Равномерное распределение случайных величин

Учебный вопрос №1
Равномерное распределение НСВ

Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, возможные значения которой лежат в некотором

График плотности вероятности

Выразим параметр С через α и β. Для этого используем тот

Плотность вероятности равномерно распределенной случайной величины

Найдем функцию распределения:

Функция распределения равномерно распределенной случайной величины

График функции распределения

Вычислим математическое ожидание и дисперсию
случайной величины, подчиняющейся равномерному распределению.

Тогда среднеквадратичное отклонение будет иметь вид:

Пусть случайная величина Х
равномерно распределена на
участке [0;100]. Найти вероятности:

Для нахождения искомых вероятностей используем формулу:

Где F(α) и F(β) - функция

Учебный вопрос №2
Нормальное распределение НСВ

Нормальный (гауссов) закон распределения

Непрерывная случайная величина Х
называется распределенной
по нормальному

Кривая распределения имеет вид:

Где

Выясним смысл параметров распределения Гаусса. Для этого вычислим характеристики этого распределения

Разбиваем на сумму двух интегралов:

Второй интеграл представляет собой интеграл Пуассона:

В первом интеграле вносим t под знак дифференциала:

Таким образом, параметр a

Этот интеграл берем по частям:

Первое слагаемое в скобках равно 0, так как экспонента в минус

Если изменять параметр a ,
кривая распределения будет
смещаться вдоль оси

Параметр σ характеризует
не положение, а саму форму
кривой распределения.
При

σ1< σ2< σ3

То, что случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами

Найдем функцию распределения случайной величины Х .

Сделаем замену переменной:

Последний интеграл не выражается через элементарные функции, но его можно вычислить

Функция Ф*(х) называется нормальной функцией распределения.
Ее значения приведены в таблицах.
Но большее

ВЕРОЯТНОСТЬ ПОПАДАНИЯ СВ НА ЗАДАННЫЙ УЧАСТОК

Значения функции Лапласа также находятся по таблице.
Функция Лапласа является нечетной.

Пусть Х - нормально распределенная
случайная величина с параметрами
a, σ.

Действительно,

Пусть случайная величина Х - рост
наугад выбранного студента
подчиняется нормальному

Сначала определим параметр σ. Используем правило «3 сигм». Параметр a=174

Учебный вопрос №3
Показателное распределение НСВ

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

Показательное распределение

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СВ, РАСПРЕДЕЛЕННОЙ

График функции распределения имеет вид:

Найдем плотность вероятности этой случайной величины.
Плотность вероятности находится как производная от

Кривая распределения имеет вид:

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по показательному закону.

Вынесем

Полученный определенный интеграл будем брать по частям:

Первые два слагаемых в пределе равны 0, т.к. экспонента в минус

Как и в предыдущем случае, переходим к пределу определенного интеграла:

Берем интеграл

Полученный интеграл еще раз берем по частям:

Полученный интеграл табличный: