Осн.понятия т.в. Определение вероятности случайного события. Элементы комбинаторики

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Осн.понятия т.в. Определение вероятности случайного события. Элементы комбинаторики

Содержание

2. Теория вероятностей изучает закономерности массовых случайных явлений (не единичных!). Зародилась в связи с азартными играми в
3. Пространство элементарных событий Будем полагать, что результатом реального опыта (эксперимента) может быть один или несколько взаимоисключающих
4. Множество всех элементарных событий, имеющих место в результате случайного эксперимента, будем называть пространством элементарных событий Ω
5. Пример Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий Ω = {w 1,
6. Достоверное событие Событие Ω называется достоверным событием Достоверное событие не может не произойти в результате эксперимента,
7. Невозможное событие Невозможным событием называется пустое множество Ø . Невозможное событие не может произойти в результате
8. Совместимость событий Два события называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого в одном
9. Противоположное событие Два несовместных события, составляющих полную группу, называются противоположными Обозначается , Пример. Бросаем один раз
10. Действия со случайными событиями Суммой событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий,
11. Произведением событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одновременно событиям A
12. Классическое определение вероятности события. Его свойства. Рассмотрим следующую классическую схему: Пространство элементарных исходов Ω - конечно;
13. Определение: Вероятностью события А (обозначение Р(А)) называют отношение числа m благоприятствующих этому событию элементарных исходов к
14. Свойства вероятности согласно классическому определению. P(Ω)=1; P(Ø)=0; 0≤P(A)≤1, A- случайное событие.
15. Слабые стороны классического определения вероятности: 1) Не всегда интересующие нас событие можно представить в виде совокупности
16. Статистическое определение вероятности. Относительная частота (частность) события. В основе статистического определения вероятности лежит понятие частоты. Def:
17. Пример: # Монета подброшена 100 раз. Герб выпал 47раз. Если А- выпадение герба, то Ẃ(А)= =0,47
18. Свойства относительной частоты: Из определения следует, что: Ẃ(Ω)=1 Ẃ(Ø)=0 - Ø-невозможное событие. 0≤Ẃ(А)≤1
19. Свойство устойчивости: Длительные наблюдения показали, что, если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых
20. Для существования статической вероятности события А требуется: а)Возможность, хотя бы принципиально, производить неограниченное число испытаний, в
21. Элементы комбинаторики: перестановки; размещения; сочетания. Комбинаторика – раздел алгебры, занимающийся подсчётом количества комбинаций элементов, которые можно
22. 1) Перестановки без повторений: Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов
23. Число всех возможных перестановок Pn=n! , где n!=1•2•3•...•n (n-факториал) По определению полагаем: 0!=1
24. Задача. Сколькими способами можно расставить трехтомник на полке? Каждое расположение трёх различных книг в определенном порядке
25. 2)Размещения без повторений. Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются
26. Задача. Сколько можно составить сигналов из 7 флагов разного цвета, взятых по 3?
27. 3)Сочетания без повторений. Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются
28. Пример: Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 различных деталей?
29. Связь между размещениями, сочетаниями и перестановками: Число размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством:
31. Скачать презентацию

Слайд 2

Теория вероятностей изучает закономерности массовых случайных явлений (не единичных!).
Зародилась в связи

с азартными играми в Швейцарии (XVI – XVII в.в н.э.)
Отцы-основатели: Паскаль, Ферма, Гюйгенс, Якоб Бернулли.
Русские: Чебышев П.Л., Буняковский, Хинчин, Колмогоров.

Слайд 3

Пространство элементарных событий
Будем полагать, что результатом реального опыта (эксперимента) может быть

один или несколько взаимоисключающих исходов; эти исходы неразложимы и взаимно исключают друг друга. В этом случае говорят, что эксперимент заканчивается одним и только одним элементарным исходом.

Слайд 4

Множество всех элементарных событий, имеющих место в результате случайного эксперимента, будем

называть пространством элементарных событий Ω

Случайными событиями будем называть подмножества пространства элементарных событий Ω .
Определение. Под случайным событием или просто событием будем понимать всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.
События будем обозначать большими латинскими буквами A, B, C, D, …

Слайд 5

Пример
Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий

Ω = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6}, где w i- выпадение i очков.
Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, A Ω .

Слайд 6

Достоверное событие
Событие Ω называется достоверным событием
Достоверное событие не может не

произойти в результате эксперимента, оно происходит всегда.
Пример. Бросаем один раз игральную кость. Достоверное событие состоит в том, что выпало число очков, не меньше единицы и не больше шести, т.е. Ω = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6}, где w i- выпадение i очков,Ω - достоверное событие.

Слайд 7

Невозможное событие
Невозможным событием называется пустое множество Ø .
Невозможное событие не

может произойти в результате эксперимента, оно не происходит никогда.
Пример. Бросаем один раз игральную кость. Выпадение более шести очков - невозможное событие .

Слайд 8

Совместимость событий
Два события называются несовместными, если наступление одного из них исключает

наступление другого в одном и том же испытании.
Совместными называются события, если они могут наступить одновременно в одном испытании

Слайд 9

Противоположное событие
Два несовместных события, составляющих полную группу, называются противоположными
Обозначается ,

Пример. Бросаем один раз игральную кость. Событие A - выпадение четного числа очков, тогда событие - выпадение нечетного числа очков. Здесь Ω = {w 1, w 2, w 3,w 4, w 5,w 6}, где w i- выпадение i очков, A = {w 2,w 4,w 6},
=

Слайд 10

Действия со случайными событиями
Суммой событий A и B называется событие, состоящее

из всех элементарных событий, принадлежащих одному из событий A или B. Обозначается A + B.
Пример. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий
Ω = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6}, Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w 5, w 6}.
Событие A + B = {w 2,w 4, w 5, w 6}

Слайд 11

Произведением событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных

событий, принадлежащих одновременно событиям A и B. Обозначается AB.

Пример. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий
Ω = {w 1, w 2, w 3,w 4, w 5,w 6}. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, событие
B - выпадение числа очков, большего четырех,
B = {w 5, w 6}.
Событие A B состоит в том, что выпало четное число очков, большее четырех, т.е. произошли оба события, и событие A, и событие B, A B = {w 6}
A B Ω .

Слайд 12

Классическое определение вероятности события. Его свойства.
Рассмотрим следующую классическую схему:
Пространство элементарных исходов

Ω - конечно; т.е. состоит из конечного числа элементарных исходов.
Элементарные исходы i равновозможные.

Слайд 13

Определение:
Вероятностью события А (обозначение Р(А)) называют отношение числа m благоприятствующих

этому событию элементарных исходов к общему числу n всех несовместных, равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий.

Слайд 14

Свойства вероятности согласно классическому определению.
P(Ω)=1;
P(Ø)=0;
0≤P(A)≤1, A- случайное событие.

Слайд 15

Слабые стороны классического определения вероятности:
1) Не всегда интересующие нас событие можно

представить в виде совокупности элементарных исходов.
2) Даже если удастся построить пр-во элементных исходов, зачастую нет никаких оснований считать эти исходы равновозможными.
3) Во многих случаях пр-во элементарных исходов бесконечно

Слайд 16

Статистическое определение вероятности. Относительная частота (частность) события.
В основе статистического определения

вероятности лежит понятие частоты.
Def: О т н о с и т е л ь н о й ч а с т о т о й Ẃ(А) случайного события А - называется отношение числа m испытаний, в которых событие А наступило, к общему
числу n, фактически
проведённых испытаний.

Слайд 17

Пример:
# Монета подброшена 100 раз. Герб выпал 47раз. Если А- выпадение

герба, то
Ẃ(А)= =0,47
! Относительная частота – величина случайная.

Слайд 18

Свойства относительной частоты:
Из определения следует, что:
Ẃ(Ω)=1
Ẃ(Ø)=0 - Ø-невозможное событие.
0≤Ẃ(А)≤1

Слайд 19

Свойство устойчивости:
Длительные наблюдения показали, что, если в одинаковых условиях производят

опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что:
в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.
В качестве статистической вероятности случайного события выбирают относительную частоту этого события или число, близкое к относительной частоте.

Слайд 20

Для существования статической вероятности события А требуется:
а)Возможность, хотя бы принципиально,
производить

неограниченное число испытаний, в
каждом из которых событие А наступает или не
наступает;

б)Устойчивость относительных частот
появления А в различных сериях достаточно большого
числа испытаний.
Недостатком статистического
определения является неоднозначность
статистической вероятности.

Слайд 21

Элементы комбинаторики: перестановки; размещения; сочетания.
Комбинаторика – раздел алгебры, занимающийся подсчётом

количества комбинаций элементов, которые можно составить по определённым правилам из элементов конечных множеств.
М – конечное множество, содержащее n различных элементов.
M={a1,a2,…,an}

Слайд 22

1) Перестановки без повторений:

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних

и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Слайд 23

Число всех возможных перестановок
Pn=n! ,
где n!=1•2•3•...•n (n-факториал)
По определению полагаем:

0!=1

Слайд 24

Задача. Сколькими способами можно расставить трехтомник на полке?
Каждое расположение трёх

различных книг в
определенном порядке (на полке) представляет
собой перестановку из 3-х книг, и следовательно,
м. б. реализовано P3=3! =6 различными способами.

Слайд 25

2)Размещения без повторений.
Размещениями называют комбинации,
составленные из n различных элементов

по
m элементов, которые отличаются либо
составом элементов, либо их порядком.

Слайд 26

Задача. Сколько можно составить сигналов из 7 флагов разного цвета, взятых

по 3?

Слайд 27

3)Сочетания без повторений.
Сочетаниями называют комбинации,
составленные из n различных элементов

по
m элементов, которые отличаются хотя бы
одним элементом.
Число сочетаний:

Слайд 28

Пример:
Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10

различных деталей?

Слайд 29

Связь между размещениями, сочетаниями и перестановками:
Число размещений, перестановок и сочетаний

связаны равенством:

Осн.понятия т.в. Определение вероятности случайного события. Элементы комбинаторики

Содержание

Теория вероятностей изучает закономерности массовых случайных явлений (не единичных!). Зародилась в связи

Пространство элементарных событийБудем полагать, что результатом реального опыта (эксперимента) может быть

Множество всех элементарных событий, имеющих место в результате случайного эксперимента, будем

ПримерБросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий

Достоверное событиеСобытие Ω называется достоверным событием Достоверное событие не может не

Невозможное событиеНевозможным событием называется пустое множество Ø . Невозможное событие не

Совместимость событийДва события называются несовместными, если наступление одного из них исключает

Противоположное событиеДва несовместных события, составляющих полную группу, называются противоположными Обозначается ,

Действия со случайными событиямиСуммой событий A и B называется событие, состоящее

Произведением событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных

Классическое определение вероятности события. Его свойства. Рассмотрим следующую классическую схему:Пространство элементарных исходов

Определение: Вероятностью события А (обозначение Р(А)) называют отношение числа m благоприятствующих

Свойства вероятности согласно классическому определению.P(Ω)=1;P(Ø)=0;0≤P(A)≤1, A- случайное событие.

Слабые стороны классического определения вероятности:1) Не всегда интересующие нас событие можно

Статистическое определение вероятности. Относительная частота (частность) события. В основе статистического определения

Пример:# Монета подброшена 100 раз. Герб выпал 47раз. Если А- выпадение

Свойства относительной частоты:Из определения следует, что:Ẃ(Ω)=1Ẃ(Ø)=0 - Ø-невозможное событие.0≤Ẃ(А)≤1

Свойство устойчивости: Длительные наблюдения показали, что, если в одинаковых условиях производят

Для существования статической вероятности события А требуется: а)Возможность, хотя бы принципиально, производить

Элементы комбинаторики: перестановки; размещения; сочетания. Комбинаторика – раздел алгебры, занимающийся подсчётом

1) Перестановки без повторений: Перестановками называют комбинации, состоящие из одних

Число всех возможных перестановокPn=n! , где n!=1•2•3•...•n (n-факториал) По определению полагаем:

Задача. Сколькими способами можно расставить трехтомник на полке? Каждое расположение трёх

2)Размещения без повторений. Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов