Некоторые свойства преобразования Фурье

сигнала в n раз на временной оси во столько же раз
расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной
плотности при этом уменьшается в n раз.

расщепление спектра на две части, смещенные соответственно на +ω0 и –ω0 эквивалентно умножению функции s(t) на гармоническое колебание cosω0t
(при θ0=0).

где

– спектральная плотность сигнала s(t).

(2.16)

что сигналу

соответствует спектральная плотность

(2.18)

*Данная операция законна только для сигналов, отвечающих
условию S(0) = 0, т.е. для сигналов с нулевой площадью .

s1(t), s2(t),..., обладающих спектрами
суммарному сигналу s(t)=s1(t)+s2(t)+... соответст-
вует спектр

Произведение двух сигналов

Пусть рассматриваемый сигнал s(t) является произведением
двух функций времени f(t) и g(t).

(2.19)

сверткой функций
f(t) и g(t):

Последнее выражение особенно широко используется при анализе
передачи сигналов через линейные цепи. В этом случае функции
времени f(t) и g(t) имеют смысл соответственно входного сигнала
и импульсной характеристики цепи, a и – спектральной плотности сигнала и передаточной функции цепи.

(2.22)

четная относительно t, то функция
есть функция вещественная и четная относительно ω:

2. Если s(t) нечетна относительно t, то нечетная и чисто
мнимая функция.

3. Если, наконец, s(t) не является четной или нечетной функцией
относительно t, то ее можно разложить на две функции: четную
s1(t) и нечетную s2(t). При этом представляет комплексную
функцию, причем действительная её часть чётна, а мнимая
нёчетна относительно ω.

знак перед t в обратном преобразовании Фурье [см. (2.7)]:
выберем знак минус и запишем формулу (2.7) в виде

Заменим переменную интегрирования ω на t и параметр t на ω.
Тогда левая часть должна быть записана в виде функции от
аргумента ω

(2.23)

Этот результат показывает, что переменные ω и t в преобразованиях Фурье взаимно заменимы; если колебанию (четному) s(t) соответ- ствует спектр , то колебанию соответствует спектр 2πs(ω).