Примеры ортогональных систем в пространстве

Каждой функции f(t) из пространства можно поставить в соответствие ряд Фурье.

где

Когда говорят, что функция f(t) равна ряду Фурье (2)

то имеют

Система функций Радемахера

В качестве ортогональной системы функций можно взять

Затем функция периодически продолжается на всю числовую ость с периодом

Следующая функция Радемахера получается из функции простым преобразованием

(7)

На рисунке показан график

Следующая функция Радемахера получается из преобразованием

(8)

-1

Как видно график функции получен из графика функции сжатием последнего

Свойства системы Функций Радемахера

1) Система функций Радемахера , k=0,1,2,…,∞ ортонормированна

2) Система функций Радемахера не является полной. Оказывается можно найти элемент

Таким образом, система функций Радемахера не может служить базисом в

Система функций Уолша

Систему функций Уолша , n=0,1,2,…,∞ определим следующим образом.

Тогда функции системы Уолша выражаются при помощи функций Радемахера как

Таким образом, функция Уолша определяется как произведение функций Радемахера с

На рисунках приведены графики двух функций Уолша

t

! Построить графики следующих функций Уолша .

Свойства системы Функций Уолша

1) Система функций Уолша , k=0,1,2,…,∞ ортонормированна на

Система функций Хаара

Систему функций Хаара , n=0,1,2,…,∞ определим на

Далее введем следующие интервалы.

(16)

Тогда функции Хаара будут определяться следующими соотношениями 

(17)

Например, функция задается соотношениями

На рисунке приведен график этой функции.

! Построить графики следующих функций Хаара

Свойства системы Функций Хаара 

1) Система функций Хаара , k=0,1,2,…,∞ ортонормированна на

Тригонометрические ряды Фурье

Рассмотрим тригонометрическую систему функций.

(19)

Как хорошо

В точках разрыва ряда Фурье сходящегося к среднему значению функции

Свойства тригонометрических рядов Фурье

1) Если функция f(t) четная, то из интегралов

2) Если функция f(t) нечетная, то из интегралов (22) видно, что

Для примера рассмотрим периодический сигнал с периодом T = 1

Функция f(t) описывающая этот сигнал является, во-первых, нечетной функцией, во-вторых,

Отметим следующие свойства ряда Фурье, которые видны из этих графиков
1)

3) Вблизи точек разрыва наблюдаются пульсации, которые не пропадают с увеличением

! Найти коэффициенты ряда Фурье для периодической f(t) функции с периодом

Комплексная форма рядов Фурье

В радиотехнике наиболее употребительной является комплексная форма

Возьмем вещественную форму ряда Фурье (20) и подставим в нее

то ряд Фурье (28) примет вид.

(30)

где коэффициенты комплексного ряда Фурье будут

! Используя формулы (22) для коэффициентов , вещественного ряда Фурье, показать

Интегральное преобразование Фурье

Рассмотрим переход от ряда Фурье в комплексной форме

Введем дискретную частоту

(33)

Тогда расстояние между соседними частотами Δf будет равно

(34)

Кроме того, введем функцию от дискретной частоты по формуле

(36)

Подставляя

Далее в формулах (37) совершаем предельный переход.

В результате получаем:

(38)

В математическом анализе доказывается, что преобразование Фурье (38) справедливо для

Спектральный анализ и преобразование Фурье

Кроме временного представления сигналов, где сигнал

Из спектра S( f ) можно получить амплитудно-частотную характеристику (АЧХ)

Здесь звездочка означает комплексное сопряжение. Из этих соотношений видно, что

Третье, если сигнал вещественная нечетная функция времени

,

то для спектра выполняются следующие

Сигнал s(t) и его частотный спектр S(f) взаимно однозначно соответствуют

Свойства преобразования Фурье

Кроме рассмотренных выше свойств спектра, преобразование Фурье

2) Изменение масштаба. Если у сигнала временной масштаб уменьшается в a

Докажем второе свойство:

3) Задержка сигнала. Сдвиг сигнала во времени приводит к умножению спектра

4) Свертка сигналов. Сигнал являющийся сверткой двух других сигналов имеет спектр

Докажем четвертое свойство:

5) Произведение сигналов. Сигнал являющийся произведением двух других сигналов имеет спектр

6) Равенство Парсеваля для преобразования Фурье. Для преобразования Фурье имеет место

7) Дифференцирование по временной области. Сигнал являющийся производной от другого сигнала

Докажем седьмое свойство, с помощью интегрирования по частям:

8) Дифференцирование в частотной области. Сигнал являющийся произведением другого сигнала на

Обобщенное преобразование Фурье

Нахождение преобразования Фурье для периодических сигналов вызывает некоторые

Выход из этого положения состоит в переходе к обобщенному преобразованию

Далее используем интегральное представление дельта-функции.

(41)

Поэтому спектр сигнала есть суперпозиция дельта-функций.

Рассматриваемый сигнал есть действительная четная функция, поэтому по всем правилам

Возьмем в качестве гармонического сигнала нечетную функцию.

В этом случае получаем следующий

Рассматриваемый сигнал есть действительная нечетная функция, поэтому действительная часть спектра