Примеры спектров непериодических сигналов

и с учетом сдвига
середины импульса на время τи/4 относительно точки t=0

Спектральная плотность отрицательного импульса

Суммарная спектральная плотность двух импульсов

(2.30)

Спектральная плотность треугольного импульса [интеграл от s'2(t)]

Множитель Aτи/2=S2(0) – площадь треугольного импульса.

(2.31)

условия

, откуда

Таким образом, (2.33) можно привести к виду

(2.34)

выражение интеграл равен ,
окончательно получаем

(2.35)

Колоколообразный (гауссовский) импульс (а) и его спектральная плотность (б)

выражаются одинаковыми
функциями и обладают свойством симметрии: для получения
одной из них по заданной другой достаточно заменить t на ω
или наоборот.

Полоса, определяемая на уровне е−1/2 от максимального значения,
равна 2b=2/а=2∙2τи=4/τи, а коэффициент

.

(2.36)

(2.37)

Гауссовскому спектру

.

длительности. При стремлении длительности
к нулю амплитуда обращается в бесконечность, а площадь импульса
остается неизменной и равной единице.

Амплитуду прямоугольного импульса - 1/x1, где x1 –длительность
импульса.

При гауссовском импульсе амплитуда должна быть

поскольку

,

2fm (при х=0). Длительность импульса (главного лепестка) обратно пропорциональна параметру fm.

При устремлении параметров x1 и а к нулю, а fm к бесконечности
все три функции можно определить следующим образом:

Функция δ(х), обладающая указанными свойствами, называется
единичным импульсом, импульсной функцией или
дельта-функцией (а также функцией Дирака).

по оси х на величину х0

(2.45)

(2.46)

(2.51)

(2.47)

(2.48)

и равна
единице для всех частот. Из этого также вытекает, что ФЧХ спектра
дельта-функции δ(х) равна нулю для всех частот. Это означает, что
все гармонические составляющие единичного импульса при нулевых
начальных фазах, суммируясь, образуют пик бесконечно большой
величины, в момент времени t=0.

Аналогично функция δ(t−t0) имеет спектральную плотность

Свойства функции δ(х)

свойство (2.49), находим

:

Правая часть равенства S(ω)=1 является размерной единицей:
это площадь импульса, численно равная единице. Если под δ(t0)
подразумевается импульс напряжения, то размерность S(ω) есть
вольт∙секунда (В∙с).

(2.50)

δ(t−t0) представить в виде обратного преобразования Фурье

(2.51)