Линейное пространство

если М включает в себя все линейные комбинации всех своих элементов.
То есть

Линейное нормированное пространство

Линейное пространство называется линейным нормированным пространством (ЛНП), если каждому элементу x, поставлено в соответствие число || x ||. Это число называется нормой элемента, и удовлетворяет следующим аксиомам (аксиомам нормы).

отрезке t∈[a;b]. Данное множество является линейным пространством.

! Доказать самостоятельно, что для множества C[a; b] выполняются аксиомы линейного пространства А1-А7.

что выполняется для этой нормы аксиома А3. Воспользуемся теоремой Минковского, известной в анализе как неравенство Минковского для интегралов.

Теорема 1 (Неравенство Минковского).
Пусть для p≥1 и функций x(t) и y(t) существуют интегралы.

А3 доказана

Тогда существует интеграл

причём верна оценка:

!Аксиомы А1 и А2 доказать самостоятельно.

поставлено в соответствие неотрицательное число ρ ( x, y ), называемое метрикой (расстоянием), удовлетворяющее следующим аксиомам (аксиомам метрики).

Обычно метрику вводят следующим образом:

0 в метрическом пространстве E называется множество

Замкнутым шаром с центром x ∈ E и радиусом r > 0 в метрическом пространстве E называется множество

в метрическом пространстве E называется множество

ε - окрестностью (эпсилон - окрестностью) элемента x называется открытый шар радиуса ε .

Множество X называют ограниченным, если существует шар конечного радиуса R < ∞ , который содержит в себе все элементы множества X ⊂ E .

элемент a ∈ E , если выполняется соотношение

Это равносильно следующему выражению

Предельной точкой множества M ⊂ E называется элемент a ∈ E , если в любой окрестности a содержится хотя бы одна точка x ∈ M , отличная от a . То есть

Здесь выражение Sr(a)\a означает открытый шар без центра.

предельной точкой множества M ⊂ E , необходимо и достаточно существование последовательности

сходящейся к a :

Пусть M – подмножество в ЛНП E, а M' – множество всех предельных точек M. Объединение множеств

называется замыканием множества M.

Замкнутое линейное многообразие L в ЛНП E, L ⊂ E, называется подпространством.

плоскость в этом пространстве будет подпространством.

Расстоянием от точки x из ЛНП E до подпространства L ⊂ E называется величина

Здесь inf означает точную нижнюю грань (infimum).

Пример. Если в качестве ЛНП E взять трехмерное декартовое пространство, а в качестве подпространства L плоскость, то расстоянием ρ (x, L) будет перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость.

подмножества M ⊂ E.

Элемент u ∈ L, где L – подмножество из ЛНП E, называется элементом наилучшего приближения (ЭНП) для произвольного элемента x ∈ E, если выполняется равенство

Другими словами элементом наилучшего приближения к элементу x является тот элемент u , из подмножества L , который расположен ближе всего к элементу x.

Пример. Если в качестве ЛНП E взять трехмерное декартовое пространство, а в качестве подмножество L плоскость, то ЭНП u будет являться проекцией элемента x на плоскость L .

N множество натуральных чисел.

Для случая E = R (множество действительных чисел) в курсе математического анализа был доказан критерий Коши: числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

любая сходящаяся последовательность является фундаментальной, а обратное, вообще говоря, не верно.

Линейное нормированное пространство (ЛНП) называется полным, если в нём сходится всякая фундаментальная последовательность.

Полное ЛНП , называется банаховым пространством.

Пример. Простейший пример банахова пространства – множество вещественных чисел R с нормой

функций с нормой

Из теории рядов Фурье известно, что любую разрывную, кусочно-гладкую функцию f(t) можно представить на отрезке длины T в виде ряда Фурье, сходящегося к функции во всех точках непрерывности и к среднему значению функции в точках разрыва

в пространстве непрерывных функций, т.к. сходится к разрывной функции

Пусть X - ЛНП (не обязательно банахово), а - некоторая последовательность в X . Тогда рядом в X называется формально составленная бесконечная сумма.

ЛНП X , если сходится последовательность

Элемент s ∈ X называется суммой ряда и обозначается так

линейного пространства называют векторами.
Обобщим понятие скалярного произведения, известное из курса аналитической геометрии, на произвольные векторные пространства.

ЛП называется евклидовым, если каждой паре элементов ( x, y ) поставлено в соответствие вещественное число < x, y >, называемое скалярным произведением, удовлетворяющее следующим аксиомам:

норму элемента, следующим образом.

Аксиомы нормы А1 и А2 выполняются при этом очевидным образом, Для доказательства выполнения аксиомы А3 (неравенство треугольника)

предварительно рассмотрим лемму.

лемму. Для доказательства раскрыть неравенство.

С помощью леммы докажем выполнение аксиомы А3. Так как

E называются такие элементы x, y для которых скалярное произведение равно нулю.

Ортогональной системой в E называют множество взаимно ортогональных элементов

Ортогональность элементов обозначаем x ⊥ y .

пространстве E , ⊂ E , то элементы линейно независимы.

Для линейно независимых векторов , k =1,2,…n равенство

выполняется только в одном случае, когда все коэффициенты равны нулю.

ненулевых элементов образует базис.
Если система векторов , k=1,2,…n в ЛП E образует базис, то любой другой вектор этого пространства y ∈ E можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса.

арифметических векторов со скалярным произведением, определенным для векторов x, y ∈ как

является полным пространством, т.е. гильбертовым пространством.

произведением и нормой

гильбертово.

Замечание. Если требование кусочной непрерывности заменить на непрерывность функций, то полученное пространство не будет полным, а значит, не будет гильбертовым.

а L - подпространство L ⊂ H . Для произвольного элемента x ∈ H необходимо найти элемент наилучшего приближения (ЭНП) y ∈ L , для которого ρ (x, y) = ρ (x, L), то есть

Теорема 4. Существует единственный ЭНП , который является решением задачи аппроксимации.

пусть y∈L - ЭНП для элемента x∈H . Тогда любой элемент u∈L ортогонален элементу v=x-y : v⊥u , что обозначают также v⊥L .

Следствие из теорем 4, 5. Пусть L - подпространство в H . Тогда ∀x∈H существует единственное разложение x=y+z , где y∈L - ЭНП, а z⊥L . В силу единственности элемента y элемент z=x-y также единственный.

Элемент наилучшего приближения (ЭНП) y∈L называют проекцией элемента x∈H на пространство L (вспомните пример с трехмерным декартовым пространством).

конечной размерности подпространства L с заданным базисом в виде суммы

Алгоритм поиска коэффициентов следующий. Так как любой элемент перпендикулярен x-y , имеем

Заменяем y суммой и поучаем:

матрицей Грама

В силу линейной независимости элементов определитель этой матрицы отличен от нуля.

имеет единственное решение.

Задача поиска коэффициентов значительно упрощается, если элементы базиса не только линейно независимы, но и еще ортогональны. В этом случае можно обойтись без решения системы уравнений, а сразу написать аналитические выражения для коэффициентов.

! Получить самостоятельно вышеприведенную формулу.

элементов из H , ортогональных к L , называется ортогональным дополнением подпространства L , и обозначается.

Теорема 6. Пусть L - подпространство в гильбертовом пространстве H. Тогда также является подпространством в H .

Говорят, что гильбертово пространство H разлагается в ортогональную сумму подпространств и записывают это как

с ортогональным базисом n} , а элемент y

является ЭНП для элемента x∈H . Тогда для «вектора-ошибки» x-y , имеем

ортогональных векторов ⊂ H, k =1,2,…,∞ . Рассматриваем первые n элементов , k =1,2,…,n как конечный базис. Получаем линейное многообразие «натянутое» на этот базис.

Можно показать, что - замкнуто, т.е. является подпространством. Так как - конечномерно, то верна теорема 7 для ЭНП

+1≥ . Поэтому - сходится.

место соотношение.

Это неравенство носит названия неравенства Бесселя.

, если ∀x∈H можем записать разложение

Смысл этого разложение заключен в следующем пределе.

Ряд

называется рядом Фурье по ортогональной системе элементов , а числа называются коэффициентами Фурье.

гильбертовом пространстве H . Тогда ∀x∈H для коэффициентов Фурье верна формула.

Теорема 9. Ортогональная система ⊂ H, k=1,2,…,∞ является полной в гильбертовом пространстве тогда и только тогда, когда ∀x∈H неравенство Бесселя выполняется как равенство

Это равенство называется равенством Парсеваля-Стеклова.

говорилось выше. Если под интервалом понимать всю числовую ость, то мы проходим к пространству функций , или просто . Это пространство функций, интегрируемых с квадратом на всей числовой оси. Здесь скалярное произведение и норма определяются формулами:

ряд примеров ортогональных функциональных базисов , которые нашли широкое применение на практике, в том числе, при обработке сигналов.

Пример 1. Рассмотрим тригонометрическую систему функций.

Как хорошо известно, из курса специальных разделов математического анализа, такая система является полной на любом отрезке t∈[a, a+T] длины T .

- ортогональна и полна на отрезке t∈[-1, 1] . Запишем несколько многочленов Лежандра в явном виде.

Имеется также дифференциальная формула для нахождения любого многочлена Лежандра