Отечественный стандарт цифровой подписи ГОСТ 3410-2012

- содержит описание процессов формирования и проверки электронной цифровой подписи (ЭЦП), реализуемой с использованием операций в группе точек эллиптической кривой, определенной над конечным простым полем.

2.Необходимость разработки настоящего стандарта вызвана потребностью в реализации ЭЦП разной степени стойкости в связи повышением уровня развития ВТ.

3.Стойкость ЭЦП основывается на сложности вычисления дискретного логарифма в группе точек эллиптической кривой, а также на стойкости используемой хэш-функции по ГОСТ Р 34.11-2012.

Настоящий стандарт определяет

процессы формирования и проверки цифровой подписи под заданным сообщением (документом), передаваемым по незащищенным телекоммуникационным каналам общего пользования

Ключ подписи

Ключ проверки

Элемент данных, математически связанный с ключом подписи и используемый проверяющей стороной в процессе проверки цифровой подписи 

Параметр схемы ЭЦП 

Элемент данных, общий для всех субъектов схемы цифровой подписи, известный или доступный всем этим субъектам

Определения

Последовательность псевдослучайных чисел 

Последовательность чисел, полученная в результате выполнения некоторого арифметического (вычислительного) процесса, используемая в конкретном случае вместо последовательности случайных чисел 

Последовательность случайных чисел

Последовательность чисел, каждое из которых не может быть предсказано (вычислено) только на основе знания предшествующих ему чисел данной последовательности 

Процесс, в качестве исходных данных которого используются сообщение, ключ подписи и параметры схемы ЭЦП, а в результате формируется цифровая подпись 

Процесс формирования подписи

Свидетельство

Элемент данных, представляющий соответствующее доказательство достоверности (недостоверности) подписи проверяющей стороне

Строка бит произвольной конечной длины 

Сообщение 

Хэш-код

Строка бит, являющаяся выходным результатом хэш-функции

Хэш-функция

Функция, отображающая строки бит в строки бит фиксированной длины

[электронная] цифровая подпись

Строка бит, полученная в результате процесса формирования подписи.

Определения

Свойство1 - по известной ЭЦП невозможно восстановить исходное сообщение;

Свойство2 - для заданного подписанного сообщения трудно подобрать другое (фальсифицированное) сообщение, имеющее ту же ЭЦП

Свойство3 - трудно подобрать какую-либо пару сообщений, имеющих одну и ту же подпись.

Применительно к области ЭЦП:

Z - множество всех целых чисел;

р - простое число, р > 3 ;

F p - конечное простое поле, представляемое как множество из р целых чисел {0, 1,... , р - 1};

b (mod р) - минимальное не отрицательное число, сравнимое с b по модулю р ;

- конкатенация (объединение) двух двоичных векторов;

а, b - коэффициенты эллиптической кривой;

m - порядок группы точек эллиптической кривой;

q - порядок подгруппы группы точек эллиптической кривой;

М - сообщение пользователя, М  ;

Q - точка эллиптической кривой - ключ проверки;

ζ- цифровая подпись под сообщением М 

Цифровая подпись предназначена для аутентификации лица, подписавшего электронное сообщение.

-осуществление контроля целостности передаваемого подписанного сообщения

-доказательное подтверждение авторства лица, подписавшего сообщение

-защита сообщения от возможной подделки

и/или метку времени.

Криптографическая стойкость данной схемы цифровой подписи основывается на сложности решения задачи дискретного логарифмирования в группе точек эллиптической кривой, а также на стойкости используемой хэш-функции. Алгоритм вычисления хэш-функции установлен в ГОСТ Р 34.11-2012

Инвариантом эллиптической кривой называется величина J(E) , удовлетворяющая тождеству

(1)

(2)

Точки эллиптической кривой будем обозначать Q(x, у) или просто Q . Две точки эллиптической кривой равны, если равны их соответствующие х- и у -координаты.

На множестве всех точек эллиптической кривой E введем операцию сложения, которую будем обозначать знаком "+". Для двух произвольных точек Q1 (x1, у1) и Q2 (х2, у2) эллиптической кривой Е рассмотрим несколько вариантов.

где

Если выполнены равенства x1=x2 и , то определим координаты точки Q 3 следующим образом:

(4)

где 

(5)

Математические определения

Q + О = О + Q = Q ,
где Q - произвольная точка эллиптической кривой Е .

(6)

Относительно введенной операции сложения множество всех точек эллиптической кривой Е , вместе с нулевой точкой, образуют конечную абелеву (коммутативную) группу порядка m , для которого выполнено неравенство:

Точка Q называется точкой кратности k , или просто кратной точкой эллиптической кривой Е , если для некоторой точки Р выполнено равенство:

(7)

(8)

эллиптическая кривая Е , задаваемая своим инвариантом J(E) или коэффициентами а,b          ;

целое число m - порядок группы точек эллиптической кривой Е;

простое число q - порядок циклической подгруппы группы точек эллиптической кривой Е, для которого выполнены следующие условия:

точка Р≠О эллиптической кривой Е , с координатами  , удовлетворяющая равенству qP = О ;

хэш-функция  отображающая сообщения h (‘):V*→V представленные в виде двоичных векторов произвольной конечной длины, в двоичные вектора длины бит. Хэш-функция определена в ГОСТ Р 34.11-2012

(9)

(10)

(11)

тогда их объединение имеет вид:

и представляет собой двоичный вектор длиной 2l бит, составленный из коэффициентов векторов  и  .

С другой стороны, приведенные формулы определяют способ разбиения двоичного вектора  длиной 2l бит на два двоичных вектора длиной l бит, конкатенацией которых он является.

(12)

(13)

Исходные данные

Выходной рез-т

Шаг 1 - вычислить хэш-код сообщения

Шаг 2 - вычислить целое число а, двоичным представлением которого
является вектор  , и определить
Если е = 0, то определить е = 1.

Шаг 3 - сгенерировать случайное (псевдослучайное) целое число k ,
удовлетворяющее неравенству 0 < k < q .

Шаг 4 - вычислить точку эллиптической кривой C = kP и определить
Где - x -координата точки С . Если r = 0, то вернуться к шагу 3.

Шаг 5 - вычислить значение
Если s = 0, то вернуться к шагу 3.

Шаг 6 - вычислить двоичные векторы   и      , соответствующие r и s ,
и определить цифровую подпись                                  как конкатенацию двух двоичных векторов.

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

Выходной результат-

свидетельство о достоверности или ошибочности данной подписи.