Содержание
- 2. Лекция 25 УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ. УДАР
- 3. 25.1 Понятие об устойчивости Даже если предприняты все меры, чтобы сила действовала строго вдоль оси стержня,
- 4. 25.1 Понятие об устойчивости Новая, криволинейная форма равновесия теоретически устойчива при нагрузке, превышающей критическую (рис. в).
- 5. 25.2 Задача Эйлера Определим значение критической силы стержня с шарнирно закрепленными концами. При расчетах считаем перемещения
- 6. 25.2 Задача Эйлера (4) Уравнение (2) приводим к каноническому виду Его решение известно: (5) Постоянные интегрирования
- 7. 25.2 Задача Эйлера (7) Во втором случае синус обращается в ноль, если kl = πn, где
- 8. 25.2 Задача Эйлера Таким образом, у сжатого стержня существуют более высокие формы равновесия (n = 2,
- 9. 25.3 Зависимость критической силы от условий закрепления стержня Соответствующие значения критической силы объединяет формула (8)
- 10. 25.4 Потеря устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности ПРИМЕНИМОСТЬ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА Критическими напряжениями назовем напряжения, возникающие
- 11. 25.4 Потеря устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности
- 12. 25.4 Потеря устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности Формула Эйлера справедлива только при постоянном модуле Юнга
- 13. 25.4 Потеря устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности ФОРМУЛА ЯСИНСКОГО Практика показывает, что критические силы и
- 14. 25.5 Практический метод расчета стержней на устойчивость Несущая способность сжатого стержня может быть исчерпана по двум
- 15. 25.5 Практический метод расчета стержней на устойчивость Несущая способность сжатого стержня может быть исчерпана по двум
- 16. 25.5 Практический метод расчета стержней на устойчивость Условие устойчивости позволяет производить три вида расчета на устойчивость,
- 17. 25.5 Практический метод расчета стержней на устойчивость 2. Проектировочный расчет. При определении размеров поперечного сечения сжатого
- 18. 25.6 Удар Гипотезы технической теории удара В механике материалов изучается техническая (приближенная) теория удара. Рассмотрим неподвижно
- 19. 25.7 Поперечный удар без учета массы системы (18) 3. Эпюра перемещений точек системы при ударе подобна
- 20. 25.7 Поперечный удар без учета массы системы Если груз P прикладывается статически, то балка прогибается на
- 21. 25.8 Удар по массивной системе (24) (25)
- 23. Скачать презентацию
Лекция 25
УСТОЙЧИВОСТЬ
СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ.
УДАР
Лекция 25
УСТОЙЧИВОСТЬ
СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ.
УДАР
25.1 Понятие об устойчивости
Даже если предприняты все меры, чтобы сила действовала
25.1 Понятие об устойчивости
Даже если предприняты все меры, чтобы сила действовала
Изгиб, который вызван продольной нагрузкой, называется продольным.
Устойчивость положения системы определяется ее реакцией на малые возмущения (приращения нагрузки). Положение равновесия системы устойчиво, если любые малые возмущения вызывают малые отклонения системы от этого ее положения.
В противном случае указанная форма равновесия является неустойчивой.
Переход системы из устойчивого состояния в неустойчивое называют потерей устойчивости, а границу этого перехода – критическим состоянием системы. Все параметры при этом называются критическими.
25.1 Понятие об устойчивости
Новая, криволинейная форма равновесия теоретически устойчива при нагрузке,
25.1 Понятие об устойчивости
Новая, криволинейная форма равновесия теоретически устойчива при нагрузке,
Следовательно, критическое состояние необходимо рассматривать как предельное состояние.
Критической силой Fcr называется наибольшее значение продольной сжимающей силы F, до которого сохраняется устойчивость первоначальной формы равновесия (или наименьшее значение продольной сжимающей силы, при которой происходит потеря устойчивости).
Для упругих стержней критическая сила от характера возмущения не зависит. Если стержень пластический, то может иметь место зависимость критической силы от характера возмущения.
Первые систематические исследования по устойчивости равновесия гибких стержней при сжатии проводил П. Мусшенброк из Лейдена (Голландия) (1729). Первые теоретические работы принадлежат Л. Эйлеру. (1744 по 1780 гг.).
25.2 Задача Эйлера
Определим значение критической силы стержня с шарнирно закрепленными концами.
25.2 Задача Эйлера
Определим значение критической силы стержня с шарнирно закрепленными концами.
При малых прогибах справедливо дифференциальное уравнение упругой линии балки
(1)
Продольный изгиб стержня происходит в плоскости минимальной жесткости, и поэтому под величиной J в дальнейшем понимается минимальный момент инерции сечения.
Изгибающий момент M по абсолютной величине равен Fy.
В результате из (3) получаем дифференциальное уравнение равновесия стержня при продольном изгибе
(2)
Обозначим
(3)
25.2 Задача Эйлера
(4)
Уравнение (2) приводим к каноническому виду
Его решение известно:
(5)
Постоянные
25.2 Задача Эйлера
(4)
Уравнение (2) приводим к каноническому виду
Его решение известно:
(5)
Постоянные
y = 0 при z = 0; y = 0 при z = l.
Подставив первое из этих условий в решение (7), получим
Из второго условия следует
(6)
Это уравнение имеет два решения:
C1 = 0; sin kl = 0.
В первом случае C1 = C2 = 0, и из уравнения (5) следует, что прогиб y тождественно обращается в нуль. Следовательно, стержень имеет прямолинейную форму, т. е. отсутствует явление потери устойчивости, которое мы хотели бы исследовать.
25.2 Задача Эйлера
(7)
Во втором случае синус обращается в ноль, если
kl =
25.2 Задача Эйлера
(7)
Во втором случае синус обращается в ноль, если
kl =
где n – произвольное целое число.
Подставив сюда выражение для k (3), получаем значения силы F, при которых возможна потеря устойчивости:
Наименьшее значение осевой сжимающей силы, при которой стержень теряет способность сохранять первоначальную прямолинейную форму равновесия, называется критической силой. Ее значение достигается при n = 1:
Формула подобного вида впервые выведена Л. Эйлером и носит его имя. В этом случае kl = π, и уравнение упругой линии (7) принимает вид
Следовательно, стержень изгибается по полуволне синусоиды с максимальным прогибом C1.
При другом целочисленном значении n получаем прогиб
и упругая линия стержня изображается кривой в виде n полуволн.
25.2 Задача Эйлера
Таким образом, у сжатого стержня существуют
более высокие формы
25.2 Задача Эйлера
Таким образом, у сжатого стержня существуют более высокие формы
Замечание 1. Константа C1 в выражении для упругой линии осталась неопределенной, т. е. прогиб получен с точностью до постоянного множителя.
Замечание 2. Формально увеличение силы сверх критического значения приводит к тривиальному решению. Действительно, в этом случае kl ≠ π, и из уравнения (6) вытекает, что C1 =
= C2 = 0, поскольку sin kl ≠ 0. Это означает, что прогиб согласно выражению (5) равен нулю, и стержень остается прямым. Получается,
что при F = Fcr стержень теряет устойчивость и принимает криволинейную форму, а при значении F, несколько большем Fcr, снова становится прямым. Подобное не вяжется с представлениями о механике изгиба стержня. Возникающий парадокс является следствием использования приближенного линеаризованного уравнения упругой линии балки (1). Для получения более достоверных результатов нужно применять точное дифференциальное уравнение упругих гибких стержней.
25.3 Зависимость критической силы
от условий закрепления стержня
Соответствующие значения критической
25.3 Зависимость критической силы
от условий закрепления стержня
Соответствующие значения критической
(8)
25.4 Потеря устойчивости при напряжениях,
превышающих предел пропорциональности
ПРИМЕНИМОСТЬ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА
Критическими
25.4 Потеря устойчивости при напряжениях,
превышающих предел пропорциональности
ПРИМЕНИМОСТЬ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА
Критическими
(9)
(7) → (9)
(10)
λ – гибкость стержня – безразмерная геометрическая характеристика, определяемая способом закрепления его концов, длиной, а также формой и размерами поперечного сечения:
(11)
i – минимальный радиус инерции поперечного сечения.
Функциональная зависимость (10) представляет собой видоизмененную формулу Эйлера и графически изображается гиперболой (см. рисунок).
25.4 Потеря устойчивости при напряжениях,
превышающих предел пропорциональности
25.4 Потеря устойчивости при напряжениях,
превышающих предел пропорциональности
25.4 Потеря устойчивости при напряжениях,
превышающих предел пропорциональности
Формула Эйлера справедлива
25.4 Потеря устойчивости при напряжениях,
превышающих предел пропорциональности
Формула Эйлера справедлива
Отсюда следует ограничение на гибкость стержня:
(12)
Правая часть неравенства (14) представляет собой предельную гибкость λE – наименьшее значение гибкости стержня, при которой применима формула Эйлера. Она зависит только от физико-механических свойств материала стержня – его модуля Юнга и предела пропорциональности. Например, для стали Ст3:
Е = 2 ∙ 105 МПа, σpr = 200 МПа и, следовательно,
Для дерева λE = 110, для чугуна λE = 80.
Таким образом, формула Эйлера применима к упругим стержням большой гибкости, у которых λ ≥ λE.
25.4 Потеря устойчивости при напряжениях,
превышающих предел пропорциональности
ФОРМУЛА ЯСИНСКОГО
Практика показывает,
25.4 Потеря устойчивости при напряжениях,
превышающих предел пропорциональности
ФОРМУЛА ЯСИНСКОГО
Практика показывает,
(13)
a, b – получаемые экспериментально коэффициенты, зависящие от свойств материала; например, для сталей Ст2, Ст3
a = 310 МПа, b = 1,14 МПа.
Для малоуглеродистой стали λ0 = 40.
Следовательно, формула Ясинского справедлива для стержней средней гибкости, у которых λ0 ≤ λ < λE.
Для стержней малой гибкости λ < λ0 критические напряжения σcr принимаются равными σy (пластичные материалы) или σu (хрупкие материалы) (см. рис.).
Критическую силу получим, умножая значение критического напряжения на площадь поперечного сечения брутто:
25.5 Практический метод расчета
стержней на устойчивость
Несущая способность сжатого стержня может
25.5 Практический метод расчета
стержней на устойчивость
Несущая способность сжатого стержня может
из-за потери прочности, если в стержне из пластичного материала не выполняется условие σ ≤ σy, а в стержне из хрупкого материала – условие σ ≤ σu;
из-за потери устойчивости, если в стержне из любого материала не выполняется условие σ ≤ σcr.
Введем обозначение
(14)
Условие устойчивости можно записать в виде:
(15)
25.5 Практический метод расчета
стержней на устойчивость
Несущая способность сжатого стержня может
25.5 Практический метод расчета
стержней на устойчивость
Несущая способность сжатого стержня может
из-за потери прочности, если в стержне из пластичного материала не выполняется условие σ ≤ σy, а в стержне из хрупкого материала – условие σ ≤ σu;
из-за потери устойчивости, если в стержне из любого материала не выполняется условие σ ≤ σcr.
Введем обозначение
(16)
Условие устойчивости можно записать в виде:
(17)
25.5 Практический метод расчета
стержней на устойчивость
Условие устойчивости позволяет производить три
25.5 Практический метод расчета
стержней на устойчивость
Условие устойчивости позволяет производить три
1. Проверочный расчет проводится в следующем порядке:
в зависимости от условий закрепления стержня определяется коэффициент приведения длины μ (см. рис.);
исходя из размеров и формы поперечного сечения определяется наименьший момент инерции J = min(Jx, Jy), площадь A и вычисляется минимальный радиус инерции и гибкость
по таблице находится коэффициент φ;
вычисляется действительное напряжение σ = N/A и проверяется выполнение условия (14) или (15).
25.5 Практический метод расчета
стержней на устойчивость
2. Проектировочный расчет. При определении
25.5 Практический метод расчета
стержней на устойчивость
2. Проектировочный расчет. При определении
Общая методика здесь следующая:
на первом шаге коэффициент φ задается произвольно (обычно φ = 0,5…0,6), по нему из условия устойчивости вычисляется площадь A;
по таблицам сортамента подбирается номер прокатного профиля заданного вида (или вычисляются размеры сечения заданного вида), определяются момент инерции J и радиус i инерции всего сечения, гибкость стержня λ;
по гибкости из таблицы получаем соответствующий коэффициент φ*;
на каждом последующем шаге приближения в качестве коэффициента продольного изгиба принимается среднее значение между исходным φ и полученным φ* на предыдущем шаге;
процесс останавливается, если разница между φ и φ* составляет менее 5 % или два раза подряд выпадает один и тот же номер профиля (обычно требуется не более трех-четырех попыток).
25.6 Удар
Гипотезы технической теории удара
В механике материалов изучается техническая (приближенная) теория
25.6 Удар
Гипотезы технической теории удара
В механике материалов изучается техническая (приближенная) теория
Рассмотрим неподвижно закрепленную упругую систему, (балку, рис. а), на которую с высоты h падает груз весом P = mg (m – его масса, g – ускорение свободного падения). Когда груз соприкасается с системой, происходит удар. От точки удара по балке распространяются возмущения с весьма большими скоростями. Однако за время достижения максимального прогиба балки эти возмущения практически затухают. Поэтому можно пренебречь влиянием соответствующих сил инерции.
Для упрощения расчетов используются несколько гипотез:
1. удар считается абсолютно неупругим: после соприкосновения с системой груз не отскакивает, а как бы «прилипает» и далее движется вместе с нею;
2. напряжения, возникающие в системе, не превышают предела пропорциональности, т. е. выполняется закон Гука;
25.7 Поперечный удар без учета массы системы
(18)
3. Эпюра перемещений точек
25.7 Поперечный удар без учета массы системы
(18)
3. Эпюра перемещений точек
В силу линейности для напряжений будут выполняться соотношения типа (1)
Поперечным считают удар, направление которого перпендикулярно оси системы. При этом конструкция работает на динамический изгиб.
Пусть с высоты h на балку падает груз весом P. После соприкосновения с балкой груз движется вместе с ней и достигает нижнего положения при прогибе w. Он совершает работу, равную P(h + w). В момент времени, соответствующий наибольшему прогибу балки, скорость груза равна нулю и, следовательно, вся работа переходит в потенциальную энергию деформации системы U. Поэтому
U = P(h + w).
(19)
(20)
25.7 Поперечный удар без учета массы системы
Если груз P прикладывается статически,
25.7 Поперечный удар без учета массы системы
Если груз P прикладывается статически,
Следовательно, такой же по величине прогиб w можно получить под воздействием статической силы S = kdP. При этом потенциальная энергия системы равна работе силы S на перемещении w:
(21)
Приравнивая соотношения (20) и (21), получим
(22)
(23)
25.8 Удар по массивной системе
(24)
(25)
25.8 Удар по массивной системе
(24)
(25)