Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Содержание

2. Определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательности. Числовая последовательность {αn} называется бесконечно малой, если ПРИМЕР 1.
3. Числовая последовательность {xn} называется бесконечно большой, если В этом случае пишут ПРИМЕР 2. Покажем, что xn
4. Аналогично определяются пределы, равные ± ∞. ЗАМЕЧАНИЕ. Запись носит условный характер. На самом деле предела здесь
5. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. ТЕОРЕМА 1. Алгебраическая сумма двух бесконечно малых есть бесконечно
6. СЛЕДСТВИЕ. Сумма конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая. ЗАМЕЧАНИЕ. Последнее утверждение неверно, если число слагаемых
7. ТЕОРЕМА 2. Произведение бесконечно малой числовой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая. Доказательство. Пусть {αn} –
8. ТЕОРЕМА 3. Числовая последовательность {xn}, где xn ≠ 0 ∀n является бесконечно малой тогда и только
9. Арифметические операции над сходящимися числовыми последовательностями. ЛЕММА. где αn – бесконечно малая числовая последовательность. Доказательство. Пусть
10. ТЕОРЕМА. Если xn = С = const ∀n, то Если то
11. Доказательство. xn – С = С – С = 0 – бесконечно малая последовательность. Тогда, согласно
12. b) xn·уn= ( а + αn)·( b + βn) = a·b + (аβn+bαn), где аβn+ bαn
14. Скачать презентацию

Слайд 2

Определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательности.
Числовая последовательность {αn} называется бесконечно

малой, если
ПРИМЕР 1. Покажем, что αn =1/n – бесконечно малая.
Возьмем ∀ε>0.
Решив относительно n неравенство ⎜ αn ⎜= 1/n < ε, получим: n > 1/ε.
Возьмем N(ε) = [1/ε] + 1. Тогда
∀n ≥ N(ε) → ⎜ αn ⎜< ε.

Слайд 3

Числовая последовательность {xn} называется бесконечно большой, если
В этом случае пишут

ПРИМЕР 2. Покажем, что xn = (- 1)nn – бесконечно большая.
Возьмем ∀ε > 0.
Решив относительно n неравенство ⎜ хn ⎜= n > ε и взяв N(ε) = [ε] + 1,
получим:
∀n ≥ N(ε) → ⎜ хn ⎜> ε.

Слайд 4

Аналогично определяются пределы, равные ± ∞.
ЗАМЕЧАНИЕ.
Запись
носит условный характер. На

самом деле
предела здесь нет!

ПРИМЕР 3.

ПРИМЕР 4.

Слайд 5

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
ТЕОРЕМА 1.
Алгебраическая сумма двух

бесконечно малых есть бесконечно малая.
Доказательство.
Пусть {αn} и {βn} – бесконечно малые.
Покажем, что {αn ± βn } – бесконечно малая.
Возьмем ∀ε >0. Тогда, согласно определению бесконечно малой,
для ε1 = ε /2
∃ N1(ε /2)∈N : ∀n ≥ N1 → ⎜αn ⎜< ε /2,
∃ N2(ε /2)∈N : ∀n ≥ N2 → ⎜βn ⎜< ε /2.
Возьмем N(ε) = max{N1, N2}. Тогда, воспользовавшись свойством
модуля вещественного числа, для всех n ≥ N имеем оценку:
⎜αn ± βn⎜ ≤ ⎜αn ⎜ + ⎜βn ⎜< ε /2 + ε /2 = ε,
т.е. {αn ± βn } – бесконечно малая.

Слайд 6

СЛЕДСТВИЕ.
Сумма конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая.
ЗАМЕЧАНИЕ.
Последнее утверждение

неверно, если число слагаемых растет
с ростом n. Например
бесконечно малые, а их сумма
т.е. в данном случае сумма не стремится к нулю при n → ∞.

Слайд 7

ТЕОРЕМА 2.
Произведение бесконечно малой числовой последовательности
на ограниченную есть бесконечно

малая.
Доказательство.
Пусть {αn} – бесконечно малая, {xn} – ограниченная.
Покажем, что {αn·xn} – бесконечно малая.
Пусть С > 0 : ⎜хn ⎜≤ С ∀n. Возьмем ∀ε > 0. Тогда, согласно
определению бесконечно малой последовательности, для ε1 = ε / С
∃ N(ε /С)∈N : ∀n ≥ N(ε /С) → ⎜αn ⎜< ε/С.
Воспользовавшись свойством модуля вещественного числа,
для всех n ≥ N имеем оценку:
⎜αn·xn⎜≤ ⎜αn ⎜·⎜хn ⎜< (ε / С)·С = ε,
т.е. {αn·xn} – бесконечно малая.
СЛЕДСТВИЕ.
Произведение конечного числа числовых последовательностей, из которых хотя бы одна бесконечно малая, а остальные ограниченные, есть бесконечно малая.

Слайд 8

ТЕОРЕМА 3.
Числовая последовательность {xn}, где xn ≠ 0 ∀n является

бесконечно малой тогда и только тогда, когда {1/xn}– бесконечно большая.
Доказательство.
Пусть {xn} – бесконечно малая последовательность. Возьмем ∀ε >0.
Согласно определению бесконечно малой, для ε1=1/ε
∃ N(ε1)∈N: ∀n ≥ N(ε1) → ⎜ хn ⎜< 1/ε.
Отсюда следует, что ⎜1/ хn ⎜> ε для ∀n ≥ N, т.е. {1/xn} – бесконечно
большая.
Пусть {1/xn} – бесконечно большая последовательность. Возьмем
∀ε > 0. Согласно определению бесконечно большой, для ε1=1/ε
∃ N(ε1)∈N: ∀n ≥ N(ε1) → ⎜1/ хn ⎜> ε.
Отсюда следует, что ⎜хn ⎜< ε для ∀n ≥ N, т.е. {xn} – бесконечно малая.

Слайд 9

Арифметические операции над сходящимися числовыми последовательностями.
ЛЕММА.
где αn – бесконечно малая числовая

последовательность.
Доказательство.
Пусть
Это значит, что
∀ε > 0 ∃ N(ε)∈N: ∀n ≥ N(ε ) → | xn– а |< ε,
то есть xn – а = αn – бесконечно малая последовательность.
Пусть xn= а + αn, где αn – бесконечно малая. Из определения
бесконечно малой последовательности следует, что
∀ε > 0 ∃ N(ε)∈N: ∀n ≥ N(ε ) →| xn– а | < ε,
то есть

Слайд 10

ТЕОРЕМА.
Если xn = С = const ∀n, то
Если
то

Слайд 11

Доказательство.
xn – С = С – С = 0 –

бесконечно малая последовательность. Тогда,
согласно лемме,
Согласно лемме,
xn= а + αn , уn= b + βn ,
где αn , βn – бесконечно малые последовательности. Тогда
a) xn ± уn= ( а + αn) ± ( b + βn) = (a ± b) + (αn ± βn),
где αn ± βn – бесконечно малая последовательность и,
согласно лемме,

Слайд 12

b) xn·уn= ( а + αn)·( b + βn) = a·b

+ (аβn+bαn),
где аβn+ bαn – бесконечно малая последовательность и,
согласно лемме,
c)
где
– бесконечно малая последовательность; то есть, согласно лемме,

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Содержание

Определение бесконечно малой и бесконечно большой последовательности. Числовая последовательность {αn} называется бесконечно

Числовая последовательность {xn} называется бесконечно большой, если В этом случае пишут

Аналогично определяются пределы, равные ± ∞.ЗАМЕЧАНИЕ. Запись носит условный характер. На

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.ТЕОРЕМА 1. Алгебраическая сумма двух

СЛЕДСТВИЕ. Сумма конечного числа бесконечно малых есть бесконечно малая.ЗАМЕЧАНИЕ. Последнее утверждение

ТЕОРЕМА 2. Произведение бесконечно малой числовой последовательности на ограниченную есть бесконечно

ТЕОРЕМА 3. Числовая последовательность {xn}, где xn ≠ 0 ∀n является

Арифметические операции над сходящимися числовыми последовательностями.ЛЕММА.где αn – бесконечно малая числовая

ТЕОРЕМА. Если xn = С = const ∀n, то Если то

Доказательство. xn – С = С – С = 0 –