Реляционная Алгебра

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Реляционная Алгебра

Содержание

2. Реляционная алгебра Реляционная алгебра — это коллекция операций, которые принимают отношения в качестве операндов и возвращают
4. Реляционная алгебра Объединение В математике объединение двух множеств представляет собой множество всех элементов, принадлежащих либо к
5. Примеры отношений Поставщики S { S#, SNAME, STATUS, CITY } PRIMARY KEY { S# } Поставки
6. Объединение отношений Но хотя этот результат можно назвать множеством, он не является отношением; отношения не могут
7. Объединение отношений Поэтому определение операции реляционного объединения должно быть таким: если даны отношения А и В
9. Объединение отношений Пример. Предположим, что отношения А и B имеют вид, показанный на рис. (оба они
10. Пересечение отношений Как и для объединения, и фактически по той же причине, для реляционной операции пересечения
11. Пересечение отношений Пример. Снова предположим, что отношения А и В показаны на рис. Тогда пересечение A
12. Разность отношений Как и для объединения и пересечения, для реляционной операции разности требуется, чтобы ее операнды
13. Разность отношений Пример. Снова предположим, что отношения А и В показаны на рис. Тогда результат операции
14. Произведение отношений В математике декартовым произведением (или сокращенно произведением) двух множеств является множество всех таких упорядоченных
15. Произведение отношений Поэтому реляционной версией декартова произведения служит расширенная форма этой операции, в которой каждая упорядоченная
16. Произведение отношений Итак, определим (реляционное) декартово произведение А TIMES В отношений А и В, не имеющих
18. Оператор сокращения Оператор сокращения по сути позволяет получить "горизонтальное" подмножество заданного отношения, т.е. подмножество кортежей заданного
19. Операция проекции Предположим, что отношение А имеет атрибуты Х, Y, . . ., Z (и, возможно,
20. Операция проекции
21. Операция соединения Предположим, что отношения А и В, соответствен-но, имеют следующие атрибуты. X 1 , Х
22. Операция соединения Теперь множества { X I, Х 2, . . . , Xm },{ Yl,
24. Операция деления Предположим, что отношения А и В, соответственно, имеют следующие атрибуты: XI, Х2, . .
25. Операция деления Деление представляет собой отношение с заголовком {X} и телом, состоящим из всех кортежей {
26. Пример деления На рис. приведены некоторые примеры деления. В каждом случае делимое (DEND) представляет собой проекцию
27. Нормализация. 1НФ
29. Скачать презентацию

Слайд 2

Реляционная алгебра
Реляционная алгебра — это коллекция операций, которые принимают
отношения в качестве

операндов и возвращают отношение в качестве
результата.
Первая версия этой алгебры была определена Коддом.
Эта "оригинальная" алгебра включала восемь операций, которые
подразделялись на описанные ниже две группы с четырьмя операциями каждая.
Традиционные операции с множествами — объединение, пересечение, разность и декартово произведение (все они были немного модифицированы с учетом того факта, что их операндами являются именно отношения, а не произвольные множества).
Специальные реляционные операции, такие как сокращение (известное также под названием выборки), проекция, соединение и деление.

Слайд 3

Слайд 4

Реляционная алгебра
Объединение
В математике объединение двух множеств представляет собой множество всех элементов,

принадлежащих либо к одному из них, либо к обоим заданным множествам.
Поскольку любое отношение представляет собой (или, скорее, содержит) множество (а именно множество кортежей), оно, безусловно, позволяет формировать объединение двух таких множеств; результатом является множество, состоящее из всех кортежей, присутствующих либо в одном, либо в обоих из заданных отношений.
Например, объединение множества кортежей поставщиков, которые в настоящее время присутствуют в S, и множества кортежей деталей, присутствующих в настоящее время в
отношении Р, безусловно, представляет собой множество.

Слайд 5

Примеры отношений
Поставщики S { S#, SNAME,
STATUS, CITY }
PRIMARY KEY { S#

}
Поставки P { P#, PNAME, COLOR,
WEIGHT, CITY } PRIMARY KEY
{ P# }
SP { S#, P#, QTY }
PRIMARY KEY { S#, P# }
FOREIGN KEY { S# } REFERENCES S
FOREIGN KEY { P# } REFERENCES P

Слайд 6

Объединение отношений
Но хотя этот результат можно назвать множеством, он не

является отношением; отношения не могут содержать смесь кортежей разных типов, поскольку они должны включать однотипные кортежи.
А нам требуется, чтобы результат представлял собой отношение, поскольку необходимо сохранить реляционное свойство замкнутости.
Поэтому объединение в реляционной алгебре не полностью соответствует общему определению
объединения в математике; скорее, оно является объединением особого рода, в котором два входных отношения должны принадлежать к одному типу.

Слайд 7

Объединение отношений
Поэтому определение операции реляционного объединения должно быть таким: если

даны отношения А и В одного и того же типа, то объединение этих отношений А UNION В является отношением того же типа с телом, которое состоит из всех кортежей t, при-
сутствующих в А или В или в обоих отношениях.

Слайд 8

Слайд 9

Объединение отношений
Пример. Предположим, что отношения А и B имеют вид, показанный

на рис. (оба они получены из текущего значения отношения поставщиков S;
В «А» приведены данные о поставщиках из Лондона, а в «В» — данные о поставщиках, которые поставляют деталь Р1). В таком случае в объединение A UNION В (см. рис. а) входят поставщики, которые либо находятся в Лондоне, либо поставляют деталь Р1, либо соответствуют обоим этим условиям.
Обратите внимание на то, что в результате содержатся три кортежа, а не четыре; по определению отношения никогда не содержат дубликаты кортежей (поэтому, неформально выражаясь, из результатов операции объединения "устраняются дубликаты").

Слайд 10

Пересечение отношений
Как и для объединения, и фактически по той же

причине, для реляционной операции пересечения требуется, чтобы ее операнды принадлежали к одному и тому же типу.
Если даны отношения А и В одного и того же типа, то пересечением этих отношений А INTERSECT В является отношение того же типа с телом, состоящим из всех кортежей t,
таких, что t присутствует одновременно в А и В.

Слайд 11

Пересечение отношений
Пример.
Снова предположим, что отношения А и В показаны

на рис. Тогда пересечение A INTERSECT В (рис. б) включает всех поставщиков, которые находятся в Лондоне и поставляют деталь Р1.

Слайд 12

Разность отношений
Как и для объединения и пересечения, для реляционной операции

разности требуется, чтобы ее операнды принадлежали к одному и тому же типу.
Если даны отношения А и В одного и того же типа, то разностью этих отношений А MINUS В (в указанном порядке), является отношение того же типа с телом, состоящим из всех кортежей t, таких, что t присутствует в А, но не в В.

Слайд 13

Разность отношений
Пример. Снова предположим, что отношения А и В показаны

на рис.
Тогда результат операции разности A MINUS В (рис. в) включает поставщиков, которые находятся в Лондоне и не поставляют деталь Р1;
Результат операции разности В MINUS A (рис. г) включает поставщиков, которые поставляют деталь Р1 и не находятся в Лондоне.
Обратите внимание на то, что оператор MINUS характеризуется направленностью (некоммутативностью), так же, как вычитание в обычной арифметике (например, "5 - 2" и "2 - 5" не являются одним и тем же).

Слайд 14

Произведение отношений
В математике декартовым произведением (или сокращенно произведением) двух множеств является

множество всех таких упорядоченных пар, что в каждой паре первый элемент берется из первого множества, а второй — из второго множества.
Поэтому декартово произведение двух отношений, неформально выражаясь, представляет собой множество упорядоченных пар кортежей. Но мы снова должны сохранить свойство замкнутости;
Иными словами, необходимо, чтобы результат содержал кортежи как таковые, а не упорядоченные пары кортежей.

Слайд 15

Произведение отношений
Поэтому реляционной версией декартова произведения
служит расширенная форма этой

операции, в которой каждая упорядоченная пара кортежей заменяется одним кортежем, являющимся объединением двух рассматриваемых кортежей.
Это означает, что если даны следующие кортежи:
{ Al, A2, . . . , Am}
и
{ B1, B2, ..., Bn }
то теоретико-множественное объединение этих двух кортежей представляет собой приведенный ниже единственный кортеж:
{ Al, A2, ..., Am, Bl, B2, ..., Bn}

Слайд 16

Произведение отношений
Итак, определим (реляционное) декартово произведение А TIMES В отношений

А и В,
не имеющих общих атрибутов, как отношение, заголовок которого представляет собой
(теоретико-множественное) объединение заголовков отношений А и В, а тело состоит из
всех кортежей t, таких, что t является (теоретико-множественным) объединением кортежа, принадлежащего к отношению А, и кортежа, принадлежащего к отношению В.

Слайд 17

Слайд 18

Оператор сокращения
Оператор сокращения по сути позволяет получить "горизонтальное" подмножество заданного отношения,

т.е. подмножество кортежей заданного отношения, для которых удовлетворяется некоторое указанное условие.

Слайд 19

Операция проекции
Предположим, что отношение А имеет атрибуты Х, Y, .

. ., Z (и, возможно, другие атрибуты). В таком случае проекция отношения А по атрибутам X, Y, . . . , Z, которая определяется с помощью следующего выражения:
А { X, Y, . . . , Z }
является отношением, соответствующим описанным ниже требованиям:
Его заголовок формируется из заголовка отношения а путем удаления всех атрибутов, не указанных в множестве { X, Y, . . . , Z }.
Тело состоит из всех кортежей { х , у, . . . , z}, таких что в отношении А присутствует кортеж со значением х атрибута X, у атрибута Y... и z атрибута Z.

Слайд 20

Операция проекции

Слайд 21

Операция соединения
Предположим, что отношения А и В, соответствен-но, имеют следующие

атрибуты.
X 1 , Х 2 , . . . , X m , Y 1 , Y 2 , . . . , Yn (A)
Yl , Y2, . . . , Yn, Z l , Z 2 , . . . , Zp (B)
Это означает, что два рассматриваемых отношения имеют общее множество атрибу-
тов Y, состоящее из атрибутов Yl, Y2 , . . . , Yn (и только из этих атрибутов),
Другие атрибуты отношения А образуют множество Х, состоящее из атрибутов X1, Х2, Xm,
Другие атрибуты отношения В образуют множество Z, состоящее из атрибутов Z1, Z2, . . , Zp.

Слайд 22

Операция соединения
Теперь множества { X I, Х 2, . . .

, Xm },{ Yl, Y2, . . . , Yn } и { Zl, Z2,. . ., Zp } могут рассматриваться, соответствен-но, как три составных атрибута X, Y и Z.
В таком случае (естественное) соединение A и B выражается следующим образом.
A JOIN B
Оно представляет собой отношение с заголовком {X, Y, Z} и телом, состоящим из всех таких кортежей {Xх, Yу, Zz}, что любой из этих кортежей присутствует и в отношении A, со значением х атрибута X и значением у атрибута Y, и в отношении B, со значением у атрибута Y и значением z атрибута Z.

Слайд 23

Слайд 24

Операция деления
Предположим, что отношения А и В, соответственно, имеют следующие

атрибуты:
XI, Х2, . . . ,Хm (А); Yl, Y2, ..., Yn (В)
Здесь ни один из атрибутов Хi (i = 1, 2, . . ., m) не имеет одинакового имени с любым из атрибутов Yj (j = 1, 2, . . ., n).
Пусть отношение С имеет следующие атрибуты:
X I , Х 2 , . . . , Xm, Y l , Y 2 , . . . , Yn (С)
ЭТО означает, что C имеет заголовок, представляющий собой (теоретико-множественное) объединение заголовков А и В. Будем рассматривать множества {XI, Х2, ..., Хm}
{ Yl, Y2, . . ., Yn }, соответственно, как составные атрибуты X и Y. В таком случае операция деления A на B по C (где а — делимое, B — делитель, а C — посредник) может быть
представлена с помощью следующего выражения.
A DIVIDEBY B PER C

Слайд 25

Операция деления
Деление представляет собой отношение с заголовком {X} и телом, состоящим

из всех кортежей { X х }, присутствующих в А, причем таких, что кортеж { Х х, Y у } присутствует в С для всех кортежей { Y у }, присутствующих в В.
Иными словами, данный результат состоит из тех значений х, присутствующих в А, для которых соответствующие значения у в С включают все значения у из В.

Слайд 26

Пример деления
На рис. приведены некоторые примеры деления. В каждом случае

делимое (DEND) представляет собой проекцию текущего значения отношения S по атрибуту S#; посредник (MED) в каждом случае является проекцией текущего значения отношения SP по атрибутам S# и Р#; а три делителя (DOR) являются такими, как указано на этом рисунке.

Слайд 27

Реляционная Алгебра

Содержание

Реляционная алгебраРеляционная алгебра — это коллекция операций, которые принимаютотношения в качестве

Реляционная алгебраОбъединениеВ математике объединение двух множеств представляет собой множество всех элементов,

Примеры отношенийПоставщики S { S#, SNAME,STATUS, CITY }PRIMARY KEY { S#

Объединение отношений Но хотя этот результат можно назвать множеством, он не

Объединение отношений Поэтому определение операции реляционного объединения должно быть таким: если

Объединение отношенийПример. Предположим, что отношения А и B имеют вид, показанный

Пересечение отношений Как и для объединения, и фактически по той же

Пересечение отношенийПример. Снова предположим, что отношения А и В показаны

Разность отношений Как и для объединения и пересечения, для реляционной операции

Разность отношений Пример. Снова предположим, что отношения А и В показаны

Произведение отношенийВ математике декартовым произведением (или сокращенно произведением) двух множеств является

Произведение отношений Поэтому реляционной версией декартова произведения служит расширенная форма этой

Произведение отношений Итак, определим (реляционное) декартово произведение А TIMES В отношений

Оператор сокращенияОператор сокращения по сути позволяет получить "горизонтальное" подмножество заданного отношения,

Операция проекции Предположим, что отношение А имеет атрибуты Х, Y, .