Проекционные методы решения краевых задач

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Проекционные методы решения краевых задач

Содержание

2. 09/02/2023 Теоретические основы проекционных методов Основная задача классического вариационного исчисления: Найти такую u=u(x) a≤x≤b u(a)=u0 u(b)=u1
3. 09/02/2023 Например u(x) – путь пройденный автомобилем за время 0≤x≤T - скорость Затраты пропорциональны квадрату скорости
4. 09/02/2023 Сведение решения ДУ к минимизации функционала Таким образом задача нахождения минимума функционала сводится к решению
5. 09/02/2023 Функционал, минимум которого достигается на решении ДУ, имеет вид Самым универсальным и во многих случаях
6. 09/02/2023 Метод Ритца Выбираем базис Свойства линейной независимости и полноты Ищем решение в виде Подставляем в
7. 09/02/2023 Примеры базисных функций обладающих полнотой Полиномы Тригонометрические функции От удачного выбора базиса зависит эффективность решения
8. 09/02/2023 Минимизация квадратичного функционала с линейным оператором L После подстановки uN(x) Воспользуемся условием экстремума Получаем СЛАУ
9. 09/02/2023 Системы проекционных уравнений Запишем Или Проекция Можно заметить, что эта система получается из исходной краевой
10. 09/02/2023 Проекционные методы Впервые идею такого решения ДУ (не обращаясь к вариационной задаче) предложил в 1915
11. 09/02/2023 Решение одномерной краевой задачи Найти решение Ищем решение в виде Проекционное уравнение преобразуем
12. 09/02/2023 Решение одномерной краевой задачи (продолжение1) Подставляем uN Преобразуем и получаем систему основных проекционных уравнений В
13. 09/02/2023 Задача Дирихле Выбираем систему базисных функций вида: В силу того, что Получаем проекционное уравнение вида
14. 09/02/2023 Программная реализация задачи Дирихле function V2_1; Be0=1; be1=0; N=4; M=10; for i=1:N F1 = @(x)f(x).*sin(i*pi*x)-g(x).*(be1-be0).i*pi*cos(i*pi*x);
15. 09/02/2023 Задача со свободным левым концом Выбираем базис вида Первый член проекционного уравнения используя гр. условие:
16. 09/02/2023 Задача со свободным левым концом (продолжение) Проекционное ур-е После подстановки функций базиса:
17. 09/02/2023 Программная реализация задачи со свободным левым концом function V2_2(al0,be0,be1,N,M); for i=1:N F1 = @(x)f(x).*sin(0.5*i*pi*(1-x))- g(x).*be1.*0.5*i*pi*cos(0.5*i*pi*(1-x));
18. 09/02/2023 Задача со свободным правым концом Выбираем базис вида Первый член проекционного ур-я Проекционное уравнение
19. 09/02/2023 Задача со свободным правым концом (продолжение) Проекционное уравнение После подстановки функций базиса
20. 09/02/2023 Программная реализация задачи со свободным правым концом function V2_3(al1,be0,be1,N,M); for i=1:N F1 = @(x)f(x).*sin(0.5*i*pi*x)- g(x).*be0.*0.5*i*pi*cos(0.5*i*pi*x);
21. 09/02/2023 Двумерная краевая задача Дирихле Выбираем базис Решение ищем в виде Проекционное уравнение
22. 09/02/2023 Двумерная краевая задача Дирихле (продолжение) Воспользуемся методом интегрирования по частям для двумерного случая Получаем проекционное
23. 09/02/2023 Сведение трехмерной задачи для ДУ в частных производных к решению задачи для системы ОДУ методом
24. 09/02/2023 Метод Канторовича (продолжение)
26. Скачать презентацию

Слайд 2

09/02/2023
Теоретические основы проекционных методов
Основная задача классического вариационного исчисления:
Найти такую u=u(x)

a≤x≤b u(a)=u0 u(b)=u1
На которой достигается
минимум функционала
Центральная теорема: минимум доставляет решение дифференциального уравнения Эйлера

Слайд 3

09/02/2023
Например
u(x) – путь пройденный автомобилем за время 0≤x≤T
- скорость
Затраты пропорциональны

квадрату скорости
При каком законе движения обеспечивается минимум затрат на пути 0≤ u(х) ≤ s ?
Уравнение Эйлера
Оптимальный закон (линейный!)

Слайд 4

09/02/2023
Сведение решения ДУ к минимизации функционала
Таким образом задача нахождения минимума функционала

сводится к решению ДУ.
Справедливо и обратное – решение ДУ можно свести к нахождению минимума функционала.
Запишем краевую задачу для ДУ в общем виде:
Область определения функции u: R(u)=Ω; Г – граница Ω.

Слайд 5

09/02/2023
Функционал, минимум которого достигается на решении ДУ, имеет вид
Самым универсальным и

во многих случаях единственным способом нахождения минимума функционала общего вида является метод Ритца (W. Ritz), впервые им предложенный в 1908 г.

Слайд 6

09/02/2023
Метод Ритца
Выбираем базис
Свойства линейной независимости и полноты
Ищем решение в виде
Подставляем в

функционал
получаем задачу минимизации функции n переменных

Слайд 7

09/02/2023
Примеры базисных функций обладающих полнотой
Полиномы
Тригонометрические функции
От удачного выбора базиса зависит эффективность

решения задачи

Слайд 8

09/02/2023
Минимизация квадратичного функционала с линейным оператором L
После подстановки uN(x)
Воспользуемся условием экстремума
Получаем

СЛАУ

Слайд 9

09/02/2023
Системы проекционных уравнений
Запишем
Или
Проекция
Можно заметить, что эта система получается из исходной

краевой задачи простой подстановкой uN вместо u и последующим умножением скалярно (проектированием) на каждую функцию базиса
В общем случае
Два базиса
Если проекции F(x) на все функции базиса равны 0 то F(x)≡0

Слайд 10

09/02/2023
Проекционные методы
Впервые идею такого решения ДУ (не обращаясь к вариационной задаче)

предложил в 1915 г.
Б.Г. Галеркин
В зависимости от выбора в функций ϕ и оператора K эти методы имеют свои названия
метод Бубнова-Галеркина: K=I , ψ=ϕ оператор L может не быть симметричным и положительно определенным
метод Галеркина-Петрова: K=I , ψ≠ϕ
метод наименьших квадратов: K=L , ψ=ϕ

Слайд 11

09/02/2023
Решение одномерной краевой задачи
Найти решение
Ищем решение в виде
Проекционное уравнение
преобразуем

Слайд 12

09/02/2023
Решение одномерной краевой задачи (продолжение1)
Подставляем uN
Преобразуем и получаем
систему основных проекционных

уравнений
В зависимости от постановки граничных условий выбираем соответствующую систему базисных функций

Слайд 13

09/02/2023
Задача Дирихле
Выбираем систему базисных функций вида:
В силу того, что
Получаем проекционное

уравнение вида
Или для выбранных функций

Слайд 14

09/02/2023
Программная реализация задачи Дирихле
function V2_1;
Be0=1; be1=0; N=4; M=10;
for i=1:N
F1 = @(x)f(x).sin(ipix)-g(x).(be1-be0).ipicos(ipix);
d(i)

= quad(F1,0,1);
for k=1:N
F2 = @(x)g(x).*cos(i*pi*x).*cos(k*pi*x)*i*k*pi^2;
G(i,k)=quad(F2,0,1);
end; end
a=d/G;
a
for i=1:M+1 %выдача графика
xt(i)=(i-1)/M;
y(i)=be0+(be1-be0)*xt(i);
for k=1:N
y(i)=y(i)+a(k)*sin(k*pi*xt(i));
end; end;
plot(xt,y);
return

Слайд 15

09/02/2023
Задача со свободным левым концом
Выбираем базис вида
Первый член проекционного уравнения

используя гр. условие:
Проекционное уравнение

Слайд 16

09/02/2023
Задача со свободным левым концом (продолжение)
Проекционное ур-е
После подстановки функций базиса:

Слайд 17

09/02/2023
Программная реализация задачи со свободным левым концом
function V2_2(al0,be0,be1,N,M);
for i=1:N
F1 =

@(x)f(x).*sin(0.5*i*pi*(1-x))-
g(x).*be1.*0.5*i*pi*cos(0.5*i*pi*(1-x));
d(i) = quad(F1,0,1)+g(0)*be0*sin(0.5*i*pi);
for k=1:N
F2 = @(x)g(x).*cos(0.5*i*pi*(1-x)).*cos(0.5*k*pi*(1-x))
*i*k*pi^2*0.25;
G(i,k)=al0*g(0)*sin(0.5*k*pi)*sin(0.5*i*pi)-quad(F2,0,1);
end; end
a=d/G;
a
for i=1:M+1
xt(i)=(i-1)/M;
y(i)=be1*xt(i);
for k=1:N
y(i)=y(i)+a(k)*sin(0.5*k*pi*(1-xt(i)));
end; end;
plot(xt,y,'b');
return

Слайд 18

09/02/2023
Задача со свободным правым концом
Выбираем базис вида
Первый член проекционного ур-я
Проекционное уравнение

Слайд 19

09/02/2023
Задача со свободным правым концом (продолжение)
Проекционное уравнение
После подстановки функций базиса

Слайд 20

09/02/2023
Программная реализация задачи со свободным правым концом
function V2_3(al1,be0,be1,N,M);
for i=1:N
F1 = @(x)f(x).sin(0.5ipix)-

g(x).*be0.*0.5*i*pi*cos(0.5*i*pi*x);
d(i) = quad(F1,0,1)-g(1).*be1*sin(0.5*i*pi);
for k=1:N
F2 = @(x)g(x).*cos(0.5*i*pi*x).*cos(0.5*k*pi*x)*i*k*pi^2*0.25;
G(i,k)=-al1*g(1).*sin(0.5*k*pi)*sin(0.5*i*pi)-quad(F2,0,1);
end; end
a=d/G;
a
for i=1:M+1
xt(i) =(i-1)/M;
y(i)=be0*(1- xt(i) );
for k=1:N
y(i)=y(i)+a(k)*sin(0.5*k*pi*xt(i));
end; end;
plot(xt,y,'b');
return

Слайд 21

09/02/2023
Двумерная краевая задача Дирихле
Выбираем базис
Решение ищем в виде
Проекционное уравнение

Слайд 22

09/02/2023
Двумерная краевая задача Дирихле (продолжение)
Воспользуемся методом интегрирования по частям для двумерного

случая
Получаем проекционное уравнение без вторых производных

Слайд 23

09/02/2023
Сведение трехмерной задачи для ДУ в частных производных к решению задачи

для системы ОДУ методом Канторовича

Задана краевая задача в цилиндрической области вида
Г - граница области поперечного сечения
Решение ищем в виде разложения по базису
Стандартное проекционное уравнение после интегрирования представляет систему ОДУ относительно ak

Слайд 24

Проекционные методы решения краевых задач

Содержание

09/02/2023Теоретические основы проекционных методовОсновная задача классического вариационного исчисления: Найти такую u=u(x)

09/02/2023Напримерu(x) – путь пройденный автомобилем за время 0≤x≤T - скоростьЗатраты пропорциональны

09/02/2023Сведение решения ДУ к минимизации функционалаТаким образом задача нахождения минимума функционала

09/02/2023Функционал, минимум которого достигается на решении ДУ, имеет видСамым универсальным и

09/02/2023Метод РитцаВыбираем базисСвойства линейной независимости и полнотыИщем решение в видеПодставляем в

09/02/2023Примеры базисных функций обладающих полнотойПолиномыТригонометрические функцииОт удачного выбора базиса зависит эффективность

09/02/2023Минимизация квадратичного функционала с линейным оператором L После подстановки uN(x)Воспользуемся условием экстремумаПолучаем

09/02/2023Системы проекционных уравненийЗапишемИлиПроекция Можно заметить, что эта система получается из исходной

09/02/2023Проекционные методыВпервые идею такого решения ДУ (не обращаясь к вариационной задаче)

09/02/2023Решение одномерной краевой задачиНайти решениеИщем решение в видеПроекционное уравнениепреобразуем

09/02/2023Решение одномерной краевой задачи (продолжение1)Подставляем uNПреобразуем и получаем систему основных проекционных

09/02/2023Задача Дирихле Выбираем систему базисных функций вида:В силу того, чтоПолучаем проекционное

09/02/2023Программная реализация задачи Дирихлеfunction V2_1;Be0=1; be1=0; N=4; M=10;for i=1:NF1 = @(x)f(x).*sin(i*pi*x)-g(x).*(be1-be0).i*pi*cos(i*pi*x);d(i)

09/02/2023Задача со свободным левым концом Выбираем базис видаПервый член проекционного уравнения

09/02/2023Задача со свободным левым концом (продолжение)Проекционное ур-еПосле подстановки функций базиса:

09/02/2023Программная реализация задачи со свободным левым концом function V2_2(al0,be0,be1,N,M);for i=1:NF1 =

09/02/2023Задача со свободным правым концомВыбираем базис видаПервый член проекционного ур-яПроекционное уравнение

09/02/2023Задача со свободным правым концом (продолжение)Проекционное уравнениеПосле подстановки функций базиса

09/02/2023Программная реализация задачи со свободным правым концомfunction V2_3(al1,be0,be1,N,M);for i=1:NF1 = @(x)f(x).*sin(0.5*i*pi*x)-

09/02/2023Двумерная краевая задача Дирихле Выбираем базисРешение ищем в видеПроекционное уравнение

09/02/2023Двумерная краевая задача Дирихле (продолжение)Воспользуемся методом интегрирования по частям для двумерного

09/02/2023Сведение трехмерной задачи для ДУ в частных производных к решению задачи

09/02/2023Метод Канторовича (продолжение)

Похожие презентации