Плоский изгиб. Расчет на прочность

сил ось стержня изменяет свою кривизну.

Стержень, работающий на изгиб, называется балкой.

Различают изгиб плоский (чистый, прямой поперечный),
косой и сложный.

Чистый изгиб – в сечениях стержня возникает только – изгибающий момент.

Плоский изгиб – изгиб, при котором все усилия, изгибающие балку, лежат в одной из плоскостей симметрии балки (в одной из главных плоскостей).

изгибающий момент и поперечная сила.

Косой изгиб – изгиб, при котором нагрузки действуют в одной плоскости, не сов-падающей с главными плоскостя-ми инерции.

Сложный изгиб – изгиб, при котором нагрузки действуют в различных (произвольных) плоскостях.

иметь хотя бы одну ось симметрии;
2) Внешние силы направлены перпендикулярно к оси стержня и лежат в плоскости, проходящей через ось симметрии, при этом деформированная ось балки представляет плоскую кривую;
3) При этом в поперечном сечении бруса будут возникать изгибающий момент – Мx и поперечная сила – Qy, действующие в той же плоскости симметрии балки, продольные силы равны нулю (N=0).

плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, и лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью сечения балки.

– гипотеза о постоянстве нормальных напряжений – напряжения, действующие на одинаковом расстоянии y от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

– гипотеза об отсутствии боковых давлений – соседние продольные волокна не давят друг на друга.

элемент балки по часовой стрелке;

Правило знаков при определении внутренних усилий:

2) изгибающий момент Мz считается положительным, если при изгибе элемента балки верхние волокна элемента оказываются сжатыми, а нижние – растянутыми (правило зонта).

Решение задачи по определению внутренних усилий при изгибе:
1) из условия равновесия конструкции в целом, определяем реакции опор;
2) выделяем характерные участки балки, принимая за границы участков точки приложения сил, точки изменения формы или размеров балки, точки закрепления балки;
3) определяем внутренние усилия в сечениях балки, рассматривая условия равновесия отсеченной части (слева или справа) на каждом из участков.

Определяем опорные реакции:

Mx=1.032ql

2. Определяем внутренние усилия:

2-й участок: 0 ≤ z ≤ 0,3l

Qy через ноль (особая точка) определяем из:

4-й участок: 0 ≤ z ≤ 0,1l

изгибающим моментом Мx

Из условия равновесия элемента, получаем дифференциальные зависимости:

Дифференциальные зависимости
Д.И.Журавского при изгибе

от функции есть тангенс угла наклона касательной к графику рассматриваемой функции, то эпюра Qy показывает изменение тангенса угла наклона касательной к эпюре Мx.

если на участке эпюра Qy положительная, то эпюра Мx возрастает;
если на участке эпюра Qy отрицательная, то эпюра Мx убывает;
если на участке нет распределенной нагрузки q(Z)=0, то эпюра Qy имеет постоянное значение, а эпюра Мx изменяется по линейному закону;
если на участке балки действует равномерно распределенная нагрузка q(Z)=q, то эпюра Qy изменяется по линейному закону, а эпюра Мx – квадратная функция;

в этом сечении имеет экстремальное значение. При этом, если эпюра Qy переходит от положительного к отрицательному значению, то эпюра Mx имеет максимальное значение, если от отрицательного к положительному значению, то эпюра Mx имеет минимальное значение;
- так как вторая производная от функции изгибающего момента имеет отрицательную величину

то выпуклость эпюры Мx направлена по направлению распределенной нагрузки (правило «паруса»);
в том сечении, где действует сосредоточенная сила, эпюра Qy имеет скачок, равный по величине и по направлению силе P, а эпюра Mx имеет излом по направлению силы;
в том сечении, где приложен сосредоточенный момент М, эпюра Mx имеет скачок, равный по величине и по направлению момента М, а эпюра Qy не меняется;

эпюра Mx опорному моменту;
на шарнирной концевой опоре эпюра Qy равна опорной реакции, а эпюра Mx равна нулю, если на опоре не приложен сосредоточенный момент;
на свободном конце консольной балки эпюра Qy равна нулю, если отсутствует сосредоточенная сила, а эпюра Mx равна нулю, если нет сосредоточенного момента;

на промежуточной опоре эпюра Qy имеет скачок, равный по величине и по направлению опорной реакции, а эпюра Mx имеет излом по направлению опорной реакции;
в промежуточном шарнирном соединении эпюра Mx равна нулю, если нет сосредоточенного момента, а эпюра Qy равна внутренним усилиям в шарнире.
на участке, где эпюра поперечных сил Qy равна нулю, а эпюра изгибающих моментов постоянная балка испытывает деформацию чистого изгиба.

балки действуют только изгибающие моменты, а поперечные силы равны нулю, балка на этом участке испытывает деформацию чистого изгиба.

Рассматривая равновесие вырезанного элемента балки получим:

деформированную схему бесконечно малого элемента длиной dz.
Волокна А-В длиной dz при деформировании принимают положение дуги А1-В1 длиной

Относительное линейное удлинение волокна А-В равно

инерции относительно оси х равен нулю , следовательно ось х проходит через центр тяжести попереч-ного сечения балки.

отсюда видно, что центробежный момент инерции относительно осей x, y равен нулю , следовательно оси х и y являются главными осями инерции поперечного сечения балки.

отсюда имеем:

линейно и наибольших значений достигают в крайних верхних и нижних волокнах:

следовательно:

Осевой момент сопротивления сечения балки равен

задачи:

2.Проектировочный (конструкционный) расчет (подбор сечения):

3.Проектный расчет (несущая способность):

возникают поперечные силы Qу и изгибающие моменты Mx, следовательно в этих сечениях будут действовать нормальные и касательные напряжения.

Плоский поперечный изгиб балки

эп.σ

Если отношение высоты балки к её длине

тогда нормальные напряжения могут с достаточной точностью могут быть определены по формуле полученной при чистом изгибе

(конструкционный) расчет (подбор сечения):

3.Проектный расчет (несущая способность):

момент и поперечная сила, в сечении балки возникают и нормальные – σ и касательные – τ напряжения.

относительно нейтральной оси X;

– статический момент половины площади сечения относительно нейтральной оси X.

точки (проверка прочности проводится для каждой из них), которых также будет, как минимум, три:
1) точка, в которой нормальные напряжения σx достигают своего макси-мального значения, – то есть точка на наружной поверхности балки наиболее удаленная от нейтральной оси сечения;
2) точка, в которой касательные напряжения τxy достигают своего макси-мального значения, – точка, лежащая на нейтральной оси сечения;
3) точка, в которой и нормальные напряжения σx и касательные напряже-ния τxy достигают достаточно больших величин (эта проверка имеет смысл для сечений типа тавра или двутавра, где ширина резко изменяет свое значение).

Полная проверка прочности
Опасные сечения и опасные точки

Для проверки на прочность при изгибе строят эпюры изменения внутренних усилий (Mх, Qy) по ее длине и определяют опасные сечения балки. При полной проверке прочности таких сечений будет, как минимум, три (иногда они совпадают):
1) сечение, в котором изгибающий момент Mz достигает своего максималь-ного по модулю значения, – именно по этому сечению подбирают сечение всей балки;
2) сечение, в котором поперечная сила Qy достигает своего максимального по модулю значения;
3) сечение, в котором и изгибающий момент Mz и поперечная сила Qy дости-гают по модулю достаточно больших величин.

большие значения изгибающего момента и поперечной силы, главные напряжения в особых точках сечения балки, где одновременно возникают достаточно большие значения σ и τ, будут иметь большие значения. Тогда возникает необходимость проверки прочности материала балки по различным теориям.

В любой точке сечения балки главные напряжения будут определены по:

– главные растягивающие напряжения,

– главные сжимающие напряжения,

где

Проверка прочности элементов, работающих на прямой поперечный изгиб по различным теориям прочности

Направления главных
напряжений определяются: