Комплексные числа

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Комплексные числа

Содержание

2. Комплексным числом называется выражение вида а + bi, в котором а и b – действительные числа,
3. Два комплексных числа (a; b) и (c; d) называются равными, если а = с и b
4. Арифметические операции над комплексными числами Суммой комплексных чисел z = (a; b) и w = (c;
5. Справедливо следующее правило: (a; b) – (c; d) = (a – c; b – d). Произведением
6. Пример 1 Вычислить: Пример 1 Вычислить:
7. Геометрический смысл комплексного числа Каждой точке М плоскости с координатами (a,b) соответствует один и только один
8. Если комплексное число Z= a+bi трактовать как точку M (a,b) плоскости xOy, то модуль Z равен
9. Тригонометрическая форма комплексного числа Тригонометрической формой комплексного числа называют его запись в виде: z = r(cosφ
10. Пример2. Записать в тригонометрической форме: Сначала находим модуль числа: Далее, согласно формулам (*), имеем: Учитывая, что
11. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме При умножении/делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме,
12. Пример3. Выполнить действия: Используя формулу (1), находим:
13. При возведении комплексного числа z = r (Cosφ + iSinφ) в натуральную степень n модуль данного
14. Пример4. Решить уравнение Корнями данного уравнения являются все значения Для числа - 4 имеем r =
16. Скачать презентацию

Слайд 2

Комплексным числом называется выражение вида а + bi, в котором а

и b – действительные числа, а i – некоторый символ такой, что
Действительное число a называется действительной частью z=a+bi (Re z), а число b-мнимой частью (Im z)
Комплексное число z=a+bi изображают точкой плоскости с координатами (a;b)
Точка М(a;b), соответствующая комплексному числу z=a+bi, называется аффиксом данного числа z.

Слайд 3

Два комплексных числа (a; b) и (c; d) называются равными, если

а = с и b = d.
Комплексное число a-bi называется комплексно сопряженным с числом a+bi и обозначается через
= a-bi
Комплексные числа вида a+bi и –a-bi называются противоположными.

Слайд 4

Арифметические операции над комплексными числами
Суммой комплексных чисел z = (a; b)

и
w = (c; d) называется комплексное число
(a+c; b+d).
Разностью комплексных чисел z = (a; b) и w = (c; d) называют такое число и, которое в сумме с числом w даёт число z
z = w + и.

Слайд 5

Справедливо следующее правило: (a; b) – (c; d) = (a –

c; b – d).

Произведением комплексных чисел z = (a; b) и
w = (c; d) называют комплексное число
(ac – bd; ad + bc)
Частным от деления z на w называют число u, равное:

Слайд 6

Пример 1
Вычислить:
Пример 1
Вычислить:

Слайд 7

Геометрический смысл комплексного числа
Каждой точке М плоскости с координатами (a,b) соответствует

один и только один вектор
с началом в точке z = 0 и концом в точке z=a+bi

M(a;b)

Слайд 8

Если комплексное число Z= a+bi трактовать как точку M (a,b) плоскости

xOy, то модуль Z равен расстоянию точки M (a,b) от начала координат
Если на плоскости ввести полярные координаты (r,φ), где φ аргумент числа z (φ=argz) - угол между действительной осью ОХ и вектором ОМ, то а = r COS φ, b = r SIN φ
В силу этого комплексное число Z можно записать в форме z = r(COS φ+iSIN φ),
где r – модуль числа Z, φ – угол (в рад.), который составляет вектор OM с положительным направлением оси ox

Слайд 9

Тригонометрическая форма комплексного числа
Тригонометрической формой комплексного числа называют его запись в

виде:
z = r(cosφ + isinφ), где - модуль, а
φ – аргумент числа z, связанный с а и b формулами:

Угол φ из промежутка называется главным аргументом. Все остальные значения угла φ могут быть получены прибавлением к главному аргументу значений 2 n, где n – любое целое число.

Слайд 10

Пример2.
Записать в тригонометрической форме:
Сначала находим модуль числа:
Далее, согласно

формулам (*),
имеем:
Учитывая, что угол

Итак,

Слайд 11

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме
При умножении/делении комплексных чисел,

заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются /делятся, а аргументы складываются (вычитаются).

(1)
(2)

Слайд 12

Пример3. Выполнить действия:
Используя формулу (1), находим:

Слайд 13

При возведении комплексного числа
z = r (Cosφ + iSinφ) в

натуральную степень n
модуль данного числа возводится в эту степень,
а аргумент умножается на показатель степени:
формула Муавра

Слайд 14

Пример4. Решить уравнение
Корнями данного уравнения являются все значения Для числа

- 4 имеем r = 4,
Согласно формуле(3),
находим:
Если к = 0, то
Если к = 1, то

Комплексные числа

Содержание

Комплексным числом называется выражение вида а + bi, в котором а

Два комплексных числа (a; b) и (c; d) называются равными, если

Арифметические операции над комплексными числами Суммой комплексных чисел z = (a; b)

Справедливо следующее правило: (a; b) – (c; d) = (a –

Пример 1 Вычислить:Пример 1 Вычислить:

Геометрический смысл комплексного числаКаждой точке М плоскости с координатами (a,b) соответствует

Если комплексное число Z= a+bi трактовать как точку M (a,b) плоскости

Тригонометрическая форма комплексного числаТригонометрической формой комплексного числа называют его запись в

Пример2. Записать в тригонометрической форме: Сначала находим модуль числа: Далее, согласно

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме При умножении/делении комплексных чисел,

Пример3. Выполнить действия: Используя формулу (1), находим:

При возведении комплексного числа z = r (Cosφ + iSinφ) в

Пример4. Решить уравнение Корнями данного уравнения являются все значения Для числа

Похожие презентации