Схемы бернули. Предельные теоремы

Схема Бернулли

Определение
Схемой Бернулли  называется последовательность независимых испытаний, в каждом

Теорема (формула Бернулли)

Обозначим через m число успехов в n испытаниях схемы

Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна
Другие благоприятствующие событию A

Поэтому событие A состоит из
элементарных исходов, вероятность каждого из которых

Наивероятнейшее число успехов

В испытаниях схемы Бернулли наиболее вероятным числом успехов является

Пример

Вычислить вероятности всех возможных значений появления «герба» при 5 бросаниях монеты.

Наивероятнейшее число успехов:
Вычисляем np + p = 5∙1/2 + ½ =

Еще один пример

Вероятность сдать экзамен равна 0,8. Найти наивероятнейшее число студентов,

Полиномиальная схема

Определение
Полиномиальной схемой называется последовательность n независимых одинаковых испытаний, в

Полиномиальная формула

Пример

Человек с вероятностью 0,2 оказывается брюнетом, с вероятностью 0,4 —шатеном, с

Гипергеометрические испытания

Пусть из совокупности n предметов, среди которых n1 предметов первого

Гипергеометрические вероятности

Данные испытания являются зависимыми.

Пример

В урне 6 белых и 5 черных шаров. Из

Теорема

Пусть n → ∞ и n1→ ∞ так, что
Тогда

Доказательство

Предельные теоремы для схемы Бернулли

При числе испытаний, превышающем 20, вычисление точного

Теорема Пуассона

Если n → ∞, р → 0 так, что

Доказательство

Пусть np =λn. Тогда

При n → ∞, λn= np → λ

Следовательно,

Приближенная формула Пуассона

где λ = np. Приближенную формулу Пуассона применяют

Пример (дни рождения)

Какова вероятность, что среди 500 случайно выбранных людей ни

По приближенной формуле Пуассона

Предельная теорема Муавра –Лапласа

Если при n→ ∞ и постоянном р, не

Доказательство этой теоремы основано на применении формулы Стирлинга

Локальная приближенная формула Муавра –Лапласа

Локальную приближенную формулу Муавра –
Лапласа применяют при

График биномиальных вероятностей при n=30, p=0,2 и график φ(X)

Интегральная предельная теорема Муавра –Лапласа

При n→ ∞ и постоянном р,

Доказательство

По локальной предельной теореме

при n→ ∞ An →0

Интегральная приближенная формула Муавра –Лапласа

Интегральную приближенную формулу Муавра –
Лапласа применяют при n

Следствия

Свойства функции ϕ(x)

Свойства функции Ф(x)

Функция Лапласа Φ0(x).

Вместо Φ(x) часто используют функцию Лапласа Φ0(x).

График функции Φ0(x)

Замечания

поэтому в формулах может использоваться как Φ(x), так и Φ0(x).
Значения функций