Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме.

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме.

Содержание

2. Решение задачи методом конечных элементов. В случае, когда рассматриваемые элементы имеют достаточно малые размеры, температурный градиент
3. Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме. Сравнивая (29),(30) и (31), находим выражение для
4. Необходимо отметить, что при выводе соотношения (33) и (34) использовалось условие ортогональности потоков тепла и границ
5. Система уравнений (28) может быть представлена в матричной форме: [B]{T} = { Qv }+{Q L} где
6. В соответствии с переходом от (28) к (37) элементы матрицы [B] определяются следующим образом. Элементы, лежащие
7. Основные этапы проведения расчетов на ЭВМ. Во вводной части программы задается зависимость коэффициента теплопроводности от температуры,
8. Подпрограмма "SHOSOL " по известному вектору правой части уравнения (37) определяет вектор температуры. После получения поля
9. Пример расчета температурного поля. На рис.3.10. показана зависимость максимального радиального перепада температуры в образце из диоксида
11. Скачать презентацию

Слайд 2

Решение задачи методом конечных элементов.
В случае, когда рассматриваемые элементы имеют

достаточно малые размеры, температурный градиент в радиальном направлении можно линейным образом аппроксимировать разностью температур элементов T(i) и Т(j):
Q = [T(i)-T(j)] Lij / [(∆ri/2λi)+ (∆rj/2λj)] (31)
где
Lij - протяженность границы между i-ым и j-ым элементами;
∆ri, ∆rj - линейные размеры
i-ым и j-ым элементов;
λi , λj - коэффициенты теплопроводности i-ым и j-ым элементов.

Слайд 3

Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме.
Сравнивая (29),(30) и

(31), находим выражение для γ( i,j) в радиальном направлении:
γr(i,j)=Lij[(∆ri/2λi)+(∆rj/2λj)]-1 (32)
Аналогичным образом получим выражения для теплового потока в аксиальном направлении:
Q = [T(i)-T(j)] Lij / [(∆zi/2λi)+ (∆zj/2λj)] (33)
и соответственно для γz( i,j) в аксиальном направлении:
γz( i,j) = Lij [(∆zi/2λi)+ (∆zj/2λj)]-1 (34)
где ∆zi и ∆zj высоты i-ого и j-ого элементов.

Слайд 4

Необходимо отметить, что при выводе соотношения (33) и (34) использовалось условие

ортогональности потоков тепла и границ между элементами. Данное условие выполняется для рассматриваемой задачи вследствие симметрии при принятом разбиении на элементы.
Для элементов на боковой поверхности при граничном условии третьего рода имеем:
γr( i,с) = Liс [(∆ri/2λi)+ (1/αс)]-1 (35)
a при граничном условии первого рода:
γr( i,с) = Liс 2λi / ∆ri (36)
где αс - коэффициент теплоотдачи; Lic - протяженность границы элемента cо средой.

Методика представления системы уравнений тепловых балансов в матричной форме.

Слайд 5

Система уравнений (28) может быть представлена в матричной форме:
[B]{T} = {

Qv }+{Q L}
где
[В] - пятидиагональная симметричная матрица, определяющая взаимодействие элементов между собой;
{T} - вектор температуры элементов;
{Qv} - вектор источников тепла;
{Q L} - вектор потоков тепла c границ цилиндрического образца.
Матрица [В] является квадратной пятидиагональной матрицей размера (М*N ). Структура ее представлена на рис.3.8 где сплошными линиями показаны ненулевые элементы.

Матричная форма системы уравнений тепловых балансов.

Слайд 6

В соответствии с переходом от (28) к (37) элементы матрицы

[B] определяются следующим образом.
Элементы, лежащие на неглавных диагоналях, определяются согласно (32) и (34).
Элементы лежащие на главной диагонали, определяются как сумма элементов неглавных диагоналей, взятых с обратным знаком и лежащих на одной cтроке, минус член, определяющий тепловое
взаимодействие c внешней средой, в случае, когда элемент лежит на внешней поверхности.
Для определения вектора температуры элементов получим решение в виде:
{T} = ({ Qv }+{Q L}) [B]-1

Матричная форма системы уравнений тепловых балансов.

Слайд 7

Основные этапы проведения расчетов на ЭВМ.
Во вводной части программы

задается зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, начальное приближение для λ , рассчитываются матрица [В], {Qv } и {QL} .
Далее для реализации треугольного разложения cимметричной матрицы [В] применяется подпрограмма " CHODET ".

Слайд 8

Подпрограмма "SHOSOL " по известному вектору правой части уравнения (37)

определяет вектор температуры.
После получения поля температуры происходит его дальнейшее уточнение итерациями с учетом зависимости коэффициента теплопроводности образца от температуры.
Укрупненная блок- схема программы определения вектора температуры для цилиндрических образцов представлена на рис.3.9.

Основные этапы проведения расчетов на ЭВМ.

Слайд 9

Пример расчета температурного поля.
На рис.3.10.
показана зависимость максимального радиального

перепада температуры в образце из диоксида урана от плотности внутренних источников тепла при различных значениях температур окружающей среды и торцов.