Метод сеток для решения ДУ в частных производных

09/02/2023

Задача о нагреве стержня, по которому пропускается ток

0

b

z

T

0

b

T=0

T=1c

T=2c

T=3c

T=4c

Как получить такое распределение

09/02/2023

Одномерное нестационарное уравнение теплопроводности

Область интегрирования
Сетка
Таблица искомого решения

b

T

09/02/2023

Получение конечноразностной схемы

09/02/2023

Явная схема

Погрешность и Условие устойчивости:

09/02/2023

Реализация явной схемы

u(i)=u0; x(i)=(i-1)*h; gi(i)=G(x(i)+h/2); 1≤i≤N+1
th2= tau/h^2;
t=0;
Plot(x,u);
for k=1:K
for i=2:N
u1(i)=u(i)+th2*(gi(i-1)*u(i-1)-(gi(i-1)+gi(i))*u(i)+
gi(i)*u(i))+tau*f(i);
end
u1(1)=be0;
u1(N1)=be1;
Plot(x,u1);
u=u1;
t=t+tau;
end;
…

09/02/2023

Неявная схема

09/02/2023

Метод прогонки

Прямой ход:

Обратный ход:

09/02/2023

Реализация метода прогонки

u(i)=u0; x(i)=(i-1)*h; gi(i)=G(x(i)+h/2); 1≤i≤N+1
for k=1:K
c(1)=…; b(1)=…; d(1)-…;
for i=2:N
a(i)=
b(i)=
c(i)=
d(i)= …
end
ks(1)=-c(1)/b(1);

09/02/2023

Неявная схема второго порядка Кранка-Николсона

09/02/2023

Неявная схема второго порядка Кранка-Николсона

09/02/2023

Пример решения

09/02/2023

Задача Дирихле для двумерного уравнения Пуассона

09/02/2023

Выбор сетки

09/02/2023

Конечно-разностная схема

Граничные значения:

09/02/2023

Метод простой итерации с релаксацией

Параметр релаксации

09/02/2023

Реализация метода простой итерации с релаксацией
For k=1:Kit
for i=2:N
for j=2:M
a=… b=… c=…

09/02/2023

Метод Зейделя

For k=1:Kit
d=0;
for i=2:N
for j=2:M
a=… b=… c=… d=… e=…
up= a*u(i-1,j)+b*u(i+1,j)+c*u(i,j-1)+d*u(i,j+1)+e;
If

09/02/2023

Метод продольно-поперечной прогонки

Преобразуем

09/02/2023

Метод продольно-поперечной прогонки (продолжение)

09/02/2023

Метод продольно-поперечной прогонки (продолжение)

Для решаем систему

Для решаем систему

09/02/2023

Программная реализация

for k=1:Kit
ks(1)=…; et(1)=…;
for j=2:M1 for i=2:N1
a=…b=…c=…d=…;
z=b+a*ks(i-1);
ks(i)=-c/z; et(i)=(d-a*et(i-1))/z;
end;
u(N1,j)=et(N1);
For i=N:-1:1
u(i,j)=ks(i)*u1(i+1,j)+et(i);
End; end;