь: график обратной функции
34. 3. Элементарные функции. Тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции.
35. Определение. Основными элементарными функциями являются: 1) степенная функция: у = хn, где n — действительное число,
36. 2) показательная функция: у = ах, где а>0, a≠ 1; Х = R;
38. 3) логарифмическая функция: у = loga x, где основание логарифма а > 0, а ≠ 1,
39. 4) тригонометрические функции: у = sin х, у = cos x, у = tg x и
41. 5) обратные тригонометрические функции: у = arcsin х, у = arcos х, у = arctg х
42. Пример. Пусть задана функция f(x) = , определенная при всех значениях х, кроме х = 1.
43. Исследуем поведение функции при значениях х, мало отличающихся от 1. Для этого составим таблицу значений функции
44. Чем ближе х приближается к 1, тем ближе значения f(x) к 2. В подобных случаях говорят,
45. Определение. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, может быть, самой точки x0.
46. В приводимых ниже теоремах будем считать, что функции f(x) и g(x) имеют общую область определения, содержащую
47. Теорема 1 (о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела. Следствие. Если две
48. Теорема 2. Если функции f(x) и g(x) имеют пределы в точке x0, то: 1) предел алгебраической
49. 2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.
50. Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если
51. Следствие 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е. Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак
52. Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
53. Для решения примеров используются следующие пределы: (первый классический предел) (второй классический предел) Специальные пределы
54. При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:
55. Рассмотрим функцию у = f(х), определенную в интервале [а, b]. Пусть х0 и х — два
56. Приращением Δу функции у = f(х), соответствующим приращению Δх аргумента х в точке х0, называется разность
57. Второе определение непрерывности функции: Функция называется непрерывной в данной точке, если в этой точке бесконечно малому
58. Определение. Функция f(x) называется непрерывной в интервале, если эта функция непрерывна в каждой точке этого интервала.
59. Непрерывность функции в точке x0 равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно слева и справа, то
60. Если в точке x0 не выполняется хотя бы одно условие, то в этой точке функция терпит
63. Скачать презентацию

Слайд 2

Кафедра биологической и медицинской физики — одна из первых кафедр Военно-медицинской

академии и старейшая кафедра физики в России (образована в 1795 г.).

Слайд 3

Здание Естественно-исторического института

Слайд 4

Первым профессором кафедры стал Василий Владимирович Петров (1761—1834) — знаменитый русский

ученый-естествоиспытатель, заложивший основы преподавания экспериментальной физики в России.

Слайд 5

1. Определение функции, числовых промежутков и окрестностей точек. Некоторые свойства функций

и их графиков.

Слайд 6

Пусть X, У — некоторые множества, элементами которых являются некоторые числа.

Если каждому числу х Є X по некоторому закону или правилу f ставится в соответствие число у Є У, то говорят, что на множестве X задана числовая функция f и записывают эту функциональную зависимость формулой
у = f(x).

Определение:

Слайд 7

Переменная х называется независимой переменной или аргументом, а переменная у называется

зависимой переменной (от х) или функцией.

Слайд 8

Множество X — область изменения аргумента — называется областью определения функции.

Множество У, содержащее все значения, которые принимает у, называется областью изменения функции.

Слайд 9

Множества X и Y часто являются конечными или бесконечными промежутками:

Слайд 10

а) конечные промежутки:
Открытый интервал (a,b): множество вещественных чисел, удовлетворяющих неравенствам a

< x < b или (a,b) ↔ (a < x < b), где знак эквивалентности;
Замкнутый интервал (или отрезок) [a,b]: [a,b] ↔ (a≤ x ≤ b);
Полуоткрытые интервалы (a,b] и [a,b): (a,b] ↔ (a< x ≤ b) или [a,b) ↔ (a≤ x < b).

Слайд 11

б) бесконечные промежутки:
(-∞, +∞) = R – множество всех вещественных чисел.

Аналогично, возможны промежутки (а,+∞), (-∞, а) и т.д.
Числа а и b называются левым и правым концами этих промежутков.

Слайд 12

Пусть x0 – любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью

точки х0 называется любой интервал (a,b), содержащий точку х0; интервал (х0 – ε, х0 + ε), где ε > 0, симметричный относительно х0, называется ε-окрестностью точки х0.

Слайд 13

1) Графический.
Правило, по которому можно находить у, зная х, может быть

задано графиком функции.
Графиком функции в декартовой прямоугольной системе координат называется множество всех точек, абсциссы которых являются значениями аргумента, а ординаты - соответствующими значениями функции.

Способы задания функции:

Слайд 14

Пример. Графиком функции у = х2 является парабола, ось симметрии которой

совпадает с положительной полуосью ординат, а вершина с началом координат.

Слайд 15

Функцию можно задавать также с помощью таблицы или формулы (аналитически).
2) Табличный

способ применяется на практике при обработке результатов наблюдений приближенных значений функции.
3) Аналитический способ задания функции является наиболее удобным для полного исследования функции при помощи методов математического анализа.

Слайд 16

Основные характеристики функции: монотонность, ограниченность, четность (нечетность), периодичность.

Слайд 17

Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) в интервале, если большему значению аргумента

из этого интервала соответствует большее (меньшее) значение функции.
График возрастающей на интервале (а,b) функции, если его рассматривать слева направо, поднимается вверх, а для убывающей функции — опускается вниз.

Слайд 18

Слайд 19

Определение. Интервал независимой переменной, в котором функция возрастает (убывает), называется интервалом

возрастания (убывания). Как интервал возрастания, так и интервал убывания называют интервалами монотонности функции, а функцию в этом интервале — монотонной функцией.

Слайд 20

Определение.
Функция называется четной, если при изменении знака допустимого аргумента значение

функции не изменяется.
Функция называется нечетной, если при изменении знака допустимого аргумента значение функции меняет знак на противоположный.

Слайд 21

Таким образом, если функция f(x) — четная, то для всех х

из ее области определения должно выполняться равенство f(-x)=f(x), как это происходит, например, при f(x) = x2, а если f(x) — нечетная, то f(-x) = -f(x) для любого х из области определения функции, как, например, в случае f(x)= x3.

Слайд 22

Четные или нечетные функции должны быть обязательно определены в области, симметричной

относительно начала координат.
При этом график четной функции симметричен относительно оси абсцисс, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Слайд 23

Не все функции являются четными либо нечетными; функции, не являющиеся ни

четными, ни нечетными, будем называть функциями общего вида.

Слайд 24

Определение.
Функция f(x) называется периодической, если существует такое положительное число а,

что f(x + a) = f(x) = f(x - а) для любого х из ООФ (точки х, х + а, х -а относятся к области определения функции).
При этом наименьшее положительное а с таким свойством (если таковое существует) называется периодом функции.

Слайд 25

Примером периодической функции служит определенная на всей оси функция
у =

cos x, период которой равен 2π.

Слайд 26

2. Сложная функция. Обратная функция.

Слайд 27

Определение. Сложной функцией называется функция, аргумент которой также является функцией, т.е.

F(x) = f(φ(x)).
Чтобы сосчитать значение в точке х сложной функции f(φ(x)), составленной из функций f и φ, следует сначала найти частное значение u= φ(х) внутренней функции φ, а затем подставить его в качестве аргумента во внешнюю функцию f.

Слайд 28

При этом область определения функции F(x) следует выбирать таким образом, чтобы

промежуточное множество U, с одной стороны, было областью значений функции φ(х), а с другой стороны, являлось областью определения функции f(u).

Слайд 29

Пример. Рассмотрим сложную функцию
у = lg(1- x2). Здесь у =

f(u) = lgu, в то время как u = φ(х) = 1- х2.
Областью определения функции у является интервал (-1,1), в котором как функция φ(x), так и функция f(u) имеют смысл.

Слайд 30

Рассмотрим функцию с областью определения X и областью значений Y. Предположим,

что каждому значению у ε Y соответствует одна определенная точка
х ε X, такая что у = f(x). Тогда существует функция φ, переводящая любое у ε Y
в х ε X, удовлетворяющее вышеуказанному свойству у = f(x).

Обратная функция

Слайд 31

Функции f и φ с вышеперечисленными свойствами называются взаимно-обратными, а функция

φ называется обратной по отношению к f. С учетом того что символ х соответствует, как правило, независимой переменной, обычно вместо записи х = φ(у) используют запись у = φ(х).

Слайд 32

Между графиками функций у = f(x) и
у = φ(х) имеется

простая связь: график обратной функции у = φ(х) симметричен графику данной функции у = f(x) относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Слайд 33

Слайд 34

3. Элементарные функции. Тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции.

Слайд 35

Определение. Основными элементарными функциями являются:
1) степенная функция: у = хn, где

n — действительное число, х > 0 (в некоторых случаях, в частности при натуральном n, степенная функция определена на всей оси);

Слайд 36

2) показательная функция: у = ах, где а>0, a≠ 1; Х

= R;

Слайд 37

Слайд 38

3) логарифмическая функция: у = loga x, где основание логарифма а

> 0, а ≠ 1,
и X = (0, +∞);

Слайд 39

4) тригонометрические функции:
у = sin х, у = cos x,

у = tg x и у = ctg x;

Слайд 40

Слайд 41

5) обратные тригонометрические функции: у = arcsin х, у = arcos

х, у = arctg х и
у = arcctg х.

Слайд 42

Пример. Пусть задана функция
f(x) = ,
определенная при всех значениях

х, кроме
х = 1.
(Отметим, что эта функция не эквивалентна функции f(x) = x +1, получаемой при сокращении правой части на х – 1, так как эти функции имеют разные области определения).

4. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Специальные пределы

Слайд 43

Исследуем поведение функции при значениях х, мало отличающихся от 1. Для

этого составим таблицу значений функции в интересующем нас интервале:

Слайд 44

Чем ближе х приближается к 1, тем ближе значения f(x) к

2.
В подобных случаях говорят, что число 2 является пределом функции f(x) при х, стремящемся к 1
(или более кратко: f(x) →2 при х → 1).

Слайд 45

Определение. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, кроме,

может быть, самой точки x0.
Число b называется пределом функции в точке x0 (или при х → x0), если для любого положительного ε, как бы мало оно не было, можно найти такое положительное δ, что для всех x ≠ x0, удовлетворяющих неравенству |x - x0| < δ, выполняется неравенство |f(x) - b | <ε.
Записывают так: lim f(x) = b.
x→x0

Слайд 46

В приводимых ниже теоремах будем считать, что функции f(x) и g(x)

имеют общую область определения, содержащую точку x0, и обладают пределами в этой точке.

Основные теоремы о пределах:

Слайд 47

Теорема 1 (о единственности предела функции). Функция не может иметь более

одного предела.
Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны в некоторой окрестности точки x0, за исключением, может быть, самой точки x0, то либо они имеют один и тот же предел при x → x0, либо обе не имеют предела в этой точке.

Слайд 48

Теорема 2. Если функции f(x) и g(x) имеют пределы в точке

x0, то:
1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.

Слайд 49

2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.

Слайд 50

Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному от деления предела

делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, т.е.

Слайд 51

Следствие 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е.
Следствие 2. Постоянный множитель

можно выносить за знак предела, т.е.

Слайд 52

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Слайд 53

Для решения примеров используются следующие пределы:
(первый классический предел)
(второй классический предел)
Специальные пределы

Слайд 54

При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:

Слайд 55

Рассмотрим функцию у = f(х), определенную в интервале [а, b].
Пусть

х0 и х — два произвольных значения из этого интервала. Обозначим х -х0 = Δх, откуда х = х0 + Δх.
Говорят, что для перехода от значения аргумента х0 к значению х первоначальному значению придано приращение Δх.

5. Непрерывность функций

Слайд 56

Приращением Δу функции у = f(х), соответствующим приращению Δх аргумента х

в точке х0,
называется разность Δy = f(x0 + Δx)-f(x0).
Определение. Функция f(х) непрерывна в
точке х = х0, если lim f(х) = f(х0).
x→x0

Слайд 57

Второе определение непрерывности функции:
Функция называется непрерывной в данной точке, если в

этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции,
т. е. lim Δу = 0.
Δx→0

Слайд 58

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в интервале, если эта функция непрерывна

в каждой точке этого интервала.
Для функции, непрерывной в интервале
(а, b), для каждого значения x0 интервала (а,b) выполнено равенство
lim Δу = 0.
Δx→0

Слайд 59

Непрерывность функции в точке x0 равносильна ее непрерывности в этой точке

одновременно слева и справа, то есть должны выполняться следующие четыре условия непрерывности:
1. f(x) должна быть определена в некоторой окрестности точки x0.
2. Должны существовать конечные пределы слева и справа:
lim f(x) и lim f(x)
x→x0-0 x→x0+0
3. Эти пределы слева и справа должны быть равны:
lim f(x) = lim f(x) = А
x→x0-0 x→x0+0
4. Эти пределы должны быть равны значению функции в точке x0, т. е. А = f(x0).

Слайд 60

Если в точке x0 не выполняется хотя бы одно условие, то

в этой точке функция терпит разрыв, а сама эта точка называется точкой разрыва.
В качестве конкретного примера функции, имеющей точку разрыва, рассмотрим изменение биомассы микроорганизмов, чувствительных к температурным колебаниям.

Слайд 61