Основные теоремы исчисления вероятностей

Независимые события

Определение
События A и B называются независимыми, если

Пример

Из колоды, насчитывающей 36 карт, наугад извлекается карта. Будут ли события

Замечание

Если события A и B несовместны, то они независимы только если

Вероятность события A, вычисленную в предположении, что событие B произошло, мы

Определение

Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, называется

Пример

Кубик подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трех очков. Какова

B = {4,5,6}, p(B) = 3/6 = 1/2,
AB = {4,6}, p(AB)

Свойства независимых событий

Если события A и B независимы, то:
P(A|B) =

Независимость в совокупности

Определение
События A1, A2, …, An называются независимыми в совокупности,

Замечание

Если события A1, A2, …, An независимы в совокупности, то они

Теорема сложения

Доказательство

Пример

Из колоды, насчитывающей 36 карт, наугад извлекается карта. Какова вероятность, что

Теорема сложения для n событий

Теорема умножения для двух событий

если соответствующие условные вероятности определены
(то

Пример

Из букв слова "ВЕРОЯТНОСТЬ" случайно
выбирают 2 буквы. Найти вероятность того, что

Теорема умножения для n событий

Доказательство проводится по индукции.

Пример

Из букв слова «МАТЕМАТИКА» случайно выбирают 4 буквы и выкладывают в

Гипотезы

Определение
Набор попарно несовместных событий H1, H2, …, Hn таких, что P(Hi)

Теорема (формула полной вероятности)

Пусть A – случайное событие, H1, H2, …,

Доказательство

Есть 3 завода, производящих одну и ту же продукцию. При этом

Решение

Рассмотрим три гипотезы:
Hi = {изделие произведено i-м заводом},
i = 1,2,3.

Полная вероятность равна доле
бракованных изделий в объеме всей
продукции.

Теорема (Формула Байеса)

Пусть A – случайное событие, H1, H2, …, Hn 

Доказательство

Пример

По условиям предыдущего примера, найти вероятность, что изделие изготовлено первым заводом,